3.3垂径定理

实践探究把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？圆是轴对称图形，判断：任意一条直径都是圆的对称轴（）X任何一条直径所在的直线都是对称轴。观察并回答（1）两条直径AB、CD，CD平分AB吗？（2）若把直径AB向下平移，变成非直径的弦，弦AB是否一定被直径CD平分？ADOCBADOCB思考：当非直径的弦AB与直径CD有什么位置关系时，弦AB有可能被直径CD平分？·OABCDE如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E.垂径定理的几何语言叙述:CD为直径，AE=BE，AC=BC，⌒⌒AD=BD．⌒⌒∴（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？∵垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．CD⊥AB引申定理•定理中的径可以是直径、半径、弦心距等过圆心的直线或线段。从而得到垂径定理的变式：•一条直线具有：平分弦经过圆心垂直于弦可推得平分优弧平分劣弧·ABCDE·ＯＯABDC条件CD为直径结论AC=BC⌒⌒AD=BD⌒⌒CD⊥ABAE=BE平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（不是直径）垂径定理的推论:CD⊥AB吗？(E)垂径定理的推论●OABCDM└①CD是直径,③AM=BM,②CD⊥AB,⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.“知二推三”(1)垂直于弦(2)过圆心(3)平分弦(4)平分弦所对的优弧(5)平分弦所对的劣弧注意:当具备了(2）(3)时,应对另一条弦增加”不是直径”的限制.EDCOABOBCADDOBCAOBAC垂径定理的几个基本图形：判断下列图形，能否使用垂径定理？EDCOABDCOABEEOCDABECOABEDOABEOAB()(1)垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.()(2)经过弦的中点的直径一定垂直于弦.()(3)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.√1、如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不成立的是（）A、∠COE=∠DOEB、CE=DEC、OE=AED、BD=BC⌒⌒·OABECDC1、如图，OE⊥AB于E，若弦AB=16cm,OE=6cm,则⊙O的半径是cm。·OABE102、在⊙O中，弦AB的长为8cm，⊙O的半径为5cm，则圆心O到AB的距离是cm。33、如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为13cm,OE=5cm,则AB=cm。24d+h=rr2=d2+()2a2常见辅助线：涉及求半径、弦、弦心距、弓形高的计算时，连接作弦心距，连接半径，构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理解决。EOABDC2adrh半弦半径弦心距，勾股定理来解题达标检测1、为改善市民生活环境，市建设污水管网工程，某圆柱型水管截面如图所示，管内水面AB=8dm。①若水管截面半径5dm，污水最大深度为_____dm。②若水深1dm，则水管截面半径为____dm.OBA28.5变式：为改善市民生活环境，市建设污水管网工程，某圆柱型水管截面管内水面宽AB=8dm，截面半径为5dm，水深____dm.2或8解：如图，设半径为R，ABAD21,7.184.3721DCOCOD.2.7R在Ｒt⊿AOD中，由勾股定理，得,222ODADOA.)2.7(7.18222RR即解得R≈27.9（m）.答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.OABCD37.47.22：赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？（精确到0.1m）AB=37.4,CD=7.2R18.7R-7.22、如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？OCDBAOCDBAOCDBA有三种情况：1、圆心在平行弦外；2、圆心在其中一条弦上；3、圆心在平行弦内。若⊙O中弦AB∥CD。那么AC＝BD吗？为什么？⌒⌒解：AC＝BD，理由是：作直径MN⊥AB。∵AB∥CD，∴MN⊥CD。则AM＝BM，CM＝DM（垂直于弦的直径平分弦所对的弧）∵AM－CM＝BM－DM∴AC＝BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒.MCDABON图中两圆为同心圆变式3：隐去（变式1）中的大圆，得右图连接OA，OB，设OA=OB，AC、BD有什么关系？为什么？DCOAB变式4：隐去（变式1）中的小圆，得右图，连接OC，OD，设OC=OD，AC、BD有什么关系？为什么？DCOAB变式1：AC与BD有什么关系？DCOAB变式2：AC＝BD依然成立吗NMDCOAB1、在半径为5的⊙O中，弦AB∥CD，弦AB和CD的距离为4，若AB=8，求CD的长。例2、已知⊙O的直径为10cm，⊙O的两条平行弦AB=8cm，CD=6cm，则AB、CD间的距离为__________．例题选讲链接中考7.（2007.江西）如图，点A、B是⊙O上两点，AB=10，点P是⊙O上的动点，（P与A，B不重合），连接AP、PB，过点O分别OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，则EF=——。OFEPBA5●O●M1、M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB,使AB过点M.并且AM=BM.解：连接OM,过M作AB⊥OM，交⊙O于A，B两点.AB运用三、垂径定理作图3cm2.已知P为内一点，且OP＝2cm，如果的半径是，则过P点的最长的弦等于.最短的弦等于_________。⊙o⊙o例题选讲3.如图是一个圆形瓷片的残片，你能找到它的圆心吗？（保留作图痕迹）BA思维拓展某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．BA双基训练2.已知AB=10cm,以AB为直径作圆,那么在此圆上到AB的距离等于5的点共有()A.无数个B.1个C.2个D.4个C3.下列说法中正确的个数是（）①.直径是弦②.半圆是弧③.平分弦的直径垂直于弦④.圆是轴对称图形，对称轴是直径A.1个B.2个C.3个D.4个B1.确定一个圆的条件是————和————圆心半径双基训练4.如图,将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕AB的长为()A.2cmB.cmC.cmD.cm33252OBAC5.已知点P是半径为5的⊙O内的一定点，且OP=4，则过P点的所有弦中，弦长可能取的整数值为（）A.5，4，3B.10，9，8，7，6，5，4，3C.10，9，8，7，6D.10，9，8C2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．D·OABCE证明：OEACODABABAC909090OEAEADODA∴四边形ADOE为矩形，又∵AC=AB1122AEACADAB，∴AE=AD∴四边形ADOE为正方形.DABO53cm⌒在直径是20cm的⊙O中，AB的度数是60˙，那么弦AB的弦心距是____某地有一座圆弧形拱桥圆心为Ｏ，桥下水面宽度为７、2m，过O作OC⊥AB于D，交圆弧于C，CD=2、4m，现有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？CNMAEHFBDO随堂训练8．如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m，假设拖拉机行驶时，周围100m内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪音影响？试说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？QAPNM30