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河南省八校2015届高三上学期第一次联考数学试卷(理科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)在复平面内,复数对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.(5分)若sin2t=﹣cosxdx,其中t∈(0,π),则t=()A.B.C.D.π3.(5分)在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(2,σ2)(σ>0),若ξ在(0,2)内取值的概率为0.4,则ξ在(0,+∞)内取值的概率为()A.0.2B.0.4C.0.8D.0.94.(5分)设p:f(x)=x3﹣2x2﹣mx+1在(﹣∞,+∞)上单调递增;q:m>,则p是q的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.以上都不对5.(5分)将函数y=cosx+sinx(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个长度单位后,所得到的图象关于原点对称,则m的最小值是()A.B.C.D.6.(5分)x、y满足约束条件,若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为()A.或﹣1B.2或C.2或1D.2或﹣17.(5分)若表示不超过x的最大整数,执行如图所示的程序框图,则输出的S值为()A.4B.5C.7D.98.(5分)等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a2=10,a3+a4=26,则过点P(n,an)和Q(n+1,an+1)(n∈N*)的直线的一个方向向量是()A.(﹣,﹣2)B.(﹣1,﹣2)C.(﹣,﹣4)D.(2,)9.(5分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,sin=,a=b=3,点P是边AB上的一个三等分点,则•+•=()A.0B.6C.9D.1210.(5分)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,则这个几何体的外接球的表面积为()A.B.C.D.11.(5分)已知y=f(x)为R上的可导函数,当x≠0时,,则关于x的函数的零点个数为()A.1B.2C.0D.0或212.(5分)已知函数f(x)=,若存在实数x1,x2,x3,x4,满足x1<x2<x3<x4,且f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4),则的取值范围是()A.(0,12)B.(4,16)C.(9,21)D.(15,25)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.(5分)已知双曲线=1的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于.14.(5分)若(2x﹣3)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a1+2a2+3a3+4a4+5a5等于.15.(5分)已知函数f(x)=esinx+cosx﹣sin2x(x∈R),则函数f(x)的最大值与最小值的差是.16.(5分)下列说法:①“∃x∈R,使2x>3”的否定是“∀x∈R,使2x≤3”;②函数y=sin(2x+)sin(﹣2x)的最小正周期是π,③命题“函数f(x)在x=x0处有极值,则f′(x0)=0”的否命题是真命题;④f(x)是(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,x>0时的解析式是f(x)=2x,则x<0时的解析式为f(x)=﹣2﹣x其中正确的说法是.三、解答题:本大题共5小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(12分)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且2cosAcosC(tanAtanC﹣1)=1.(Ⅰ)求B的大小;(Ⅱ)若,,求△ABC的面积.18.(12分)现有4个人去参加娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏.(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率;(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率;(3)用X,Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记ξ=|X﹣Y|,求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ.19.(12分)如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,平面A1BC⊥侧面A1ABB1,且AA1=AB=2.(1)求证:AB⊥BC;(2)若直线AC与平面A1BC所成的角为,求锐二面角A﹣A1C﹣B的大小.20.(12分)已知椭圆C的中心在原点,离心率等于,它的一个短轴端点点恰好是抛物线x2=8y的焦点.(1)求椭圆C的方程;(2)已知P(2,3)、Q(2,﹣3)是椭圆上的两点,A,B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点,①若直线AB的斜率为,求四边形APBQ面积的最大值;②当A、B运动时,满足∠APQ=∠BPQ,试问直线AB的斜率是否为定值,请说明理由.21.(12分)已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)设a<﹣1.如果对任意x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)﹣f(x2)|≥4|x1﹣x2|,求a的取值范围.四、选考题(请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做第一题记分.)选修4-1:几何证明选讲22.(10分)已知AB为半圆O的直径,AB=4,C为半圆上一点,过点C作半圆的切线CD,过点A作AD⊥CD于D,交半圆于点E,DE=1.(Ⅰ)求证:AC平分∠BAD;(Ⅱ)求BC的长.五、选考题(请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做第一题记分.)选修4-4:坐标素与参数方程23.已知在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ=0.(Ⅰ)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;(Ⅱ)设点P是曲线C上的一个动点,求它到直线l的距离d的取值范围.六、选考题(请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做第一题记分.)选修4-5:不等式选讲24.关于x的不等式lg(|x+3|﹣|x﹣7|)<m.(Ⅰ)当m=1时,解此不等式;(Ⅱ)设函数f(x)=lg(|x+3|﹣|x﹣7|),当m为何值时,f(x)<m恒成立?河南省八校2015届高三上学期第一次联考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)在复平面内,复数对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限考点:复数代数形式的乘除运算;复数的代数表示法及其几何意义.专题:计算题.分析:首先把复数的分子分母都乘以分母的共轭复数,化为1﹣i,进而可判断出所对应的点位于的象限.解答:解:∵===1﹣i.∴复数对应的点是(1,﹣1),位于第四象限.故选:D.点评:本题考查了复数的除法运算及其几何意义,熟练掌握以上有关知识是解决问题的关键.2.(5分)若sin2t=﹣cosxdx,其中t∈(0,π),则t=()A.B.C.D.π考点:定积分.专题:导数的综合应用.分析:将已知中等式中的定积分化简求值,化为关于t的三角函数方程解之.解答:解:因为﹣cosxdx=﹣sinx=0,所以sin2t=0,因为t∈(0,π),所以2t=π,所以t=;故选:B.点评:本题考查了定积分的计算以及三角函数求值,属于基础题.3.(5分)在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(2,σ2)(σ>0),若ξ在(0,2)内取值的概率为0.4,则ξ在(0,+∞)内取值的概率为()A.0.2B.0.4C.0.8D.0.9考点:正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.专题:计算题;概率与统计.分析:根据ξ服从正态分布N(2,σ2),得到曲线的对称轴是直线x=2,根据所给的ξ在(0,2)内取值的概率为0.4,根据正态曲线的对称性知在(0,+∞)内取值的概率.解答:解:∵ξ服从正态分布N(2,σ2)∴曲线的对称轴是直线x=2,∵ξ在(0,2)内取值的概率为0.4,∴根据正态曲线的性质知在(0,+∞)内取值的概率为0.4+0.5=0.9.故选:D.点评:本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,主要考查正态曲线的对称性,是一个基础题.4.(5分)设p:f(x)=x3﹣2x2﹣mx+1在(﹣∞,+∞)上单调递增;q:m>,则p是q的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.以上都不对考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断.专题:简易逻辑.分析:根据f(x)=x3﹣2x2﹣mx+1在(﹣∞,+∞)上单调递增,可得f′(x)=3x2﹣4x﹣m,3x2﹣4x﹣m≥0在R上恒成立,求出m的范围,再根据充分必要条件可判断答案.解答:解:∵f(x)=x3﹣2x2﹣mx+1在(﹣∞,+∞)上单调递增,∴f′(x)=3x2﹣4x﹣m,即3x2﹣4x﹣m≥0在R上恒成立,所以△=16+12m≤0,即m≥﹣,∵p:f(x)=x3﹣2x2﹣mx+1在(﹣∞,+∞)上单调递增;q:m>∴根据充分必要条件的定义可判断:p是q的必要不充分条件,故选:C点评:本题考查了充分必要条件的判断方法,结合导数判断求解,难度适中,有点综合性.5.(5分)将函数y=cosx+sinx(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个长度单位后,所得到的图象关于原点对称,则m的最小值是()A.B.C.D.考点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.专题:三角函数的图像与性质.分析:利用两角和的正弦化简原函数,然后利用三角函数的图象平移得到平移后图象的函数解析式,由图象关于原点对称列式求得m的最小值.解答:解:设y=f(x)=cosx+sinx(x∈R),化简得f(x)=2(cosx+sinx)=2sin(x+),∴图象向左平移m(m>0)个单位长度得到y=2sin=2sin(x+m+),∵所得的图象关于原点对称,∴m+=kπ(k∈Z),则m的最小正值为.故选:D.点评:本题考查了三角函数的图象平移,考查了两角和的正弦公式,考查了三角函数的性质,是基础题.6.(5分)x、y满足约束条件,若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为()A.或﹣1B.2或C.2或1D.2或﹣1考点:简单线性规划.专题:不等式的解法及应用.分析:作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,得到直线y=ax+z斜率的变化,从而求出a的取值.解答:解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分ABC).由z=y﹣ax得y=ax+z,即直线的截距最大,z也最大.若a=0,此时y=z,此时,目标函数只在A处取得最大值,不满足条件,若a>0,目标函数y=ax+z的斜率k=a>0,要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一,则直线y=ax+z与直线2x﹣y+2=0平行,此时a=2,若a<0,目标函数y=ax+z的斜率k=a<0,要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一,则直线y=ax+z与直线x+y﹣2=0,平行,此时a=﹣1,综上a=﹣1或a=2,故选:D点评:本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法.注意要对a进行分类讨论,同时需要弄清楚最优解的定义.7.(5分)若表示不超过x的最大整数,执行如图所示的程序框图,则输出的S值为()A.4B.5C.7D.9考点:程序框图.专题:算法和程序框图.分析:根据题意,模拟程序框图的运行过程,求出该程序运行后输出的S的值.解答:解:模拟程序框图的运行过程,如下;S=0,n=0,S=0+=0,0>4,否;n=1,S=0+=1,1>4,否;n=2,S=1+=2,2>4,否;n=3,S=2+=3,3>4,否;n=4,S=3+=5,4>4,否;n=5,S=5+=7,5>4,是;输出S=7.故选:C.点评:本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,从而得出该程序运行后的结果是什么.8.(5分)等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a2=10,a3+a4=26,则过点P(n,an)和Q(n+1,an+1)(n∈N*)的直线的一个方向向量是()A.(﹣,﹣2)B.
本文标题:河南省八校2015届高三上学期第一次联考数学试卷(理科)
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