衡水中学2019届高考理科数学模拟试题精编(十)

高考理科数学模拟试题精编(十)(考试用时：120分钟试卷满分：150分)注意事项：1．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。2．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合A＝{(x，y)|y＝x＋1,0≤x≤1}，集合B＝{(x，y)|y＝2x,0≤x≤10}，则集合A∩B＝()A．{1,2}B．{x|0≤x≤1}C．{(1,2)}D．∅2．设i是虚数单位，复数(a＋1＋i)2－2a－1为纯虚数，则实数a为()A．1B．－1C．1或－1D．－123．若sin(π－α)＝13，且π2≤α≤π，则sin2α的值为()A．－429B．－229C.229D.4294．已知A(1,2)，B(2,4)，C(－2,1)，D(－3,2)，则向量CD→在向量AB→上的投影为()A.55B.255C.22D.2235．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为()A.3B.2C．2D．36．某国际会议结束后，中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人也站前排并与中国领导人相邻，如果对其他国家领导人所站位置不做要求，那么不同的站法共有()A．A1818种B．A2020种C．A23A318A1010种D．A22A1818种7．M＝011x＋1dx，N＝∫π20cosxdx，由程序框图输出S的值为()A．ln2B．0C.π2D．18．如图是一个正三棱柱挖去一个圆柱后得到的几何体的三视图，则该几何体的体积与挖去的圆柱的体积的比值为()A.33π－1B.33π－13C.33πD.33π＋19．已知平面向量a＝(2cos2x，sin2x)，b＝(cos2x，－2sin2x)，f(x)＝a·b，要得到y＝sin2x＋3cos2x的图象，只需要将y＝f(x)的图象()A．向左平行移动π6个单位B．向右平行移动π6个单位C．向左平行移动π12个单位D．向右平行移动π12个单位10．在线段AB上任取一点C，若AC2＝AB·BC，则点C是线段AB的“黄金分割点”，以AC、BC为邻边组成的矩形称为“黄金矩形”．现在线段AB上任取一点C，若以AC、BC为邻边组成矩形，则该矩形的面积小于“黄金矩形”的面积的概率为()A．3－5B.5－2C.3－1D．3－711．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面4个结论：①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD.其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个12．已知正三角形ABC的顶点A，B在抛物线y2＝4x上，另一个顶点C(4,0)，则这样的正三角形有()A．1个B．2个C．3个D．4个第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知圆C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0与直线l：x＋ay＋1＝0相交所得弦AB的长为4，则a＝________.14．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a、b、c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的数学期望为2(不计其他得分情况)，则ab的最大值为________．15．如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100m，汽车从B点到C点历时14s，则这辆汽车的速度约为________m/s(精确到0.1)．参考数据：2≈1.414，5≈2.236.16．已知函数f(x)＝1|x|－1，下列关于函数f(x)的研究：①y＝f(x)的值域为R.②y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递减．③y＝f(x)的图象关于y轴对称．④y＝f(x)的图象与直线y＝ax(a≠0)至少有一个交点．其中，结论正确的序号是________．三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．)(一)必考题：共60分．17．(本小题满分12分)已知数列{an}为等差数列，其中a2＋a3＝8，a5＝3a2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)数列{bn}中,b1＝1，b2＝2，从数列{an}中取出第bn项记为cn，若{cn}是等比数列，求{bn}的前n项和．18．(本小题满分12分)某地高中数学学业水平考试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制．各等级划分标准：85分及以上，记为A等级；分数在[70,85)内，记为B等级；分数在[60,70)内，记为C等级；60分以下，记为D等级．同时认定等级为A，B，C的学生成绩为合格，等级为D的学生成绩为不合格．已知甲、乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50,100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分组作出甲校样本的频率分布直方图(如图1所示)，乙校的样本中等级为C，D的所有数据的茎叶图(如图2所示)．(1)求图1中x的值，并根据样本数据比较甲、乙两校的合格率；(2)在选取的样本中，从甲、乙两校C等级的学生中随机抽取3名学生进行调研，用X表示所抽取的3名学生中甲校的学生人数，求随机变量X的分布列和数学期望．19．(本小题满分12分)如图1，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为底AB，CD上的点，且EF⊥AB，EF＝EB＝12FC＝2，EA＝12FD，沿EF将平面AEFD折起至平面AEFD⊥平面EBCF，如图2所示．(1)求证：平面ABD⊥平面BDF；(2)若二面角B­AD­F的大小为60°，求EA的长度．20．(本小题满分12分)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1(－6，0)，e＝22.(1)求椭圆C的方程；(2)如图，设R(x0，y0)是椭圆C上一动点，由原点O向圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝4引两条切线，分别交椭圆于点P，Q，若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k1，k2，求证：k1k2为定值；(3)在(2)的条件下，试问|OP|2＋|OQ|2是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．21．已知函数f(x)＝lnx－x2＋f′12·x＋22.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)证明：12x2＋x＋1f(x)＜2ex.(二)选考题：共10分．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程以直角坐标系xOy的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，且两坐标系取相同的长度单位．已知曲线C1的参数方程为：x＝2cosθy＝2sinθ(θ为参数)，将曲线C1上每一点的纵坐标变为原来的12倍(横坐标不变)，得到曲线C2，直线l的极坐标方程：3ρcosθ＋2ρsinθ＋m＝0(1)求曲线C2的参数方程；(2)若曲线C2上的点到直线l的最大距离为27，求m的值．23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知函数f(x)＝|2x＋3|＋|2x－1|.(1)求不等式f(x)≤5的解集；(2)若关于x的不等式f(x)＜|m－1|的解集非空，求实数m的取值范围．高考理科数学模拟试题精编(十)1．解析：选C.根据题意可得，y＝x＋1y＝2x，解得x＝1y＝2，满足题意0≤x≤1，所以集合A∩B＝{(1,2)}．故选C.2．解析：选A.(a＋1＋i)2－2a－1＝(a2－1)＋2(a＋1)i.∵(a＋1＋i)2－2a－1是纯虚数，∴a2－1＝0，a＋1≠0，解得a＝1，故选A.3．解析：选A.因为sin(π－α)＝sinα＝13，π2≤α≤π，所以cosα＝－223，所以sin2α＝2sinαcosα＝2×13×－223＝－429，故选A.4．解析：选A.∵AB→＝(1,2)，CD→＝(－1,1)，∴向量CD→在向量AB→上的投影为AB→·CD→|AB→|＝15＝55，故选A.5．解析：选A.设双曲线C的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，由于直线l过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l的方程为x＝c或x＝－c，代入x2a2－y2b2＝1中得y2＝b2c2a2－1＝b4a2，∴y＝±b2a，故|AB|＝2b2a，依题意2b2a＝4a，∴b2a2＝2，∴e＝1＋ba2＝1＋2＝3，选A.6．解析：选D.中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人站前排并与中国领导人相邻，有A22种站法；其他18国领导人可以任意站，因此有A1818种站法．根据分步计数原理，共有A22A1818种站法．故选D.7．解析：选A.M＝∫101x＋1dx＝ln(x＋1)10＝ln2－ln1＝ln2.N＝∫π20cosxdx＝sinxπ20＝sinπ2－sin0＝1，∵ln2＜1，∴M＜N，∴S＝M＝ln2.8．解析：选A.由三视图知圆柱与正三棱柱的各侧面相切，设圆柱的底面半径为r，高为h，则V圆柱＝πr2h.正三棱柱底面三角形的高为3r，边长为23r，则V正三棱柱＝12×23r×3rh＝33r2h，所以该几何体的体积V＝(33－π)r2h，则该几何体的体积与挖去的圆柱的体积的比值为33－πr2hπr2h＝33π－1.9．解析：选D.由题意得：f(x)＝a·b＝2cos4x－2sin4x＝2(cos2x＋sin2x)(cos2x－sin2x)＝2cos2x＝2sin2x＋π2，而y＝sin2x＋3cos2x＝2sin2x＋π3＝2sin2x－π12＋π2，故只需将y＝f(x)的图象向右平移π12个单位即可．10．解析：选A.不妨记AB＝1，则由AC2＝AB·BC得AC＝5－12，从而BC＝3－52，于是“黄金矩形”的面积为5－2.现在线段AB上任取一点C，设AC＝x，则BC＝1－x，由x(1－x)＜5－2得0＜x＜3－52或5－12＜x＜1，故所求概率为P＝3－52＋1－5－12＝3－5.11.解析：选B.将几何体的展开图还原为几何体(如图)，因为E，F分别为PA，PD的中点，所以EF∥AD∥BC，即直线BE与CF共面，①错；因为B∉平面PAD，E∈平面PAD，E∉AF，所以BE与AF是异面直线，②正确；因为EF∥AD∥BC，EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC，③正确；平面PAD与平面BCE不一定垂直，④错．故选B.12．解析：选D.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由|AC|＝|BC|得(x1－4)2＋y21＝(x2－4)2＋y22，即(x1－x2)(x1＋x2－8)＋y21－y22＝0，又y21＝4x1，y22＝4x2，代入上式，得(x1－x2)(x1＋x2－4)＝0①，由①得x1＝x2或x1＋x2＝4，若x1＝x2，则|y1|＝|y2|，显然A，B关于抛物线的对称轴(x轴)对称，考虑到△ABC是正三角形，∴AC与x轴所成的角为30°，不妨设直线AC：y＝33(x－4)，联立直线与抛物线的方程，得y＝33x－4y2＝4x⇒x2－20x＋16＝0⇒x＝10±221，即这样