1.2.任意角的三角函数(优秀课件)

1.在初中我们是如何定义锐角三角函数的？sincostancacbba复习回顾OabMPcOabMPyx2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？新课导入22:barOPbMPaOM其中yx2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？raOPOMcosrbOPMPsinabOMMPtan﹒baP,﹒Mo如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？﹒PMOPMPsinOPOMcosOMMPtanOMP∽PMOPOPMPOOMMOPM诱思探究MOyxP(a,b)OPMPsinOPOMcosOMMPtan，则若1rOPbaab1.锐角三角函数（在单位圆中）以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆，称为单位圆.yOP),(bax1M2.任意角的三角函数定义设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点),(yxP那么:（1）叫做的正弦，记作，即；ysinysin（2）叫做的余弦，记作，即；cosxxcos（3）叫做的正切，记作，即。xytanxytan所以，正弦，余弦，正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将他们称为三角函数.0,1AOyxyxP,﹒)0(x使比值有意义的角的集合即为三角函数的定义域.)0,1(AxyoP),(yx的终边说明（1）正弦就是交点的纵坐标，余弦就是交点横坐标的比值.的横坐标，正切就是交点的纵坐标与.（2）正弦、余弦总有意义.当的终边在y横坐标等于0，xytan无意义，此时)(2zkk轴上时，点P的（3）由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，三角函数可以看成是自变量为实数的函数.例1.求的正弦、余弦和正切值.3535AOB解：在直角坐标系中，作AOB，易知的终边与单位圆的交点坐标为13(,).22所以53sin,3251cos,325tan3.3思考：若把角改为呢?3567,2167sin,2367cos3367tan实例剖析xyo﹒﹒AB35P15.1几个特殊角的三角函数值角α0o30o45o60o90o180o270o360o角α的弧度数sinαcosαtanα23220000000011111不存在不存在03462222112323332123例2.已知角的终边经过点，求角的正弦、余弦和正切值.)4,3(0P220(3)(4)5.OP解:由已知可得设角的终边与单位圆交于，),(yxP分别过点、作轴的垂线、0PMPP00PMx400PM于是，;54||1sin000OPPMOPMPyyyMP30OMxOMOMP∽00POM;531cos00OPOMOPOMxxsin4tan.cos3yx4,30P0MOyxMyxP,设角是一个任意角，是终边上的任意一点，点与原点的距离.),(yxP022yxrP那么①叫做的正弦，即ryrysin②叫做的余弦，即rxrxcos③叫做的正弦，即xy0tanxxy任意角的三角函数值仅与有关，而与点在角的终边上的位置无关.P定义推广：135122222yxr1312cosrx125tanxy5sin,13yr于是，巩固提高练习:1.已知角的终边过点，求的三个三角函数值.5,12P解：由已知可得：2P15,8aaaa.已知角的终边上一点R且0，sin,cos,tan求角的的值.-15,8,xaya解：由于22158170raaaa所以1017,ara若则于是88151588sin,cos,tan171717171515aaaaaa20-17,ara若则于是88151588sin,cos,tan171717171515aaaaaa32sin,cos,tan.yx.已知角的终边在直线上，求角的的值1解：当角的终边在第一象限时，221,2125在角的终边上取点，则r=225152sin,cos,tan2551552当角的终边在第三象限时，221,2125r在角的终边上取点，则225152sin,cos,tan255155练习4______________,1313sin3(mmp则且终边上的一点，）是角，已知点23rm解析：131332mm2131322mm412m1.根据三角函数的定义，确定它们的定义域（弧度制）探究三角函数定义域sincostanR)(2Zkk2.确定三角函数值在各象限的符号yxosinyxocosyxotan+（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）R+--+--++-+-心得:角定象限,象限定符号.例3.求证：当下列不等式组成立时，角为第三象限角.反之也对．0tan0sin①②证明：因为①式成立,所以角的终边可能位于第三或第四象限，也可能位于y轴的非正半轴上；0sin又因为②式成立，所以角的终边可能位于第一或第三象限.0tan因为①②式都成立，所以角的终边只能位于第三象限.于是角为第三象限角.反过来请同学们自己证明.如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(kkk其中zk利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求角的三角函数值.020360到或？例题cossintantan.例4.确定下列三角函数值的符号,然后用计算器验证:(1)250;(2)(-);(3)(-672);(4)34（1）因为是第三象限角，所以；2500250cos（3）因为=而是第一象限角，所以)672tan(tan(482360)tan48,tan(672)0;48解：（2）因为是第四象限角，所以4sin0;420tantan()tan.(4)3o5.9π11π(1)sin148010';(2)cos;(3)tan(-).46例求下列三角函数值:oooo(1)sin148010'=sin(4010'+4360)=sin4010'0.645;92(2)coscos(2)cos;4442113(3)tan()tan(2)tan.6663解：6.已知在第二象限,试确定sin(cos)cos(sin)的符号.解:∵在第二象限,∴-1cos0,0sin1.∵--1,1,22∴-cos0,0sin.22∴sin(cos)0,cos(sin)0.∴sin(cos)cos(sin)0.故sin(cos)cos(sin)的符号为“-”号.117119cossintan363练习：求值117119cossintan363解：cos4sin12tan6363cossintan36311313221.内容总结：①三角函数的概念.②三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号.③诱导公式一.运用了定义法、公式法、数形结合法解题.划归的思想，数形结合的思想.归纳总结2.方法总结：3.体现的数学思想：MPysincosxOMMAP下面我们再从图形角度认识一下三角函数．思考:为了去掉等式中得绝对值符号，能否给线段OM、MP规定一个适当的方向,使它们的取值与点P的坐标一致？【定义】有向线段*带有方向的线段叫有向线段.*有向线段的大小称为它的数量.在坐标系中,规定:有向线段的方向与坐标系的方向相同.即同向时,数量为正;反向时,数量为负.yxxyyyxxMMMMOOOOPPPPα的终边α的终边α的终边α的终边A(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)(Ⅳ)(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)当角α的终边不在坐标轴上时,以M为始点、P为终点,规定:当线段MP与y轴同向时,MP的方向为正向,且有正值y;当线段MP与y轴反向时MP的方向为负向,且有负值y.MP=y=sinα有向线段MP叫角α的正弦线yxxyyyxxMMMMOOOOPPPPα的终边α的终边α的终边α的终边A(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)(Ⅳ)(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)|MP|=|y|=|sinα||OM|=|x|=|cosα|当角α的终边不在坐标轴上时,以O为始点、M为终点,规定:当线段OM与x轴同向时,OM的方向为正向,且有正值x;当线段OM与x轴反向时,OM的方向为负向,且有负值x.OM=x=cosα有向线段OM叫角α的余弦线TTTyxxyyyxxMMMMOOOOPPPPα的终边α的终边α的终边α的终边A(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)(Ⅳ)(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)T过点A(1,0)作单位圆的切线,设它与α的终边或其反向延长线相交于点T.tanMPOMATyATOAx有向线段AT叫角α的正切线这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线,统称为三角函数线yxTMOPα的终边A(1,0)当角α的终边与x轴重合时,正弦线、正切线,分别变成一个点,此时角α的正弦值和正切值都为0;当角α的终边与y轴重合时,余弦线变成一个点,正切线不存在,此时角α的正切值不存在.规律：三角函数线是有向线段的数量，要分清起点、终点。1）凡含原点的线段，均以原点为起点；2）不含原点的线段，线段与坐标轴的交点为起点；3）正切线AT：起点A一定是单位圆与轴的非负半轴的交点，终点T为终边（或延长线）与过A的圆的切线的交点41.,,3例作出角的正弦线余弦线正切线.MP是正弦线OM是余弦线AT是正切线yxoMPAT例题示范例2.作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线．332（1）；（2）．21sinxyoP1P2xyoTA21030例3．利用单位圆寻找适合下列条件的0到360的角.30≤≤150解:3090或2102703tan3例4、在单位圆中作出符合下列条件的角的终边:;21sin⑴xOy-1-11121y角的终边PM1(2)sin;2)(]265,26[Zkkk-1xy11-1O例:在单位圆中作出符合条件的角的终边:21cos221x335Zkkk352,32变式：写出满足条件≤cosα＜的角α的集合.2123xOy-1-11166113234＜α≤62|k，或322k≤α＜342kZkk，6112Zkkkkk)6112,342322,62(小结1.2．三角函数线的定义，会画任意角的三角函数线；3.利用单位圆比较三角函数值的大小，求角的范围.)(tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(zkkkk