数学必修二关于直线与方程的课件

3.1直线的倾斜角与斜率3.1.1倾斜角与斜率第三章直线与方程笛卡儿（1596-1650）：法国数学家、物理学家和哲学家，堪称17世纪以来欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一，被誉为“近代科学的始祖”.几何问题代数化观察下面的跷跷板，跷跷板的位置固定吗？1.正确理解直线的倾斜角和斜率的概念.（重点）2.理解直线的倾斜角的唯一性.3.理解直线的斜率的存在性.（难点）4.斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．（重点、难点）思考1已知直线l经过点P，直线l的位置能够确定吗？yxOlll不确定.过一个点有无数条直线.这些直线有何区别？它们的倾斜程度不同．如何描述直线的倾斜程度？Pxyoα规定：当直线l和x轴平行或重合时，它的倾斜角为0°.lx轴正向与直线l向上方向之间所成的角.直线倾斜角α的范围为：0180.一、直线的倾斜角思考2直线的倾斜程度与倾斜角有什么关系？①平面直角坐标系中每一条直线都有确定的倾斜角;②倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角;③倾斜程度相同的直线其倾斜角相同.xyOllPll'思考3确定平面直角坐标系中一条直线的几何要素是什么？xyoα【提示】直线上的一个定点及它的倾斜角二者缺一不可．Pl思考4日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量呢？前进量升高量升高量坡度（比）前进量45°3m3m坡度越大，楼梯越陡．前进量升高量α“坡度（比）”是“倾斜角”的正切值.xyo45°二、直线斜率的定义通常用小写字母k表示，即ktan(90).一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率(slope).倾斜角α不是90°的直线都有斜率.时oα=90，k不存在.注意：xyoα111(,)Pxy222(,)Pxyxyo1x2x1y2y21(,)Qxy211212,,PPQxxyy且如图，若α为锐角，21RtPPQ在中，2211tantanQPkPPQPQ2121yyxx0.思考5已知一条直线上的两点坐标，如何计算斜率？结论：当时，斜率k≥0.090xyo111(,)Pxy222(,)Pxy若α为钝角，=设o211212α=180-θ（∠PPQθ）,且xx,yy，otanα=tan(180-θ)=-tanθ.21在RtΔPQP中，21PQtanθ=PQ2112y-y=，x-x所以21211221y-yy-yk=tanα=-=x-xx-x0.2x1x1y2y21(,)Qxy结论：当90180时，斜率k＜0.同样，当的方向向上时，也有成立.21PP2121tanyyxx111(,)Pxy222(,)Pxyxyoxyo111(,)Pxy222(,)Pxy说明：此公式与两点坐标的顺序无关.222(,)Pxy111(,)Pxy思考6当直线P1P2平行于x轴，或与x轴重合时，还适用吗？为什么？2121yykxxxyO21210yykxx适用222(,)Pxy111(,)PxyxyO思考7当直线平行于y轴，或与y轴重合时，公式还适用吗？不适用，因为分母为0，斜率不存在.三、斜率公式公式特点：(1)与两点坐标的顺序无关.(2)公式表明,直线的斜率可以通过直线上任意两点的坐标来表示,而不需要求出直线的倾斜角.(3)当x1=x2时,公式不适用,此时α=90°.211221().yykxxxx经过两点的直线的斜率公式111222(,),(,)PxyPxy12()xx例1如图，已知A(3，2),B(-4，1),C（0，-1）,求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.OxyACB121;437ABk解：直线AB的斜率1121;0(4)42BCk直线BC的斜率直线CA的斜率1231.033CAk分析：直接利用公式求解.由及知，直线AB与CA的倾斜角均为锐角；由知，直线BC的倾斜角为钝角．0ABk0CAk0BCk斜率为正，倾斜角为锐角；斜率为负，倾斜角为钝角；斜率为0，倾斜角为0°；斜率不存在时，倾斜角为直角.例2在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1，2及-3的直线l1，l2，l3及l4.xy解：设A1（x1,y1）是l1上任意一点，根据斜率公式有1101,0yx即x1=y1.设x1=1，则y1=1，于是A1的坐标是（1,1）．过原点及点A1（1,1）的直线即为l1．1l分析：找出直线上异于原点的点.1AO同理l2是过原点及点A2（1，-1）的直线，l3是过原点及点A3（1，2）的直线，l4是过原点及点A4（1，-3）的直线．x1A1l3l2l4l2A4Ay3AOl11.已知A(3，5)，B(4，7)，C(-1，x)三点共线，则x等于()A.-1B.1C.-3D.3解：选C.因为又A，B，C三点共线，所以kAB=kAC，即解得：x=-3.ABAC7-5x-5x-5k==2,k==-,4-3-1-34x524，2．设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为()A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．当0°≤α＜135°时，为α＋45°；当135°≤α＜180°时，为α－135°D3.请标出以下直线的倾斜角.xyOxyOxyOoABc-c(1)k==0,α=0.b-a解：4.已知a,b,c是两两不等的实数，求经过下列两点的直线的斜率及倾斜角.(1)A(a,c),B(b,c).(2)C(a,b),D(a,c).(3)P(b,b+c),Q(a,c+a).线o(2)直CD的斜率不存在,α=90.oPQ（3）k=1,α=45.xO2-115.画出经过点（0,2），且斜率为2与-2的直线.y解：斜率为2的直线经过（0,2），（-1,0）两点；斜率为-2的直线经过（0,2），（1,0）两点.1.直线倾斜角的定义及其范围：2.斜率k与倾斜角之间的关系：3.斜率公式：ktan(90).“几何问题代数化”的思想.2112122112().yyyykkxxxxxx或0180.不是每一粒种子都能发芽，不是每一段路程都铺满鲜花，不过不要忘记，乌云遮不住太阳的光华。3.1.2两条直线平行与垂直的判定平面内两条直线有哪些位置关系？平行或相交能否通过斜率来判断两条直线的位置关系？xyO.为了在平面直角坐标系内表示直线的倾斜程度，我们引入倾斜角的概念，进而又引入了直线的斜率.1.理解并掌握两条直线平行与垂直的条件.（重点）2.会运用条件判断两直线是否平行或垂直.（难点）xyOl212时，k与k满足什么关系？∥即12k=kllll1212∥,或与重合ll1212设两条直线,的斜率分别为思考1k,k，12k=k12α=αl1ll12设两条直线,的斜率思都考2不存在，ll12两直线与有何位置关系？xyO解析：斜率均不存在的两条直线平行或重合.一、两条直线平行的判定特别地，两直线的倾斜角都为90°时，它们互相平行或重合..ll1212k=k公式成立的条件：①两直线不重合；②两直线的斜率均存在.xyO1l2l设两条直线与的斜率分别为，1l2l2,k1k例1已知A(2，3)，B(-4，0)，P(-3，1)，Q(-1，2)，试判断直线BA与PQ的位置关系，并证明你的结论.解:直线BA的斜率BA3-01k==,2-（-4）2PQ2-11k==,-1-(-3)2直线PQ的斜率因为所以线BAPQk=k,直BA∥PQ.例2已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0，0)，B(2，－1)，C(4，2)，D(2，3)，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明.因为所以所以边边ABCDBCDA1k=k=-,23k=k=,2ABCD,BCDA.四形ABCD是平行形解四.：分析：判断两组对边是否分别平行.yl1Oxl2α1α2ll1212设两条直线,的斜率分别为k思3,k考,ll1212⊥时，k与k满足什么关系？图o21o21112如，α=α+90，1tanα=tan(α+90)=-,tanα即kk=-1.12121.llkk反之，成立,可得ll112设两条直线的斜思考率k=0,的4斜率不存在,ll12⊥吗？1lxyo2l若一条直线的倾斜角为90°,另一条直线的倾斜角为0°,则两直线互相垂直.ll12⊥二、两条直线垂直的判定ll1212设两条直线与的斜率分别为k,k，ll1212⊥kk=-1.特别地：一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直.yl1Oxl2两直线的斜率均存在.例3已知A（-6，0），B（3，6），P（0，3），Q（6，-6），试判断直线AB与PQ的位置关系.解：直线AB的斜率AB6-02k==,3-（-6）3PQ-6-33k==-,6-02直线PQ的斜率因为所以线ABPQkk=-1,直AB⊥PQ.分析：分别求出两直线的斜率，观察斜率之间的关系.例4已知A（5，-1），B（1，1），C（2，3）三点，试判断△ABC的形状.分析：结合图形可猜想AB⊥BC，△ABC为直角三角形.线AB1直AB的斜率k解=-：,2线BC直BC的斜率k=2,因为所以线，所以oABBCkk=-1,直AB⊥BC即∠ABC=90,ΔABC是直角三角形.1.已知直线l1过点A(-1，1)和B(-2,-1)，直线l2过点C(1，0)和D(0，a)，若l1∥l2,则a的值为()A.-2B.2C.0D.解：选A.l1,l2的斜率分别为2,-a,由l1∥l2，可知a=-2.122.直线l的倾斜角为30°，若直线l1∥l，则直线l1的斜率k1=______；若直线l2⊥l,则直线l2的斜率k2=_______.解：由斜率定义，直线l的斜率k=tan30°=因为l1∥l，所以k1=k=.因为l2⊥l,所以k2·k=-1,答案：3321k3.k所以33333，3.若直线l经过点(a-2,-1)和点(-a-2,1)且与经过点(-2，1)，斜率为的直线垂直，则实数a的值为____________.23234.判断下列各对直线平行还是垂直：（1）经过两点A(2,3),B(-1,0)的直线l1，与经过点P(1,0)且斜率为-1的直线l2.（2）经过两点C（3,1），D（-2,0）的直线l3，与经过点M（1，-4）且斜率为-5的直线l4.解：（1）垂直.解：（2）垂直.5.已知A(1，2),B(-1,0),C(3,4)三点，这三点是否在同一条直线上，为什么？线线因为两线点所以点线ABBCABBC0-2直AB的斜率k==1;-1-14-0直BC的斜率k==1.3-（-1）k=k,且直有公共B,三解共：.分析：证明两直线斜率相等且有公共点.“几何问题代数化”的思想.ll1212k=k1.两条直线平行的判定：（两条直线不重合且斜率均存在）.2.两条直线垂直的判定：ll1212⊥kk=-1（两条直线不重合且斜率均存在）不是什么人都可以交往的，慎交朋友。笑看人生潮起潮落，守住自己的心。3.2直线的方程3.2.1直线的点斜式方程如何确定高架桥直线桥面的确切位置呢？(1)已知两点可以确定一条直线.2121yykxx在平面直角坐标系内如何确定一条直线呢？(2)已知直线上的一点和这条直线的一个方向（斜率或倾斜角）可以确定一条直线.斜率公式：（x1≠x2）1.理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围.（重点）2.能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程.（难点）3.体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.4.会利用直线方程判断直线平行或垂直.思考1已知直线l经过已知点P0（x0，y0），并且它的斜率是k，P(x,y)是直线l上不同于点P0的任意一点,那么x，y满足什么关系？xyOP(x,y)lP0(x0,y0)00y-yk=x-x为00可化y-y=kx-x关于x,y的方程思考2满足方程y-y0=k(x-x0)的所有点P(x,y)是否都在直线l上?为什么？当时时满00000P