高等数学(上)第五章第六章练习题

第1页共4页高等数学(上)第五–六章练习题一.填空题1.111lim12nnnnn______________.2.曲线0(1)(2)xyttdt在点（0，0）处的切线方程是_______________.3.设()fx连续,220()()xFxftdt,则_____________.Fx4.1221(1)xxdx_______________.5.设函数fx连续,且310()1xftdtx,则7f_________.6.设函数fx连续,且()xexFxftdt,则Fx________________.7.设fx为连续函数,且2()xaxFxftdtxa,则limxaFx__________.8.0sin()xdxtdtdx__________.9.设方程2020(1)0ytxtdtedt确定y是x的函数,则dydx__________.10.设1201()2fxxfxdx,则10()fxdx__________,fx__________.11.已知231()xftdtx,则10()fxdx__________.12.2limarctanxxxtdt_____________.二.单项选择题13．设1ln(),0xfxtxdxx,则fx【】A.2lnx,B.2lnlnxx,C.112lnxx,D.12lnx14．若连续函数fx满足20ln22xtfxfdt,则fx【】A.ln2xe,B.2ln2xe,C.ln2xe,D.2ln2xe15．设fx在[,]ab上连续且0fx，在(,)ab内0fx,则()bafxdx【】A.大于fbba,B.小于fbba,C.大于faba,D..等于faba16．设函数fx有一个原函数sinxx,则2xfxdx【】A.14,B.14,C.41,D.41第2页共4页17．设fx为连续函数,且1stIftxdx,其中0,0st,则I的值【】A.仅依赖于,,;xstB.仅依赖于;xC.仅依赖于,;stD.仅依赖于,;xt18．若202100xtedtxfxxax,且已知fx在点0x处连续,则必有【】A.1a,B.2a,C.0a,D.1a19．设()fx在[,]ab上连续，由()yfx，xa，xb及x轴围成图形的面积为【】A．()bafxdxB.|()|bafxdxC.1()bafxdxbaD.2()bafxdx20．若fx是具有连续导数的函数,且00f,设02000xtftdtxFxxx则Fx之值为【】A.0f,B.103f,C.1,D.1321．曲线2yx在点(1,1)处的切线与2xy所围成的平面图形的面积S【】A.916,B.3148,C.13,D.12422．由曲线22yxx与yx所围成的图形绕x轴而成的旋转体的体积V【】A.23,B.3,C.6,D.三．解答下各题23．2000arctan(1)lim(1cos)xuxtdtduxx24.201sin2xdx25.541154xdx26.2212xxxdx27.30arctanxdx28.0xxdxee四．证明下列各题29．()fx在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且满足120(1)2()fxfxdx，证明：在(0,1)内至少存在一点，使()()0ff30．()fx是连续函数，()()||baFxftxtdt(axb)，证明：()2()Fxfx31．()fx在[0,)连续且单调增加，01()()xgxftdtx（0x），求证：（1）0x时，()()fxgx（2）()gx在(0,)内单调增加第3页共4页32．()fx在(,)内连续函数，且0()(2)()xFxxtftdt，求证：（1）如果()fx是偶函数，()Fx也是偶函数（2）如果()fx单调增加，则()Fx单调减少33．()fx在[0,1]上连续，且()1fx，证明：02()1xxftdt在(0,1)内有且只有一个根34．（1）0x时，证明：1arctanarctan2xx（2）计算121arctan1xedxx五．解答下列各题35．已知曲线sinyx（02x）和直线yt（01t），它们与直线0x所围成的图形的面积为1A，它们与直线2x所围成的图形的面积为2A，求12AAA的最小值36．过曲线2yx（0x）上一点P作切线，使之与该曲线及x轴围成的图形的面积为112，求（1）切点P的坐标及过点P的切线方程（2）上述图形分别绕x轴和y轴旋转一周所成的旋转体的体积37．求曲线21yx（01x），直线1y和1x围成的平面图形绕直线1x旋转一周所得旋转体的体积38．设在底半径为3米，高为2米、锥项朝圆锥形水池内装满了水（密度为），现用抽水机将水全部抽出，问须做功多少？参考答案与提示一.填空题（1）ln2（2）2yx（3）42xfx（4）23（5）112（6）xxefefx（7）2afa（8）2sinx（9）221xey,（10）221,33x（11）32（12）二.单项选择题（13）C（14）B（15）A（16）D（17）A（18）C（19）B（20）B（21）A（22）B三．计算下列各题（23）6（24）2(21)提示：化20|sincos|ttdt，去绝对值（25）5815提示：令154tx（26）143提示：令1sinxt（27）433（28）4第4页共4页四．证明下列各题（29）提示：令()()Fxxfx，由积分中值定理120(1)2()()fxfxdxf102得()(1)(1)FFf，()Fx在[,1]上应用罗尔定理（30）提示：()()()()()xbaxFxxtftdttxftdt()()()()xxbbaaxxxftdttftdttftdtxftdt（31）提示：（1）由积分中值定理0()()xftdtfx，0x（＊）得()()gxf又()fx在[0,)单调增加，()()()fxfgx（2）由（＊），02()()()()()xxfxftdtfxfgxxx，又()()fxf得()0gx（32）提示：（1）对0()(2)()xFxxtftdt，令tu得，00()(2)()()(2)()xxFxxufuduxufudu（2）00()()2()xxFxxftdttftdt，对()Fx求导得，0()()()xFxxftdtfx，利用积分中值定及()fx的单调性分0x和0x讨论，并利用()Fx在0x的连续性（33）提示：令0()2()1xFxxftdt，应用零点定理，对()Fx求导，判断其单调性（34）提示：（1）1()arctantanFxxarcx求导得()0Fx（2）积分变量变换，xt，被积函数分子应用（1）五．解答下列各题（35）A的最小值为2()212A（36）(1,1)P，切线方程为21yx②30xV，12yV（37）2532提示：122011Vydy（38）3g千焦耳提示：画出圆锥截面图，取项点为坐标原点，项点与底面圆心的连线所在直线为y轴，向上方向为y轴正向，第一象限圆锥母线方程为23yx功元素为23(2)2dWgyydy，所求功为2209(2)4Wgyydy