2015届高考数学一轮复习讲义：第七章__7.1_不等关系与不等式

一轮复习讲义不等关系与不等式第七章主页第五部分不等式退出上一页指数对数不等式不等式二元一次不等式（组）与平面区域axbyz22byaxz简单的线性规划问题可行域目标函数应用题一次函数z=ax+b构造斜率：构造距离几何意义：z是直线ax+by-z=0在x轴截距的a倍，y轴上截距的b倍.基本不等式2baab最值变形和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值.“一正二定三相等”22222babaabbaab作差或作商借助二次函数图象，利用三个“二次”间的关系不等关系与不等式基本性质一元二次不等式及其解法比较大小问题求解范围问题解不等式一元一次:axb一元二次不等式ax2+bx+c0(a≠0)绝对值不等式分式不等式分a0,a0,a=0(b≥0,b0)讨论分a0,a0,Δ0,Δ=0,Δ0讨论一元高次不等式0021nxxxxxx解不等式组000;00xgxgxfxgxfxgxfxgxf且.22绝对值几何意义求解，可分段讨论或用形如或cbxaxxgxfxgxfxgxfxgxfxgxfxgxfxgxgxfx系数化为正，“穿根法”，奇穿偶不穿利用性质转化为代数不等式，底数a的讨论1．两个实数比较大小的方法(1)作差法a－b0⇔aba－b＝0⇔aba－b0⇔ab(a，b∈R)；(2)作商法ab1⇔abab＝1⇔abab1⇔ab(a∈R，b0)．忆一忆知识要点==要点梳理2．不等式的性质单向性：(1)传递性：ab，bc⇒ac.(2)同向相加性：ab，cd⇒a＋cb＋d.(3)乘法单调性：ab，c0⇒acbc；ab，c0⇒acbc；ab0，cd0⇒acbd；ab0(n∈N*)⇒anbn；忆一忆知识要点要点梳理ab0(n∈N*，n≥2)⇒nanb.双向性：ab⇔.ab⇔a＋cb＋c.忆一忆知识要点3．不等式的一些常用性质(1)倒数性质①ab，ab0⇒1a1b.②a0b⇒1a1b.③ab0,0cd⇒acbd.④0axb或axb0⇒1b1x1a.ba要点梳理(2)有关分数的性质若ab0，m0，则①真分数的性质：bab＋ma＋m；bab－ma－m(b－m0)．②假分数的性质：aba＋mb＋m；aba－mb－m(b－m0)．忆一忆知识要点要点梳理例1对于实数a、b、c，判断下列命题的真假．(1)若ab，则acbc；(2)若ab，则ac2bc2；(3)若ab0，则a2abb2；(4)若ab0，则1a1b；(5)若ab0，则baab.不等式的性质利用不等式的性质说明正误或举反例说明真假．解(1)因未知c的正负或是否为零，无法确定ac与bc的大小，所以是假命题．(2)因为c2≥0，所以只有c≠0时才正确．c＝0时，ac2＝bc2，所以是假命题．(3)因为ab，a0⇒a2ab；ab，b0⇒abb2，所以a2abb2，命题是真命题．(4)由性质定理ab0⇒1a1b，命题是真命题．(5)例如－3－20，2332，命题是假命题．或者由ab0⇒－a－b01b1a0⇒－a－b0－1b－1a0⇒abba，命题是假命题．适当增加不等式条件使得下列命题成立：(1)若ab，则ac≤bc；(2)若ac2bc2，则a2b2；(3)若ab，则lg(a＋1)lg(b＋1)．变式训练1解(1)原命题改为：若ab且c≤0，则ac≤bc，即增加条件“c≤0”．(2)由ac2bc2可得ab，当b≥0时，有a2b2.即增加条件“b≥0”．(3)由ab可得a＋1b＋1，但作为真数，应有b＋10，故应增加条件“b－1”．例2已知a≠1且a∈R，试比较11－a与1＋a的大小．要判断11－a与1＋a的大小，只需研究它们差的符号．比较实数或代数式的大小解∵11－a－(1＋a)＝a21－a，①当a＝0时，a21－a＝0，∴11－a＝1＋a.②当a1，且a≠0时，a21－a0，∴11－a1＋a.③当a1时，a21－a0，∴11－a1＋a.已知a、b、c是实数，试比较a2＋b2＋c2与ab＋bc＋ca的大小．变式训练2解方法一(作差法)∵a2＋b2＋c2－(ab＋bc＋ca)＝12[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0，当且仅当a＝b＝c时取等号，∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.方法二(函数法)记t＝a2＋b2＋c2－(ab＋bc＋ca)＝a2－(b＋c)a＋b2＋c2－bc，∵Δ＝(b＋c)2－4(b2＋c2－bc)＝－3b2－3c2＋6bc＝－3(b－c)2≤0，∴t≥0对a∈R恒成立，即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.例3设f(x)＝ax2＋bx,1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．不等式性质的应用可将f(－2)用f(－1)和f(1)表示，再根据f(－1)、f(1)的取值范围来求解．解方法一设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b.于是得m＋n＝4n－m＝－2，解得m＝3n＝1，∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.方法二由f－1＝a－bf1＝a＋b，得a＝12[f－1＋f1]b＝12[f1－f－1]，∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.方法三由1≤a－b≤22≤a＋b≤4确定的平面区域如图阴影部分，当f(－2)＝4a－2b过点A32，12时，取得最小值4×32－2×12＝5，当f(－2)＝4a－2b过点B(3,1)时，取得最大值4×3－2×1＝10，∴5≤f(－2)≤10.(2010·江苏)设x，y为实数，满足3≤xy2≤8,4≤x2y≤9，则x3y4的最大值是________．变式训练3由4≤x2y≤9，得16≤x4y2≤81.又3≤xy2≤8，∴18≤1xy2≤13，∴2≤x3y4≤27.又x＝3，y＝1满足条件，这时x3y4＝27.∴x3y4的最大值是27.27(14分)已知1≤lgxy≤2,2≤lgx3y≤3，求lgx33y的取值范围．忽视不等式同解变形致误易错警示学生解答展示规范解答解由1≤lgxy≤2，2≤lgx3y≤3变形，得1≤lgx－lgy≤2，2≤3lgx－12lgy≤3，[2分]令lgx－lgy＝a，3lgx－12lgy＝b，解得lgx＝2b－a5，lgy＝2b－6a5.[4分]∴lgx33y＝3lgx－13lgy＝3·2b－a5－13·2b－6a5＝1615b－15a.[8分]由1≤a≤2，2≤b≤3，得－25≤－15a≤－15，3215≤1615b≤165.[12分]∴2615≤1615b－15a≤3，即2615≤lgx33y≤3.∴lgx33y的取值范围是2615，3.[14分]1．用同向不等式求差的范围．axbcyd⇒axb－d－y－c⇒a－dx－yb－c这种方法在三角函数中求角的范围时经常用到．2．倒数关系在不等式中的作用．ab0ab⇒1a1b；ab0ab⇒1a1b.3．比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比差法的主要步骤为：作差——变形——判断正负；作差是意识，变形是核心．在所给不等式完全是积、商、幂的形式时，可考虑比商．比差、比商异曲同工，相得益彰．方法与技巧1．ab⇒acbc或ab⇒acbc，当c≤0时不成立．2．ab⇒1a1b或ab⇒1a1b，当ab≤0时不成立．3．ab⇒anbn对于正数a、b才成立．4.ab1⇔ab，对于正数a、b才成立．5．注意不等式性质中“⇒”与“⇔”的区别，如：ab，bc⇒ac，其中ac不能推出abbc.失误与防范(1)0;abab(4)0,00;abab(2)0;abab(3)0;abab(5)0,00;abab(6)0,00.abab1.实数比较大小的依据:①变形为常数2.比较实数大小的一般步骤：✍作差－变形－判号－定论,变形是关键：✍变形常用手段:✍变形常见形式配方法，因式分解法③几个因式的积②一个常数与几个平方和要点梳理3.不等式的基本性质1.对称性:ab⇔ba.3.可加法:2.传递性:ab,bc⇒ac..abacbc乘法法则：06.0.0abacbdcd5..00可乘性：；ababacbcacbccc4.abacbdcd.加法法则要点梳理8.开方法则:9.倒数法则11(1)0;abab11(2)0.abab0,N,2abnn≥.nnab11(3).0ababab0(N,2)nnababnn7.乘方法则：≥要点梳理例1已知a0，b0，求证：22.ababba≥证明一：比较法（作差）22()ababba22.ababba所以≥0.≥2()()ababab22()()ababab22()()aabbbaab3322abababab()()baabba0,0,.abab已知:且例2abababba求证:.abababba证明：().abab()1.abab01,0,aabb则abababba.1,0,aabb则又0,abba()1.abab1.abababba综上例3解：例3例4.如右图,y=f(x)反映了某公司产品的销售收入y万元与销售量x吨的函数关系,y=g(x)反映了该公司产品的销售成本与销售量的函数关系.(1)当销售量为多少时，该公司盈利(收入大于成本)？(2)当销售量为多少时，该公司亏损(收入小于成本)？(1)当xa时,f(x)g(x),公司盈利.(2)当0≤xa时,f(x)g(x),公司亏损.y万元()yfxbaxoy()ygxx吨0,0,,2ababab≥ab(()(2)).2ffafb即≥xoyx1x2【1】解析lgyx上凸函数ABP|PB|=12()()2fxfx|AB|=12()2xxfyxox1x21212()()()22fxfxxxf≥下凸函数同理.cba≥解：当x=y时，22,33c≤≤有2.3c2223yxxyxy2()0,3(2)(2)xyxyxy≤2.223yxxyxy≤2223yxxyxy22()0,3(2)(2)xyxyxy≥2.223yxxyxy≥102030(1)20_____5_______3.【3】比较下列各数的大小10202052030531020()1251025()127(2)2,2,_____.ababab若则111ababab3042,1624,xy如果则【1】_______,2_______,______.xxyxyy(46,66)(18,10)521(,)48【2】若，则的取值范围