[数学]含参不等式恒成立问题

[阅读材料——含参不等式恒成立问题]阅读材料——含参不等式恒成立问题第1页共35页]1一、判别式法:若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数),0()(2Rxacbxaxxf,有（1）0)(xf对Rx恒成立00a;（2）0)(xf对Rx恒成立.00a注:①Rxcbxax对02恒成立0000acba或;②Rxcbxax对02恒成立0000acba或例：关于x的不等式01)1(2axaax对于Rx恒成立，求a的取值范围．解:(1)当0a时，原不等式化为01x,不符合题意，∴0a.(2)当0a时,则012300)1(4)1(022aaaaaaa310)1)(13(0aaaa∴a的取值范围为)31,(例：若函数)8(6)(2kkxkxxf的定义域为R，求实数k的取值范围解：(1)当0k时，8)(xf满足条件.(2)当0k时,则102)8(43602kkkkk.综合(1)(2)得：k的取值范围是]1,0[例:已知函数])1(lg[22axaxy的定义域为R，求实数a的取值范围。解：由题意得：不等式0)1(22axax对Rx恒成立，即有04)1(22aa，解得311aa或。所以实数a的取值范围为),31()1,(例：若不等式210axax的解集为R,求实数a的取值范围.解:(1)当0a时,原不等式可化为10,显然成立(2)当0a,则2040aaa,得04a综上(1)(2)得：a的取值范围]0,4(.例：已知关于x的不等式01)3()32(22xmxmm的解集为R,求实数m的取值范围.解:(1)若0322mm,则13mm或,当3m时，原不等式可化为10,显然成立;当1m时，原不等式可化为014x,显然不成立.3m(2)若0322mm,则03-2m-m43)-(m03-2m-m222,综上(1)(2)得：m的取值范围]3,51(例1、对于不等式(1-m)x2+(m-1)x+30................(*)（1）当|x|≤2，(*)式恒成立，求实数m的取值范围；（2）当|m|≤2，(*)式恒成立，求实数x的取值范围解(2):设g(m)=(-x2+x)m+(x2-x+3)（m[-2,2]）则g(m)0恒成立g(-2)=3x2-3x+30[阅读材料——含参不等式恒成立问题]阅读材料——含参不等式恒成立问题第2页共35页]2g(2)=-x2+x+30*若二次不等式中x的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。(如下例)例：设22)(2mxxxf，当),1[x时，mxf)(恒成立，求实数m的取值范围。解：设mmxxxF22)(2，则当),1[x时，0)(xF恒成立当120)2)(1(4mmm即时，0)(xF显然成立；当0时，如图，0)(xF恒成立的充要条件为：1220)1(0mF解得23m。综上可得实数m的取值范围为)1,3[。二、最值法：将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：（1）axf)(恒成立axfmin)(（或)(xf的下界a）（2）axf)(恒成立axfmax)(（或)(xf的上界a）注：例：已知xxxxgaxxxf4042)(,287)(232，当]3,3[x时，)()(xgxf恒成立，求实数a的取值范围。解：设cxxxxgxfxF1232)()()(23，则由题可知0)(xF对任意]3,3[x恒成立令01266)(2'xxxF，得21xx或而,20)2(,7)1(aFaF,9)3(,45)3(aFaF∴045)(maxaxF∴45a即实数a的取值范围为),45[。例：函数),1[,2)(2xxaxxxf，若对任意),1[x，0)(xf恒成立，求实数a的取值范围。解：若对任意),1[x，0)(xf恒成立，即对),1[x，02)(2xaxxxf恒成立，考虑到不等式的分母),1[x，只需022axx在),1[x时恒成立而得而抛物线axxxg2)(2在),1[x的最小值03)1()(minagxg得3a注：本题还可将)(xf变形为2)(xaxxf，讨论其单调性从而求出)(xf最小值。（3）分离参数法（或分离变量法）若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最Oxyx-1[阅读材料——含参不等式恒成立问题]阅读材料——含参不等式恒成立问题第3页共35页]3值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：1）为参数）aagxf)(()(恒成立max)()(xfag2）为参数）aagxf)(()(恒成立max)()(xfag实际上，上题就可利用此法解决。略解：022axx在),1[x时恒成立，只要xxa22在),1[x时恒成立。而易求得二次函数xxxh2)(2在),1[上的最大值为3，所以3a。例：已知函数]4,0(,4)(2xxxaxxf时0)(xf恒成立，求实数a的取值范围。解：将问题转化为xxxa24对]4,0(x恒成立。令xxxxg24)(，则min)(xga由144)(2xxxxxg可知)(xg在]4,0(上为减函数，故0)4()(mingxg∴0a即a的取值范围为)0,(。注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。（4）变换主元法处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。例：对任意]1,1[a，不等式024)4(2axax恒成立，求x的取值范围。分析：题中的不等式是关于x的一元二次不等式，但若把a看成主元，则问题可转化为一次不等式044)2(2xxax在]1,1[a上恒成立的问题。解：令44)2()(2xxaxaf，则原问题转化为0)(af恒成立（]1,1[a）。（1）当2x时，可得0)(af，不合题意。（2）当2x时，应有0)1(0)1(ff解之得31xx或。故x的取值范围为),3()1,(。注：一般地，一次函数)0()(kbkxxf在],[上恒有0)(xf的充要条件为0)(0)(ff。（5）数形结合法：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，1）)()(xgxf函数)(xf图象恒在函数)(xg图象上方；2）)()(xgxf函数)(xf图象恒在函数)(xg图象下上方。例：设xxxf4)(2,axxg134)(,若恒有)()(xgxf成立,求实数a的取值范围.[阅读材料——含参不等式恒成立问题]阅读材料——含参不等式恒成立问题第4页共35页]4解：在同一直角坐标系中作出)(xf及)(xg的图象如图所示，)(xf的图象是半圆)0(4)2(22yyx)(xg的图象是平行的直线系03334ayx。要使)()(xgxf恒成立，则圆心)0,2(到直线03334ayx的距离满足25338ad解得355aa或（舍去)10．不等式有解问题*不等式恒成立与有解的区别：不等式恒成立和有解是有明显区别的，以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价转化，切不可混为一团.（1）f(x)k在xI时恒成立kxf,)(maxxI.（2）f(x)k在xI时有解kxf,)(minxI.（3）f(x)k在xI时恒成立kxf,)(minxI.（4）f(x)k在xI时有解kxf,)(maxxI.例：已知两函数f(x)=8x2+16x-k，g(x)=2x3+5x2+4x，其中k为实数.（1）对任意x[-3，3]，都有f（x)≤g(x)成立，求k的取值范围；（2）存在x[-3，3]，使f（x)≤g(x)成立，求k的取值范围；（3）对任意x1x2[-3，3]，都有f（x1)≤g(x2)，求k的取值范围.解：（1）设h(x)=g(x)-f(x)=2x2-3x2-12x+k，问题转化为x[-3，3]时，h(x)≥0恒成立，故hmin(x)≥0.令h′(x)=6x2-6x-12=0，得x=-1或2.由h(-1)=7+k，h(2)=-20+k，h(-3)=k-45，h(3)=k-9，故hmin(x)=-45+k，由k-45≥0，得k≥45.（2）据题意：存在x[-3，3]，使f（x)≤g(x)成立，即为：h(x)=g(x)-f(x)≥0在x[-3，3]有解，故hmax(x)≥0，由（1）知hmax（x）=k+7，于是得k≥-7.（3）它与（1）问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对任意x1x2[-3，3]，都有f（x1)≤g(x2)成立，不等式的左右两端函数的自变量不同，x1，x2的取值在[-3，3]上具有任意性，因而要使原不等式恒成立的充要条件是：]3,3[,)()(minmaxxxgxf，由g′(x)=6x2+10x+4=0，得x=-32或-1，易得21)3()(mingxg，又f(x)=8(x+1)2-8-k，]3,3[x.故.120)3()(maxkfxf令120-k≤-21，得k≥141.点评本题的三个小题，表面形式非常相似，究其本质却大相径庭，应认真审题，深入思考，多加训练，准确使用其成立的充要条件.1.函数性质法（1）一次函数：给定一次函数()(0)yfxaxba，若()yfx在[,]mn内恒有()0fx，则根据函数的图像（直线）可得上述结论等价于x-2-4yO-4[阅读材料——含参不等式恒成立问题]阅读材料——含参不等式恒成立问题第5页共35页]5ⅰ）0)(0mfa或ⅱ）0)(0nfa，亦可合并成0)(0)(nfmf，如图1所示.同理，若在[,]mn内恒有()0fx，则有0)(0)(nfmf.图1【例1】（2007年·辽宁卷·文22)已知函数322()9cos48cos18sinfxxxx，()()gxfx，且对任意的实数t均有(1)0tge，(3sin)0gt.(Ⅰ)求函数()fx的解析式；(Ⅱ)若对任意的[26,6]m，恒有2()11fxxmx，求x的取值范围.〖解析〗(Ⅰ)略（Ⅱ）由(Ⅰ)32()924fxxxx，所以22()11924110fxxmxmxxx.令2()92411hmmxxx，则2()11fxxmx即()0hm.由于[26,6]m，则有22(26)26924110(6)6924110hxxxhxxx.解得113x.（2）二次函数：给定二次函数2(0)yaxbxca，若()yfx大于0恒成立，则有00a，如图2所示.（注：()0fx恒成立00a）[阅读材料——含参不等式恒成立问题]阅读材料——含参不等式恒成立问题第6页共35页]6图2若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解.【例2】（2007年·江苏卷9)已知二次