3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式

已知：α的三角函数值，求sin2α、cos2α、tab2α?利用已知的和（差）角公式，能否找到解决问题的线索呢？新课导入复习:两角和的正弦、余弦、正切公式:sin()sincoscossincos()coscossinsintantantan()1tantan若上述公式中，你能否对它进行变形？能利用两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式。知识与能力教学目标以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用。过程与方法通过公式的推导，了解它们内在的联系．进一步培养学生的逻辑推理能力。领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学数学的兴趣。情感态度与价值观以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式；二倍角的理解及其灵活运用。教学重难点重点难点sincoscossinsinsinsincoscoscostantantantantan1由此得到二倍角公式。能否通过上述公式利用单角表示：，，？2sin2cos2tansin22sincosR22cos2cossinR,且，42k2kZk2122tantantan二倍角公式：对于能否有其它表示形式？2C1222coscos2212sincos公式中的角是否为任意角？二倍角的正弦（1）二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题。注意：（2）二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其它如4α是2α的两倍，α/2是α/4的两倍,3α是3α/2的两倍，α/3是α/6的两倍等，所有这些都可以应用二倍角公式.因此，要理解“二倍角”的含义，即当α=2β时，α就是β的二倍角.凡是符合二倍角关系的就可以应用二倍角公式。（3）二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角相等时推导出来，记忆时可联想相应角公式。例1：已知5ππsin2α=,α,1342求sin4α,cos4α,tan4α值。解：由ππα,42得π2απ2又因为5sin2α=,1322512cos2α=-1-sin2α=-1-=-1313于是512120sin4α=2sin2αcos2α=2-=-1313169225119cos4α=1-2sin2α=1-2=13169120-sin4α120169tan4α===-119cos4α119169例2：已知求sin2，cos2，tan2的值。),2(,135sin解：∵),2(,135sin∴1312sin1cos2∴sin2=2sincos=169120cos2=169119sin212tan2=119120例3:证明：2sin2sintan222sincoscos证明：左边（）（）（）2222sinθcosθ+sinθ=2cosθ-sinθ+2sinθ+cosθsinθ2cosθ+1==tanθ=cosθ2cosθ+1右边例4:化简：11-1-tan1+tan解：原式()()()()()()21+tanθ1-tanθ=-1-tanθ1+tanθ1-tanθ1+tanθ1+tanθ-1+tanθ2tanθ===tan2θ1-tanθ1+tanθ1-tanθ引申：公式变形：2)cos(sin2sin12cos22cos12sin22cos122cos1cos222cos1sin2升幂降角公式降幂升角公式2、18cos222sin2157.51=3、sin2230’cos2230’=1、例5：求值：24222-25、8cos8sin226、12cos24cos48cos48sin8125sin12sin4、142-212例6:化简1、)125cos125)(sin125cos125(sin2sin2cos442、225π5π5π3=sin-cos=-cos=1212622222αααα=cos+sincos-sin=cosα2222骣骣鼢珑鼢珑鼢珑桫桫3、2coscos21222=1+2cosθ-2cosθ+1=2例7：若tan=3，求sin2cos2的值。解：sin2cos22222cossincossincossin222tan11tantan257221+2sinθcosθ-(1-2sinθ)=1+2sinθcosθ+(2cosθ-1)证明：左边1sin2cos2tan1sin2cos2求证：2sinθ(cosθ+sinθ)=2cosθ(cosθ+sinθ)=tanθ=右边。∴原式成立例8：sinθ=cosθ思考1：tanα与sin2α，cos2α之间是否存在某种关系？21-cos2atana=1+cos2asin2α1-cos2αtanα==1+cos2αsin2α思考2：sin2α，cos2α能否分别用tanα表示？22tanasin2a=1+tana221-tanacos2a=1+tanaαRαR,且，42k2kZkcossinsin22222sincoscos2122tantantan1222coscos212sin2、注意正用、逆用、变形用1、二倍角正弦、余弦、正切公式课堂小结21sin2(sincos)21cos22cos21cos22sin21cos2cos221cos2sin2升幂降角公式降幂升角公式高考链接2cos2sinsincos2sin21tan1（2004广西）已知α为锐角，且求的值.,2coscossin22cossin,02cos,0sin,21tan时12cos原式,52cos21tan得54本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式等基础知识以及三角恒等变形的能力因为所以因为为锐角，由所以原式原式解析：2xsin2sin2coscos21,(0,),lim2sintan求、2（2004广西）已知解析：2sin2sin2coscos21由22sin2sin2cos1cos22cos22224sincos2sincos2cos2(0,),cos0,26，，01sinsin221sin1sin2（舍）或13sin,tan231、判断：33(1)sin3sincos222(2)cos22sin1232tan3(3)tan21tan322cot(4)cot21cot错错错错课堂练习2、3、1、sin2cos23tan2cos4、2、用二倍角公式展开下列各式：2cos2sin24sin4cos2243tan143tan2214cos22求3、已知1tan2α=,3tanα的值解：22tanα1tan2α==1-tanα3由此得2tanα+6tanα-1=0解得tanα=-2+5或tanα=-2-5oootan70cos10(3tan20-1)ooooooooooooo31sin20cos20222tan70cos10cos20sin102tan70cos10cos20sin70sin20cos70cos201原式4、求值：解：sin2xx(1+tanxtan)=tanx2cosx22sinxcosxsinx1-cosx=(1+)2cosxcosxsinx1-cosx=sinx(1+)=tanx=cosxxxtanx-tansinsin2x2sinxcosx22==xxx2cosx2cosxtan(x-)cosxcostan222=tanx=左边右边左边右边5、证明：证明：、7225、α24α7α24αα1sin=,cos=,tan=.24254254748α3π8πα12ππ.82注意是的倍，由可得3-32sinαcosα=-sinα,sinα¹0.1cosα=-2、由已知可得且于是有教材习题答案24-31012tanα1tan2α==.tanα31-tanα3tanα、由得这是一个关于的方程，解此方程可求的的值.体现方程思想的运用°°2o°125(1);(2);4212tan22.511(3)==tan45=;21-tan22.5222(4)=cos45=2、原式原式