不等式课件

第4课时基本不等式目录教材回顾夯实双基基础梳理1．基本不等式：ab≤a＋b2(1)基本不等式成立的条件：___________.(2)等号成立的条件：当且仅当______时取等号．2．常用的几个重要不等式(1)a2＋b2≥_____(a，b∈R)；(2)ab____(a＋b2)2(a，b∈R)；(3)a2＋b22_____(a＋b2)2(a，b∈R)；(4)ba＋ab≥____(a，b同号且不为零)．a0，b0a＝b2ab≤≥2目录3．算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为______，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当______时，x＋y有______值是______.(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当______时，xy有________值是_____(简记：和定积最大)a＋b2x＝y最小2px＝y最大p24目录考点探究讲练互动考点突破考点1利用基本不等式求最值例1(1)已知x＞1，求f(x)＝x＋1x－1的最小值；(2)已知0＜x＜25，求y＝2x－5x2的最大值；(3)已知x＞0，y＞0，且x＋y＝1，求8x＋2y的最小值．目录【解】(1)∵x＞1，∴x－1＞0，∴f(x)＝x＋1x－1＝x－1＋1x－1＋1≥2x－1·1x－1＋1＝2＋1＝3.当且仅当x－1＝1x－1，即x＝2时，等号成立．∴f(x)的最小值为3.(2)y＝2x－5x2＝x(2－5x)＝15·5x·(2－5x)．∵0x25，∴5x2,2－5x0，∴5x(2－5x)≤(5x＋2－5x2)2＝1，目录∴y≤15，当且仅当5x＝2－5x，即x＝15时，ymax＝15.(3)∵x0，y0，且x＋y＝1，∴8x＋2y＝(8x＋2y)(x＋y)＝10＋8yx＋2xy≥10＋28yx·2xy＝18，当且仅当8yx＝2xy，即x＝23，y＝13时等号成立，∴8x＋2y的最小值是18.目录【题后感悟】利用基本不等式求最值必须具备三个条件：一正、二定、三相等．“一正”就是各项必须为正数．“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值．“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号，则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易出现错误的地方．目录跟踪训练1．(1)已知x0，则f(x)＝2＋4x＋x的最大值为__________；(2)当x＞0时，则f(x)＝2xx2＋1的最大值为__________；(3)若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值为__________．解析：(1)∵x0，∴－x0，∴f(x)＝2＋4x＋x＝2－[4－x＋(－x)]．∵－4x＋(－x)≥24＝4，当且仅当－x＝4－x，即x＝－2时等号成立．目录∴f(x)＝2－[4－x＋(－x)]≤2－4＝－2，∴f(x)的最大值为－2.(2)∵x＞0，∴f(x)＝2xx2＋1＝2x＋1x≤22＝1，当且仅当x＝1x，即x＝1时取等号．(3)xy＝2x＋y＋6≥22xy＋6，令xy＝t2(t＞0)，可得t2－22t－6≥0，注意到t＞0，解得t≥32，故xy的最小值为18.答案：(1)－2(2)1(3)18目录考点2利用基本不等式解决实际问题例2围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．(1)将y表示为x的函数；(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最少，并求出最少总费用．目录【解】(1)设矩形场地的另一边长为am，则y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360.由已知xa＝360，得a＝360x，所以y＝225x＋3602x－360(x2)．(2)∵x2，∴225x＋3602x≥2225x×3602x＝10800.∴y＝225x＋3602x－360≥10440，当且仅当225x＝3602x时，等号成立，即当x＝24m时，修建围墙的总费用最少，最少总费用是10440元．目录【名师点评】(1)利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解．(2)求所列函数的最值，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解．