VAR和SVAR及其在宏观经济政策中的一些应用要点

第1页共18页暑期实习读书报告SVAR及其在宏观经济政策中的一些应用谢泽林（清华大学数学科学系2002级）指导老师：杨晓光研究员（中国科学院管理、决策与信息系统重点实验室）第2页共18页SVAR及其在宏观经济政策中的一些应用谢泽林（清华大学数学科学系2002级学生）指导老师：杨晓光研究员（中国科学院管理、决策与信息系统重点实验室）[摘要]：本文介绍VAR和SVAR的基本模型、脉冲响应分析和估计方法，并介绍了其在宏观经济政策中的一些应用，以及软件实现。[关键词]：VARSVAR脉冲响应分析估计一、VAR与SVAR时间序列分析是现代计量经济学的重要组成部分，而向量自回归（VAR）和结构式向量自回归（StructuralVAR）是时间序列分析的重要内容。时间序列分析是近二三十年发展起来的经济计量技术。过去人们热衷于运用大规模的结构联立方程组进行经济分析，后来计量经济学家渐渐发现这样的分析一方面往往忽视解释变量可能存在的内生性，另一方面也不能把握应变量和解释变量之间的互相动态影响。而向量自回归模型在这方面提供了一个很好的分析工具，很适合于研究各种变量之间的关系，尤其是动态关系。向量自回归在分析经济系统的动态性方面的广泛应用应归因于Sims的有影响的工作。（一）．VAR1．VAR的基本模型一般的p阶向量自回归模型（VAR（p））的数学表达式是1122tttptptycyyy（1）这里c表示（1n）的常向量，j是自回归系数的一个（nn）矩阵，j=1，2，…，p。在上述模型中的下面假设：（1）向量过程ty是平稳（协方差平稳）的；（2）随机残差向量t是白噪声的（见下）；ty的各分量均满足平稳性条件（详见下述），1n的向量t是白噪声的一个向量推广：()0tE，,()0,tEtt其中是一个nn的对称正定矩阵。一个向量自回归就是这样一个系统：系统中每一个变量对常数项和它自身的p阶滞后值，同时也对其他变量的p阶滞后值进行回归。注意每一个回归，其解释变量都一样。运用滞后算子，（1）式可以写成第3页共18页1212[]ppttILLLyc，即()ttLyc这里()L表示滞后算子L的一个（nn）矩阵多项式。一个向量过程ty被称为协方差平稳，如果其一阶矩()tEy和二阶矩()ttjEyy与t是无关的。如果过程是协方差平稳的，则我们可以对（1）式取期望得12pc于是112()pIc，（1）式就可以写成矩均值的离差的形式：1122()()()tttptptyyyy定义，11ttttpyyy，211000000000ppnnnIFII，00ttV这样可以把VAR（p）写成VAR（1）的形式：1tttFV（2）其中，',()0,tQEVVtt，且00000000000Q由（2）式有，21121sstststststtVFVFVFVF于是，上述向量系统的前n列有，1122111111()()()()sststststssttptpYFYFY这里11()jjF，11()jF表示jF（矩阵F的j次方）的左上nn矩阵，即jF的第1到n行和第1到n列的公共部分。类似的，12()jF表示jF的第1到n行和第n+1到2n列的公共部分，1()jpF表示jF的第1到n行和第n（p--1）+1到np列的公共部分。如果F的特征值都落在单位圆之内，则此VAR为协方差平稳，新息t将最终消失。当第4页共18页s时，0sF，则ty可以表示成的历史值的收敛之和1122()tttttyL上式是向量MA表示。显然，由上式对任意的0j，1t与tjy不相关。应此基于1,,ttyy的1ty预测由下式给出：12111ˆ()()()ttptpttyyyy2．VAR模型的估计（1）、非限制性向量自回归的最大似然估计假定...(0,)tiidN，最简单的方法是以前p个观察值为条件，记作120(,,,)ppyyy，然后根据后T个观察值形成估计12(,,,)Tyyy，目标是形成条件似然1101,,,11021,,(,,,,,,;)ttpYYTTppYYYfyyyyyy并对求最大值，这里是包含12,,,,pc和中元素的向量。以直到1t期的y值为条件的t期y值等于一个常数加一个(0,)N，因此1211122,,,(,)tttpttptpyyyyNcyyy设111ttttpyxyy，12,,,,,pc，则上式可紧凑地写成121,,,(,)tttptyyyyNx因此，第t个观察值的条件密度为1111122|,,1211(|,,,;)(2)exp[()()()]2ttpnYYYtttpttttfyyyyyxyx而1101,,,11021,,(,,,,,,;)ttpYYttppYYYfyyyyyy=第5页共18页111101,,11021|,,121,,(,,,,,;)(|,,,;)tttppYtppYYYtttpYYYfyyyyyfyyyy递归运用此公式，最后可得样本对数似然值11|,,1211111()log(|,,,;)1log(2)log()()222ttpTYYYtttptTtttttLfyyyynTTyxyx考察的MLE，结果为111ˆ[][]TTttttttyxxx。类似的，可以得到的似然估计值：11ˆTttTˆt，这里ˆˆtttyx为样本残差。（2）、似然比检验运用似然比检验可以对模型中滞后阶数的进行更好的选择。零假设：一组变量是由0p阶而不是10()pp阶滞后的高斯向量自回归生成。由1ˆ(,)log(2)log222nTTnTL计算相应的似然值01LL和，然后利用在零假设下统计量1001ˆ2()(loglog)LLT近似服从自由度为210()npp的2分布进行检验。当统计量值大于2210(())npp的5%的置信值时则拒绝零假设。Sims（1980）提出修正：由统计量01ˆ()(loglog)Tk（这里11knp）代替01ˆ(loglog)T，以适应小样本偏倚的情形。（3）、Granger因果关系检验Granger因果关系检验是检验一个变量的滞后变量是否可以引入其他变量方程中。由于VAR模型中需要估计的系数较多，通过Granger因果关系检验一方面可以使模型更符合经济学规律，另一方面可以减少估计的难度。正式的定义是：如果关于所有的0s，基于1(,,)ttxx的预测tsx的均方误差与用1(,,)ttxx和1(,,)ttyy二者得到的预测tsx的MSE相同，则称y不能Granger引起x。对线性函数，如果111ˆ[(|,,)][(|,,,,,)]tstttsttttMSEExxxMSEExxxyy，则称y不能Granger引起x，或者x在时间序列意义上关于y是外生的。Granger因果关系的另一个含义由Sims给出。一个y不能Granger引起x的简单例子是（系数矩阵均为下三角的）：第6页共18页(1)(2)()1211111111(1)(1)(2)(2)()()1222212221222122000ptpttttpptpttttxxxxcyyyyc可以写成MA的形式：1111222122()0()()ttttxLyLL其中(0)(1)(2)2()ijijijijLLLGranger因果关系的一种检验方法：运用F检验111221122()()tttptpttptptxcxxxyyyu012:0pH计算211ˆTttRSSu，对01122tttptptxcxxxe计算201ˆTttRSSe。如果0111()//(21)RSSRSSpSRSSTp大于(,21)FpTp分布的5%临界值，则我们拒绝上述假设，即y能Granger引起x。此外还有其他改进的检验方法，如基于Sims形式的F检验、Geweke-Meese-Dent（1983）提出的方法和蒙特卡罗模拟等。Granger因果关系的检验结果对滞后长度p的选择和处理序列非平稳方法的选择都很敏感。（4）、限制性向量自回归的最大似然估计简化式模型1122tttptptycyyy中将有2nnp个系数需要估计，如果不对VAR模型中某些系数加以限制，会给估计带来困难。考虑下面的向量自回归：11112212211222ttttttttycAxAxycBxBx其中，1,11,211,ttttpyyxy，2,12,222,ttttpyyxy，分别为包含1ty的滞后的11np向量和2ty的滞后的21np的向量。向量12,cc包含向量自回归的常数项，矩阵1212,,,AABB包含自回归系数。如果2y的元素无助于改进1y的基于其自身滞后的预测，则称1y表示的变量组关于2y的变量在时间序列意义上是块外生的。在上面的系统中当20A时，1y是块外生的。据此第7页共18页我们可以讨论20A条件下系统的最大似然估计。3．脉冲—响应分析由前面所述，一个向量自回归可以写成向量MA的形式1122()tttttyL由此，tssty，即s的第i行、第j列元素,,itsjty等于时期t第j个变量的新息jt在增加一个单位而其它时期其他新息不变的情况下对时期t+s的第i个变量的值,itsy的影响。,,itsjty作为s的一个函数，称为脉冲—响应函数。它描述了,itsy在时期t的其它变量和早期不变的情况下对jty的一个暂时变化的反应。（1）方法一对于t的方差协方差矩阵，是实对称正定矩阵，由高等代数的相关结论，存在唯一一个主对角线元素为1的下三角矩阵A和一个主对角线元素为正的全对角矩阵D使得ADA利用A构造向量tu：1ttuA，故1111()()ttEuuAAAADAAD，由于D是一个主对角矩阵，可得tu的元素互不相关。另一方面，tu与自身的滞后值及y的滞后值不相关。由ttAu有：1121223132331231000100101ttttttnnnntntuauaauaaau于是1122,11,jtjtjtjtjjjtuauauau，因121,jtttjtuuuu与，，，不相关，故121,1122,11,ˆ|,,,jtttjtjtjtjjjtEuuuauauau