高中数学课件 第六章 第一节 《不等关系与不等式》

1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系．2．了解不等式(组)的实际背景．[思考探究]ab⇔成立吗？提示：不一定成立．只有a，b同号时成立．1．若ab，则下列各式中正确的是()A．a2b2B．a3b3C.D．log2alog2b解析：ab⇔a3b3.答案：B2．“a＋b2c”的一个充分非必要条件是()A．ac或bcB．ac或bcC．ac且bcD．ac且bc解析：由不等式的基本性质知，ac且bc⇒a＋b2c，所以C是a＋b2c的充分非必要条件．答案：C3．若0，则下列结论不正确的是()A．a2b2B．abb2C.＋2D．|a|＋|b||a＋b|解析：∵0∴0ab∴a2b2，abb2，|a|＋|b|＝|a＋b|.答案：D.4．已知ab0，且cd0，则与的大小关系是________．解析：∵cd0，∴0.又ab0，∴0，∴.答案：5．若loga(a2＋1)loga2a0，则a的取值范围是________．解析：∵loga(a2＋1)loga2a0，且a2＋11，∴解之得a1.答案：a11.将实际的不等关系写成对应的不等式时，应注意实际问题中关键性的文字语言与对应的数学符号之间的正确转换，这关系到能否正确地用不等式表示出不等关系．2．注意区分“不等关系”和“不等式”，不等关系强调的是关系，可用“”、“”、“≥”、“≤”和“≠”表示，不等式则是表现不等关系的式子，对于实际问题中的不等关系可以从“不超过”、“至少”、“至多”等关键词上去把握，并考虑到实际意义．一学生计划使用不超过20元的钱为自己购买学习用具．根据需要，单价为4元的圆珠笔至少需要购买2支，单价为2元的笔记本至少需要购买3本．写出满足上述所有不等关系的不等式．[思路点拨][课堂笔记]设购买圆珠笔和笔记本分别为x支，y本．则实数大小的比较问题常常用“比较法”来解决，“比较法”有“作差比较法”和“作商比较法”两种，可根据数式的结构特点灵活选用．1．“作差比较法”的依据是“a－b0⇔ab，ab0⇔ab，a－b＝0⇔a＝b”，其过程可分三步：(1)作差；(2)变形；(3)判断差的符号．其中关键一步是变形，手段可有通分、因式分解、配方等，变形的目的是有利于判断符号，因此变形越彻底，越有利于下一步的判断．2．“作商比较法”的依据是“1，b0⇒ab”，是把两数的大小比较转化为一数式与1进行比较，在数式结构含有幂或根式、绝对值时，可采用此方法．[特别警示]在用“比较法”时，有时可先将原数式变形后再作差或作商进行比较，若是选择题还可用特殊值法判断数的大小关系．已知a0，b0，试比较与的大小[思路点拨][课堂笔记]法一：∵a0,b0,∴0,0.又∵()2≥0(当且仅当a＝b时等号成立)，∴≥0.即(当且仅当a＝b时等号成立)．法二：＝1＋≥1(当且仅当a＝b时等号成立)．∵0，∴(当且仅当a＝b时等号成立)．如何比较与2＋的大小？解：∵0,2＋0，∴()2－(2＋)2＝2－4＝2－20，∴不等式的性质就其逻辑关系而言，可分为推出关系(充分条件)和等价关系(充要条件)两类，同向可加性和同向可乘性可推广到两个或两个以上的不等式，同向可乘时，应注意ab0，cd0.深刻理解不等式的性质时，把握其逻辑关系，才能正确应用不等式性质解决有关不等式的问题．［特别警示］利用不等式的性质时，要注意性质中的条件是否为充要条件，不能用充分不必要条件的性质解不等式.(1)已知12a60,15b36，求a－b，的取值范围．(2)已知－1a＋b3且2a－b4，求2a＋3b的取值范围．[思路点拨][课堂笔记](1)∵15b36，∴－36－b－15.又12a60，∴12－36a－b60－15，∴－24a－b45.又(2)设2a＋3b＝x(a＋b)＋y(a－b)，∴，解得.∴－(a＋b)，－2－(a－b)－1.∴－(a＋b)－(a－b)，即－2a＋3b.由于新课程标准降低了不等式性质的要求而数(或式)的大小的比较方法常作为解决问题的工具使用，因此，高考在本节基本上不单独命题，而常与函数，数列等知识综合命题，09年湖南高考将实数大小比较与函数相结合通过函数图象提供不等关系，考查学生分析问题，解决问题的能力，代表了高考的一种新的考查方向．[考题印证](2009·湖南高考)如图，当参数λ＝λ1，λ2时，连续函数y＝(x≥0)的图象分别对应曲线C1和C2，则()A．0＜λ1＜λ2B．0＜λ2＜λ1C．λ1＜λ2＜0D．λ2＜λ1＜0【解析】如果λ＜0，定义域不可能为[0，＋∞)，排除C、D.又∵C2的图象在C1的图象的上方，∴⇒λ2＜λ1.【答案】B[自主体验]已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋4(0a3)，若mn，且m＋n＝a－1，则f(m)与f(n)的大小关系为________．解析：f(m)－f(n)＝am2＋2am－an2－2an＝a(m2－n2)＋2a(m－n)＝a(m－n)(m＋n＋2)＝a(m－n)(a＋1)．∵a0，∴a(a＋1)0，又mn，故a(m－n)(a＋1)0，∴f(m)f(n)．答案：f(m)f(n)1．已知a0，b－1，则下列不等式成立的是()解析：令a＝－1，b＝－2，计算验证可得．答案：C2．f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则有()A．f(x)＞g(x)B．f(x)＝g(x)C．f(x)＜g(x)D．不能确定f(x)与g(x)的大小关系解析：∵f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1＞0，∴f(x)＞g(x)．答案：A3．设α∈(0，)，β∈[0，]，那么2α－的取值范围是()A．(0，)B．(－)C．(0，π)D．(－，π)解析：由题设得02απ，0≤≤，∴－≤－≤0，∴－2α－π.答案：D4．下列四个不等式：①a0b；②ba0；③b0a；④0ba，其中能使成立的充分条件有________．解析：0⇔b－a与ab异号，因此①②④能使b－a与ab异号．答案：①②④5．(2010·赤峰模拟)若x＞y，a＞b，则在①a－x＞b－y，②a＋x＞b＋y，③ax＞by，④x－b＞y－a，⑤这五个式子中，恒成立的所有不等式的序号是______________________________________．解析：令x＝－2，y＝－3，a＝3，b＝2，符合题设条件x＞y，a＞b，∵a－x＝3－(－2)＝5，b－y＝2－(－3)＝5，∴a－x＝b－y，因此①不成立．又∵ax＝－6，by＝－6，∴ax＝by，因此③也不正确．又∵，因此⑤不正确．由不等式的性质可推出②④成立．答案：②④6．设f(x)＝ax2＋bx,1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．解：法一：设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m、n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b.于是得，解得，∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.法二：由，得，∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.法三：由确定的平面区域如图阴影部分，当f(－2)＝4a－2b过点A()时，取得最小值4×－2×＝5，当f(－2)＝4a－2b过点B(3,1)时，取得最大值4×－2×1＝10，∴5≤f(－2)≤10.