【新步步高】2018版高考数学(理)一轮复习第六章6.2等差数列及其前n项和

§6.2等差数列及其前n项和基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习一般地，如果一个数列，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的，通常用字母表示.1.等差数列的定义知识梳理如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是.2.等差数列的通项公式从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数公差dan＝a1＋(n－1)d由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时，A叫做a与b的.3.等差中项(1)通项公式的推广：an＝am＋(n，m∈N*).(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为.4.等差数列的常用性质等差中项(n－m)dak＋al＝am＋an2d(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列.(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为的等差数列.(6)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列.5.等差数列的前n项和公式设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝或Sn＝.mdna1＋an2na1＋nn－12dSn＝d2n2＋a1－d2n.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数).6.等差数列的前n项和公式与函数的关系7.等差数列的前n项和的最值在等差数列{an}中，a10，d0，则Sn存在最值；若a10，d0，则Sn存在最值.大小等差数列的四种判断方法(1)定义法：an＋1－an＝d(d是常数)⇔{an}是等差数列.(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列.(3)通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列.(4)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列.知识拓展判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.()(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.()(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.()(4)已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差为－2.()思考辨析×√√×1.在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6等于A.－1B.0C.1D.6考点自测答案解析由等差数列的性质，得a6＝2a4－a2＝2×2－4＝0，故选B.2.(教材改编)设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8等于A.31B.32C.33D.34答案解析由已知可得a1＋5d＝2，5a1＋10d＝30，解得a1＝263，d＝－43，∴S8＝8a1＋8×72d＝32.3.(2016·全国乙卷)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100等于A.100B.99C.98D.97答案解析由等差数列性质，知S9＝9a1＋a92＝9×2a52＝9a5＝27，得a5＝3，而a10＝8，因此公差d＝a10－a510－5＝1，∴a100＝a10＋90d＝98，故选C.4.设数列{an}是等差数列，若a3＋a4＋a5＝12，则a1＋a2＋…＋a7等于A.14B.21C.28D.35答案解析∵a3＋a4＋a5＝3a4＝12，∴a4＝4，∴a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28.5.若等差数列{an}满足a7＋a8＋a90，a7＋a100，则当n＝_____时，{an}的前n项和最大.答案解析8因为数列{an}是等差数列，且a7＋a8＋a9＝3a8＞0，所以a8＞0.又a7＋a10＝a8＋a9＜0，所以a9＜0.故当n＝8时，其前n项和最大.题型分类深度剖析题型一等差数列基本量的运算例1(1)在数列{an}中，若a1＝－2，且对任意的n∈N*有2an＋1＝1＋2an，则数列{an}前10项的和为A.2B.10C.52D.54答案解析由2an＋1＝1＋2an得an＋1－an＝12，所以数列{an}是首项为－2，公差为12的等差数列，所以S10＝10×(－2)＋10×10－12×12＝52.(2)(2016·北京)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和.若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________.答案解析6∵a3＋a5＝2a4＝0，∴a4＝0.又a1＝6，∴a4＝a1＋3d＝0，∴d＝－2.∴S6＝6×6＋6×6－12×(－2)＝6.思维升华等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.跟踪训练1(1)设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于A.13B.35C.49D.63答案解析∴S7＝7a1＋a72＝49.∵a1＋a7＝a2＋a6＝3＋11＝14，(2)(2016·江苏)已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和.若a1＋＝－3，S5＝10，则a9的值是________.a22答案解析20设等差数列{an}的公差为d，由题意可得a1＋a1＋d2＝－3，5a1＋5×42d＝10，解得a1＝－4，d＝3，则a9＝a1＋8d＝－4＋8×3＝20.题型二等差数列的判定与证明例2已知数列{an}中，a1＝35，an＝2－1an－1(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝1an－1(n∈N*).(1)求证：数列{bn}是等差数列；证明(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由.解答由(1)知bn＝n－72，则an＝1＋1bn＝1＋22n－7.设f(x)＝1＋22x－7，则f(x)在区间(－∞，72)和(72，＋∞)上为减函数.所以当n＝3时，an取得最小值－1，当n＝4时，an取得最大值3.引申探究本例中，若将条件变为a1＝35，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，试求数列{an}的通项公式.解答由已知可得an＋1n＋1＝ann＋1，即an＋1n＋1－ann＝1，又a1＝35，∴ann是以a11＝35为首项，1为公差的等差数列，∴ann＝35＋(n－1)·1＝n－25，∴an＝n2－25n.思维升华等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数.(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2后，可递推得出an＋2－an＋1＝an＋1－an＝an－an－1＝an－1－an－2＝…＝a2－a1，根据定义得出数列{an}为等差数列.(3)通项公式法：得出an＝pn＋q后，得an＋1－an＝p对任意正整数n恒成立，根据定义判定数列{an}为等差数列.(4)前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，根据Sn，an的关系，得出an，再使用定义法证明数列{an}为等差数列.跟踪训练2(1)在数列{an}中，若a1＝1，a2＝12，2an＋1＝1an＋1an＋2(n∈N*)，则该数列的通项为A.an＝1nB.an＝2n＋1C.an＝2n＋2D.an＝3n答案解析(2)数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝2an＋1－an＋2.①设bn＝an＋1－an，证明{bn}是等差数列；证明由an＋2＝2an＋1－an＋2，得an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2，即bn＋1＝bn＋2.又b1＝a2－a1＝1，所以{bn}是首项为1，公差为2的等差数列.②求{an}的通项公式.解答由①得bn＝1＋2(n－1)＝2n－1，即an＋1－an＝2n－1.于是∑nk＝1(ak＋1－ak)＝∑nk＝1(2k－1)，所以an＋1－a1＝n2，即an＋1＝n2＋a1.又a1＝1，所以{an}的通项公式为an＝n2－2n＋2.题型三等差数列性质的应用命题点1等差数列项的性质例3(1)(2015·广东)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________.答案解析因为{an}是等差数列，所以a3＋a7＝a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝25，所以a5＝5，故a2＋a8＝2a5＝10.10(2)已知{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b10＝9，a3＋b8＝15，则a5＋b6＝________.答案解析因为{an}，{bn}都是等差数列，所以2a3＝a1＋a5，2b8＝b10＋b6，所以2(a3＋b8)＝(a1＋b10)＋(a5＋b6)，即2×15＝9＋(a5＋b6)，解得a5＋b6＝21.21命题点2等差数列前n项和的性质例4(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝－12，S9＝45，则S12＝________.答案解析114因为{an}是等差数列，所以S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列，所以2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，即2(S6＋12)＝－12＋(45－S6)，解得S6＝3.又2(S9－S6)＝(S6－S3)＋(S12－S9)，即2×(45－3)＝(3＋12)＋(S12－45)，解得S12＝114.(2)在等差数列{an}中，a1＝－2018，其前n项和为Sn，若S1212－S1010＝2，则S2018的值等于A.－2018B.－2016C.－2019D.－2017答案解析由题意知，数列{Snn}为等差数列，其公差为1，∴S20182018＝S11＋(2018－1)×1＝－2018＋2017＝－1.∴S2018＝－2018.思维升华等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{an}中，am－an＝(m－n)d⇔am－anm－n＝d(m≠n)，其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差.(2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；②S2n－1＝(2n－1)an.跟踪训练3(1)在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11等于A.58B.88C.143D.176答案解析S11＝11a1＋a112＝11a4＋a82＝11×162＝88.(2)等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若SnTn＝3n－22n＋1，则a7b7等于A.3727B.3828C.3929D.4030答案解析a7b7＝2a72b7＝a1＋a13b1＋b13＝a1＋a132×13b1＋b132×13＝S13T13＝3×13－22×13＋1＝3727.典例1(1)在等差数列{an}中，2(a1＋a3＋a5)＋3(a7＋a9)＝54，则此数列前10项的和S10等于A.45B.60C.75D.90答案解析由题意得a3＋a8＝9，所以S10＝10a1＋a102＝10a3＋a82＝10×92＝45.公差不为0的等差数列，求其前n项和与最值在高考中时常出现.题型有小题，也有大题，难度不大.等差数列的前n项和及其最值高频小考点6考点分析(2)在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10，则S110＝________.答案解析－110典例2在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值.规范解答课时作业1.(2016·重庆一诊)在数列{an}中，an＋1－an＝2，a2＝5，则{an}的前4项和为A.9B.22C.24D.32√12345678910111213答案解析由an＋1－an＝2，知{an}为等差数列且公差d＝2，∴由a2＝5，得a1＝3，a3＝7，a4＝9，∴前4项和为3＋5＋7＋9＝24，故选C.123456789101112