空间向量与空间角、距离

第三章空间向量与立体几何第2课时空间向量与空间角、距离第三章空间向量与立体几何学习导航学习目标1.理解直线与平面所成角的概念．2．能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题．3．体会向量法在求空间距离中的作用．4．体会用空间向量解决立体几何问题的三步曲.学法指导空间中的各种角都可以转化为两条直线所成的角，可以通过两个向量的夹角求得，体现了数学中的转化与化归思想．通过本节的学习进一步体会空间向量解决立体几何中的平行、垂直、空间角、距离等问题的三步曲.栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第三章空间向量与立体几何0，π2|a·b||a||b|1．空间角及向量求法角的分类向量求法范围异面直线所成的角设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量为a，b，则cosθ＝|cos〈a，b〉|＝_____________________直线与平面所成的角设直线l与平面α所成的角为θ,l的方向向量为a,平面α的法向量为n,则sinθ＝___________________________二面角设二面角αlβ的平面角为θ,平面α,β的法向量为n1,n2,则|cosθ|＝________________________________[0，π]|cos〈a，n〉|＝|a·n||a||n|0，π2|cos〈n1，n2〉|＝|n1·n2||n1||n2|栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第三章空间向量与立体几何2.空间距离的向量求法|AB→|分类向量求法两点距设A，B为空间中任意两点，则d＝___________点面距设平面α的法向量为n，B∉α，A∈α，则B点到平面α的距离l＝|BA→·n||n|栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第三章空间向量与立体几何1．判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成角的范围相同．()(2)直线与平面所成角就是对应直线的方向向量与平面的法向量所成角．()(3)直线到平面的距离指直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离．()××√栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第三章空间向量与立体几何2．平面α的一个法向量n＝(1，－1,0)，则y轴与平面α所成的角的大小为()A.π6B.π4C.π3D.3π4B栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第三章空间向量与立体几何3．若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角是150°,则l1与l2这两条异面直线所成的角等于()A．30°B．150°C．30°或150°D．以上均错4．已知空间两点A,B的坐标分别为(1,1,1),(2,2,2),则A,B两点间的距离为________．A3栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第三章空间向量与立体几何求异面直线所成的角(2014·四平高二检测)长方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是()A.π6B.π4C.π3D.π2D栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第三章空间向量与立体几何[解析]如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则A1(1,0,2)，E(0,0,1)，G(0,2,1)，F(1,1,0)．∴A1E→＝(－1,0，－1)，GF→＝(1，－1，－1)，∴A1E→·GF→＝(－1)×1＋0＋(－1)×(－1)＝0，∴A1E→⊥GF→，即A1E⊥GF，故A1E与GF所成的角为π2.栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第三章空间向量与立体几何方法归纳用向量法求两条异面直线所成的角是通过两条直线的方向向量的夹角来求解的，而两条异面直线所成角θ的取值范围是0，π2，两向量的夹角α的取值范围是[0，π]，所以要注意二者的联系与区别，应有cosθ＝|cosα|.栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第三章空间向量与立体几何1．四棱锥PABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60°.在四边形ABCD中，∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2.(1)建立适当的坐标系，并写出点B、P的坐标；(2)求异面直线PA与BC所成的角的余弦值．解：(1)以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.∵∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，AD＝2.∴B(2,4,0)．栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第三章空间向量与立体几何由PD⊥平面ABCD，得∠PAD为PA与平面ABCD所成的角，∴∠PAD＝60°.在Rt△PAD中，由AD＝2，得PD＝23.∴P(0,0,23)．(2)∵A(2,0,0)，C(0,1,0)，∴PA→＝(2,0，－23)，BC→＝(－2，－3,0)，∴cos〈PA→，BC→〉＝2×－2＋0×－3＋－23×04×13＝－1313.∴异面直线PA与BC所成角的余弦值为1313.栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第三章空间向量与立体几何求直线与平面所成的角如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，M、N分别是A1B、B1C1的中点．(1)求证：MN⊥平面A1BC；(2)求直线BC1和平面A1BC所成角的大小．栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第三章空间向量与立体几何[解](1)证明：根据题意CA、CB、CC1两两垂直，以C为原点，CA、CB、CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AC＝BC＝CC1＝a，则B(0，a,0)，B1(0，a，a)，C(0,0,0)，C1(0,0，a)，A1(a,0，a)，Ma2，a2，a2，N0，a2，a.所以BA1→＝(a，－a，a)，CA1→＝(a,0，a)，MN→＝－a2，0，a2.于是MN→·BA1→＝0，MN→·CA1→＝0，即MN⊥BA1，MN⊥CA1.又BA1∩CA1＝A1，故MN⊥平面A1BC.栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第三章空间向量与立体几何(2)因为MN⊥平面A1BC，则MN→为平面A1BC的法向量，又BC1→＝(0，－a，a)，则cos〈BC1→，MN→〉＝BC1→·MN→|BC1→||MN→|＝a222a·22a＝12，所以〈BC1→，MN→〉＝60°.故直线BC1和平面A1BC所成的角为30°.栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第三章空间向量与立体几何方法归纳利用平面法向量求线面角的基本步骤(1)建立空间直角坐标系．(2)求直线的方向向量AB→.(3)求平面的法向量n.(4)计算：设线面角为θ，则sinθ＝|n·AB→||n||AB→|.(5)由θ∈[0，π2]，求θ.栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第三章空间向量与立体几何2.如图，在三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，AB＝AC＝1，PA＝2.求直线PA与平面DEF所成角的正弦值．解：如图，以点A为原点，AB，AC，AP所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Axyz.AB＝AC＝1，PA＝2，得A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，P(0,0,2)，D(12，0,0)，E(12，12，0)，F(0，12，1)．栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第三章空间向量与立体几何∴PA→＝(0,0，－2)，DE→＝(0，12，0)，DF→＝(－12，12，1)．设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)．则n·DE→＝0，n·DF→＝0，即x，y，z·0，12，0＝0，x，y，z·－12，12，1＝0，栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第三章空间向量与立体几何解得x＝2z，y＝0.取z＝1，则平面DEF的一个法向量为n＝(2,0,1)．设PA与平面DEF所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈PA→，n〉|＝|PA→·n|PA→||n||＝55，故直线PA与平面DEF所成角的正弦值为55.栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第三章空间向量与立体几何求二面角(2013·高考北京卷节选)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5.(1)求证：AA1⊥平面ABC；(2)求二面角A1BC1B1的余弦值．[解](1)证明：因为AA1C1C为正方形，所以AA1⊥AC.因为平面ABC⊥平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面的交线AC，所以AA1⊥平面ABC.栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第三章空间向量与立体几何(2)由(1)知AA1⊥AC，AA1⊥AB.由题知AB＝3，BC＝5，AC＝4，所以AB⊥AC.如图，以A为原点建立空间直角坐标系Axyz，则B(0,3,0)，A1(0，0,4)，B1(0,3,4)，C1(4,0,4)．设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)，则n·A1B→＝0，n·A1C1→＝0，即3y－4z＝0，4x＝0.令z＝3，则x＝0，y＝4，所以n＝(0,4,3)．同理可得，平面B1BC1的法向量为m＝(3,4,0)．所以cos〈n，m〉＝n·m|n||m|＝1625.由题知二面角A1­BC1­B1为锐角，所以二面角A1­BC1­B1的余弦值为1625.栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第三章空间向量与立体几何方法归纳向量法求二面角(或其某个三角函数值)的四个步骤栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第三章空间向量与立体几何3．如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝12PD.(1)证明：平面PQC⊥平面DCQ；(2)求二面角Q­BP­C的余弦值．解：如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第三章空间向量与立体几何(1)证明：依题意有Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)，则DQ→＝(1,1,0)，DC→＝(0,0,1)，PQ→＝(1，－1,0)，所以PQ→·DQ→＝0，PQ→·DC→＝0，即PQ⊥DQ，PQ⊥DC.又DQ∩DC＝D，故PQ⊥平面DCQ.又PQ⊂平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ.栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第三章空间向量与立体几何(2)依题意，有B(1,0,1)，CB→＝(1,0,0)，BP→＝(－1,2，－1)．设n＝(x，y，z)是平面PBC的法向量，则n·CB→＝0，n·BP→＝0，即x＝0，－x＋2y－z＝0.因此可取n＝(0，－1，－2)．设m是平面PBQ的法向量，则m·BP→＝0，m·PQ→＝0.可取m＝(1,1,1)，所以cos〈m，n〉＝－155.故二面角Q­BP­C的余弦值为－155.栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第三章空间向量与立体几何利用空间向量求点到面的距离四棱锥PABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DA＝2，F，E分别为AD，PC的中点．(1)求证：DE∥平面PFB；(2)求点E到平面PFB的距离．栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第三章