高中数学第四章数系的扩充与复数的引入1.1数的概念的扩展1.2复数的有关概念课件北师大版

第四章——§1数系的扩充与复数的引入1.1数的概念的扩展1.2复数的有关概念[学习目标]1.了解引进虚数单位i的必要性,了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法,理解复数相等的充要条件.4.理解复数的几何表示.1知识梳理自主学习2题型探究重点突破3当堂检测自查自纠知识点一复数的有关概念(1)复数①定义：形如a＋bi的数叫作复数,其中a,b∈R,i叫作,a叫作复数的,b叫作复数的.②表示方法：复数通常用字母表示,即(a,b∈R).(2)复数集①定义：组成的集合叫作复数集.②表示：通常用大写字母C表示.虚数单位实部虚部z＝a＋bi复数的全体z(1)分类：复数(a＋bi,a,b∈R)实数b＝0虚数b≠0纯虚数a＝0非纯虚数a≠0知识点二复数的分类及包含关系(2)集合表示：a＋bi＝c＋di当且仅当.a＝c且b＝d知识点三两个复数相等(1)复数z＝a＋bi(a,b∈R)―――――→一一对应复平面内的点Z(a,b)；(2)复数z＝a＋bi(a,b∈R)―――――→一一对应平面向量OZ→＝(a,b).知识点四复数的几何意义复数z＝a＋bi(a,b∈R)对应的向量为OZ→,则OZ→的模叫作复数z的模或绝对值,记作|z|,且|z|＝a2＋b2.知识点五复数的模题型一复数的概念例1请说出下列复数的实部和虚部,并判断它们是实数,虚数,还是纯虚数.①2＋3i；②－3＋12i；③2＋i；④π；⑤－3i；⑥0.解①的实部为2,虚部为3,是虚数；②的实部为－3,虚部为12,是虚数；③的实部为2,虚部为1,是虚数；④的实部为π,虚部为0,是实数；⑤的实部为0,虚部为－3,是纯虚数；⑥的实部为0,虚部为0,是实数.反思与感悟复数a＋bi中,实数a和b分别叫作复数的实部和虚部.特别注意,b为复数的虚部而不是虚部的系数,b连同它的符号叫做复数的虚部.跟踪训练1实数m为何值时,复数z＝mm＋2m－1＋(m2＋2m－3)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数.解(1)要使z是实数,m需满足m2＋2m－3＝0,且mm＋2m－1有意义即m－1≠0,解得m＝－3.(2)要使z是虚数,m需满足m2＋2m－3≠0,且mm＋2m－1有意义即m－1≠0,解得m≠1且m≠－3.且m2＋2m－3≠0,解得m＝0或m＝－2.(3)要使z是纯虚数,m需满足mm＋2m－1＝0,题型二两个复数相等例2(1)已知x2－y2＋2xyi＝2i,求实数x、y的值.解∵x2－y2＋2xyi＝2i,∴x2－y2＝0，2xy＝2,解得x＝1，y＝1,或x＝－1，y＝－1.(2)关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实根,求实数a的值.解设方程的实数根为x＝m,则原方程可变为3m2－a2m－1＝(10－m－2m2)i,∴3m2－a2m－1＝0，10－m－2m2＝0，解得a＝11或a＝－715.a2反思与感悟两个复数相等,首先要分清两复数的实部与虚部,然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程,从而可以确定两个独立参数.跟踪训练2已知M＝{1,(m2－2m)＋(m2＋m－2)i},P＝{－1,1,4i},若M∪P＝P,求实数m的值.解∵M∪P＝P,∴M⊆P,∴(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1得m2－2m＝－1，m2＋m－2＝0，解得m＝1；由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i得m2－2m＝0，m2＋m－2＝4，解得m＝2.综上可知m＝1或m＝2.题型三复数的几何意义例3在复平面内,若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应点：(1)在虚轴上,求实数m的取值范围.解复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i的实部为m2－m－2,虚部为m2－3m＋2.由题意得m2－m－2＝0.解得m＝2或m＝－1.解由题意得m2－m－20，m2－3m＋20.∴－1m2m2或m1,∴－1m1.(2)在第二象限,求实数m的取值范围.(3)在直线y＝x上,求实数m的取值范围.解由已知得m2－m－2＝m2－3m＋2,故m＝2.反思与感悟按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系,每一个复数都对应着一个有序实数对,只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点,就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值.跟踪训练3已知复数z的虚部为3,在复平面内复数z对应的向量的模为2,求复数z.解由已知,设z＝a＋3i(a∈R).则a2＋(3)2＝4.解得a＝±1.所以z＝±1＋3i.1.已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3,则实数a,b的值分别是()A.2,1B.2,5C.±2,5D.±2,1123C4解析令a2＝2，－2＋b＝3.∴a＝±2,b＝5.1232.如果z＝m(m＋1)＋(m2－1)i为纯虚数,则实数m的值为()A.1B.0C.－1D.－1或1B4解析由题意知mm＋1＝0，m2－1≠0.∴m＝0.3.在复平面内,复数z＝i＋2i2对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析∵z＝i＋2i2＝－2＋i,∴实部小于0,虚部大于0,故复数z对应的点位于第二象限.123B412344.已知复数z＝a＋3i在复平面内对应的点位于第二象限,且|z|＝2,则复数z等于()A.－1＋3iB.1＋3iC.－1＋3i或1＋3iD.－2＋3i1234由|z|＝2知,a2＋32＝2,解得a＝±1,解析因为z在复平面内对应的点位于第二象限,所以a0,故a＝－1,所以z＝－1＋3i.答案A课堂小结1.对于复数z＝a＋bi(a,b∈R),可以限制a,b的值得到复数z的不同情况；2.两个复数相等,要先确定两个复数实虚部,再利用两个复数相等的条件；3.复数的几何意义有两种：复数和复平面内的点一一对应,复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应；4.研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实虚部的问题,也可以结合图形利用几何关系考虑.