2.3.1数学归纳法(张用)

2.3.1数学归纳法问题情境一问题1:大球中有5个小球，如何证明它们都是绿色的？问题2:如果{an}是一个等差数列，怎样得到an=a1+(n-1)d完全归纳法不完全归纳法：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法结论一定可靠结论不一定可靠考察全体对象,得到一般结论的推理方法考察部分对象,得到一般结论的推理方法归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法归纳法如何解决不完全归纳法存在的问题呢？问题情境二多米诺骨牌课件演示多米诺骨牌课件演示如何保证骨牌一一倒下？需要哪些条件？（2）任意相邻的两块骨牌，若前一块倒下，则必须保证下一块要相继倒下。（1）第一块骨牌倒下----------递推关系；即第k块倒下，则相邻的第k+1块也倒下----------奠基；（2）验证前一问题与后一问题有递推关系；（相当于前牌推倒后牌）如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？（1）处理第一个问题；（相当于推倒第一块骨牌）问题情境三数学归纳法的概念：定义：对于某些与正整数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：1.先证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立(归纳奠基）；2.然后假设当n=k(kN*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立(归纳递推）。这种证明方法就叫做______________。数学归纳法已知数列{an}的第一项a1=1,且(n=1,2,…),试归纳出这个数列的通项公式.11nnnaaa由此猜想:1(N).nann思考？证明:(1)当n=1时,猜想成立.(2)假设n=k时,猜想成立.即那么,当n=k+1时即当n=k+1时猜想也成立.1111a1(N).kakk11kkkaaa111kk1.1k所以对任何nN*猜想都成立,即1(N).nann例:已知数列计算,根据计算的结果,猜想的表达式,并用数学归纳法进行证明.nS1234S,S,S,S1111,,,,,1×44×77×10(3n-2)(3n+1)121324311解：当n=1时，s==1×4412当n=1时，s=s+=4×7713当n=1时，s=s+=7×101014当时，s=s+=10×1313nn猜想：s=3n+1例．已知数列，计算数列和S1、S2、S3、S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明．,)13)(23(1,,741,141nn证明：（1）当n＝1时，左边＝S1＝，41右边＝，猜想成立．411131414111S72741412S1031071723S134131011034S解析：猜想．13nnSn题型三归纳、猜想、证明（2）假设当n＝k(k∈N＋)时猜想成立，即13kkSk则当n＝k＋1时，]1)1(3][(2)1(3[11kkSSkk)43)(13(113kkkk)43)(13(1432kkkk)43)(13()1)(13(kkkk1)1(31kk所以，当n＝k＋1时，猜想成立，根据（1）（2）知猜想对任意n∈N＋都成立．这就是说当时等式成立，所以时等式成立.1kn*Nn224621nnn思考1：下列推证是否正确，并指出原因.用数学归纳法证明：kn证明：假设时，等式成立，126422kkk就是122642kk1212kkk2111kk那么1)1(1321211nnnn思考2：下面是某同学用数学归纳法证明命题的过程.你认为他的证法正确吗?为什么?21211211111)1(1321211kkkk(1)当n=1时,左边=,右边=(2)假设n=k(k∈N*)时命题成立，那么n=k+1时,即n=k+1时,命题也成立.由(1)(2)知,对一切自然数,命题均正确.1)1(1211)2111()3121()211(kkkkk=右边,左边用数学归纳法证（n∈N+):1+2+3+…+2n=n(2n+1)证明：1)左边=1=……2)假设n=k时等式成立,即:1+2+3+…+2k=k(2k+1).1+2+3+…+2k+2(k+1)=k(2k+1)+2(k+1)=……那么，n=k+1时，1+2+3+…+2k=k(2k+1).1+2+3+…+2k+(2k+1)+2(k+1)=k(2k+1)+(2k+1)+2(k+1)=……那么，n=k+1时，证明：1)左边=1+2=3=右边2)假设n=k时等式成立,即:例、用数学归纳法证明：1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1)＝1(1)(2)3nnn从n=k到n=k+1有什么变化凑假设凑结论证明:2)假设n=k时命题成立,即1×2＋2×3＋3×4＋…＋k(k+1)＝)2)(1(31kkk则当n=k+1时，)1(...433221kk)2)(1(kk)2)(1(31kkk+)2)(1(kk＝=)2)(1(kk)131(k∴n=k+1时命题正确。由(1)和(2)知，当，命题正确。Nn=2111)1(31kkk1)当n=1时，左边=1×2=2,右边==2.命题成立1×1×2×331）明确首先取值n0并验证命题真假（必不可少）；2）“假设n=k时命题正确”并写出命题形式；3）分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别，弄清左端应增加的项；4）明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等；5）两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不能成立：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：(1)在第二步中,证明n=k+1命题成立时,必须用到n=k命题成立这一归纳假设,否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑严密关系,造成推理无效.证明中的几个注意问题：(2)在第一步中的初始值不一定从1取起，证明时应根据具体情况而定.(3)在证明n=k+1命题成立用到n=k命题成立时,要分析命题的结构特点,分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别.弄清应增加的项.证明：①当n=1时，左边＝21右边＝212111∴n=1时等式成立。②假设n=k时，命题成立，即kk)21(12121212132＋＋＋＋那么，当n=k+1时，有11k132211212112121212121kkkk）（＋＋＋＋即n=k+1时，命题成立。根据①②问可知，对n∈N＊，等式成立。nn)21(1212121211.32＋＋＋＋求证：例问题情境一3.某个命题当n=k(k∈N)时成立，可证得当n=k+1时也成立。现在已知当n=5时该命题不成立，那么可推得（）A.n=6时该命题不成立B.n=6时该命题成立C.n=4时该命题不成立D.n=4时该命题成立C221*111,1nnaaaaanNa六、课后作业：1、用数学归纳法证明：在验证1n时，等式左边的项是（）A、11a21aa231aaaB、C、D、C11113212224nnnnnk1nk3、用数学归纳法证明不等式时的过程中，由到时，不等式的左边（）121k121k11kA、增加了一项B、增加了一项，又减少了一项11,2121kk11,2121kk11kC、增加了两项D、增加两项，又减少了一项D设111112321fnnNnnnnfnfn则()C．112122nnＡ．121nＢ．Ｄ．122n112122nn课堂练习2：D已知n为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设时命题真，则还要用归纳假设再证（）111111112234242nnnn(2,)nkkk偶A.时等式成立1nkB.时等式成立2nkC.时等式成立22nkD.时等式成立2(2)nkB课堂练习1：3.用数学归纳法证明1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1)＝)2)(1(31nnn练习巩固从n=k到n=k+1有什么变化凑假设凑结论证明:2)假设n=k时命题成立,即1×2＋2×3＋3×4＋…＋k(k+1)＝)2)(1(31kkk则当n=k+1时，)1(...433221kk)2)(1(kk)2)(1(31kkk+)2)(1(kk＝=)2)(1(kk)131(k∴n=k+1时命题正确。由(1)和(2)知，当，命题正确。nn=2111)1(31kkk1)当n=1时，左边=1×2=2,右边==2.命题成立1×1×2×333.用数学归纳法证明1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1)＝)2)(1(31nnn练习巩固从n=k到n=k+1有什么变化凑假设凑结论证明:2)假设n=k时命题成立,即1×2＋2×3＋3×4＋…＋k(k+1)＝)2)(1(31kkk则当n=k+1时，)1(...433221kk)2)(1(kk)2)(1(31kkk+)2)(1(kk＝=)2)(1(kk)131(k∴n=k+1时命题正确。由(1)和(2)知，当，命题正确。nn=2111)1(31kkk1)当n=1时，左边=1×2=2,右边==2.命题成立1×1×2×33这就是说，当n=k+1时,命题也成立.11111(1)()()22312111=2(1)1kkkkk左边右边*111(2)()1223(1)1nnNnnn没有用上“假设”，故此法不是数学归纳法请修改为数学归纳法证明①当n=1时,左边=,212111)1(1321211kkkk②假设n=k(k∈N*)时原等式成立，即此时，原等式成立。那么n=k+1时,由①②知,对一切正整数n,原等式均正确.11==1+12右边证明①当n=1时,左边=,21211*111(2)()1223(1)1nnNnnn1)1(1321211kkkk11111223(1)(1)(2)111(1)(2)(1)1kkkkkkkkkk这才是数学归纳法②假设n=k(k∈N*)时原等式成立，即21111右边=此时，原等式成立。那么n=k+1时,这就是说，当n=k+1时,命题也成立.由①②知,对一切正整数n,原等式均正确.11111=(1)()()223111=11nnnnn证二：左边右边，所以原等式成立。*111(2)()1223(1)1nnNnnn这不是数学归纳法2311111().222221变练习1：求证：＋＋＋nn式证明:①当n=1时,左边＝1,2右边＝1111().22②假设当n=k时,命题成立，即12311111(),22222kk++++那么,当n=k+1时,有1312111222212kk++＋＋∴n=1时等式成立.即当n=k+1时命题也成立.由(1)和(2),可知原命题对任何nN*都成立.1111()22kk111().2k[通一类]1．用数学归纳法证明：n∈N*时，12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n2n＋2＝n4n＋1.证明：(1)当n＝1时，左边＝12×4＝18，右边＝18，等式成立；(2)假设n＝k时，12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k2k＋2＝k4k＋1成立．当n＝k＋1时，12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k2k＋2＋12k＋22k＋4＝k4k＋1＋14k