二次根式的基本定义

知识点一：二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．注意理解：1、定义是从结构形式上定义的，必须含有二次根号。根指数省略不写。不能从化简结果上判断，如，都是二次根式。2、被开方数是一个数，也可以是含有字母的式子。但前提条件是必须是大于或等于0.3、如果是给定的式子，就是有意义的。、4、形如b(a的式子也是二次根式，b与是相乘关系，当b是分数时，写成假分数。5、式子(a表示的是非负数。6、+b(a和形式是含有二次根式的式子，不能叫二次根式。二次根式定义：【例1】下列各式22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153xaaa，其中是二次根式的是_________（填序号）．变式练习：1、下列各式中，一定是二次根式的是（）A、aB、10C、1aD、21a2、在a、2ab、1x、21x、3中是二次根式的个数有______个3、下列的式子一定是二次根式的是（）A．B．C．D．4、式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦⑧中是二次根式的代号为（）A．①②④⑥B．②④⑧C．②③⑦⑧D．①②⑦⑧【例2】若是正整数，最小的整数n是（）A．6B．3C．48D．2变式练习：1、已知：是整数，则满足条件的最小正整数n的值是（）A．0B．1C．2D．52、二次根式是一个整数，那么正整数a最小值是．注意掌握：1、二次根式具有双重非负性。(a，02、如果式子中既含有二次根式又含有分式，那么它有意义的条件是：二次根式中的被开方数是非负数，分式中的分母不为0.3、如果式子中含有零指数幂或负整数指数幂，有意义的条件是，度数不为0.【例3】来式子有意义的x的取值范围是源:学*科*网Z*X*X*K]变式练习：1、使代数式43xx有意义的x的取值范围是（）A、x3B、x≥3C、x4D、x≥3且x≠42、使代数式221xx有意义的x的取值范围是3、如果代数式mnm1有意义，那么，直角坐标系中点P（m，n）的位置在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限【例4】若y=5x+x5+2009，则x+y=变式练习：1、若11xx2()xy，则x－y的值为（）A．－1B．1C．2D．32、若x、y都是实数，且y=4x233x2，求xy的值3、当a取什么值时，代数式211a取值最小，并求出这个最小值。4、若实数a、b、c满足+|a+b|=+，则2a-3b+c2的值为．5、已知y=，求2x+y的算术平方根．二次根式整数部分小数部分：已知a是5整数部分，b是5的小数部分，求12ab的值。1、若3的整数部分是a，小数部分是b，则ba3。2、若17的整数部分为x，小数部分为y，求yx12的值.二次根式性质：1.非负性：aa()0是一个非负数．注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．2.()()aaa20．注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：aaa()()203.aaaaaa200||()()注意：（1）字母不一定是正数．（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．4.公式aaaaaa200||()()与()()aaa20的区别与联系（1）a2表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数．（2）()a2表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数．（3）a2和()a2的运算结果都是非负的．【例5】若22340abc，则cba．变式练习：1、若0)1(32nm，则mn的值为。2、已知yx,为实数，且02312yx，则yx的值为（）A．3B．–3C．1D．–13、已知直角三角形两边x、y的长满足｜x2－4｜＋652yy＝0，则第三边长为＿＿＿＿＿＿.4、若1ab与24ab互为相反数，则2005_____________ab。【例6】如果＝2−x，那么x取值范围是（）A．x≤2B．x＜2C．x≥2D．x＞2【例7】化简二次根式22aaa的结果是（A）2a(B)2a(C)2a(D)2a变式练习：1、把二次根式aa1化简，正确的结果是（）A.aB.aC.aD.a2、已知0＜a＜1，化简+=3、若化简的结果为2x-5，则x的取值范围是（）A、任意实数B、1C、xD、x4、若实数a、b、c在数轴的位置，如图所示，则化简−|b−c|=．5、已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：+2-|a-b|．6、已知，求-的值。最简二次根式：（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式,（被开方数中每个因数(式)的指数都小于根指数2，都是1）；分母中不含根号．化最简根式时注意：（1）被开方数是带分数的要化成假分数。（2）被开方数学是小数的要化成分数。（3）被开方数中含有能开方的多项式时，要先因式分解再开方。同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。【例7】在根式1)222;2);3);4)275xabxxyabc，最简二次根式是（）A．1)2)B．3)4)C．1)3)D．1)4)2、下列根式中，不是．．最简二次根式的是（）A．7B．3C．12D．23、下列根式不是最简二次根式的是()A.21aB.21xC.24bD.0.1y【例8】下列根式中能与3是合并的是()A.8B.27C.25D.21【例9】将a根号外的因式移入根号内的结果是练习：化简：，，(y，分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：利用aaa来确定，如：aa与，abab与，ba与ba等分别互为有理化因式。②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如ab与ab，abab与，axbyaxby与分别互为有理化因式。【例10】把下列各式分母有理化（1）148（2）4337（3）11212（4）13550【例11】把下列各式分母有理化（1）328xxy（2）2ab（3）38xx（4）2525abba【例12】把下列各式分母有理化：（1）221（2）5353（3）333223-1的倒数为（）A．-1B．1-C．+1D．--1