【高考调研】2013届高考数学一轮复习 坐标系与参数方程 第2课时 参数方程课件 理 新人教版选修4

选考部分选修系列4提示：选修部分请根据教学要求选用！2013届高考一轮数学复习理科课件（人教版）选修4－4坐标系与参数方程第2课时参数方程1．了解参数方程，了解参数的意义．2．能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程．3．了解圆的平摆线、渐开线的形成过程，并能推导出它们的参数方程.2012·考纲下载对本部分的考查，主要是参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用，题目难度的设置以中档题型为主，预测2013年高考中，在难度，知识点方面变化不大.请注意！1．参数方程的概念如果曲线C上任意一点P的坐标x和y都可以表示为某个变量t的函数.x＝fty＝gt，反过来，对于t的每个允许值，由函数式x＝fty＝gt，所确定的点P(x，y)都在曲线C上，那么方程x＝fty＝gt，叫做曲线C的参数方程，变量t是参数．2．圆锥曲线的参数方程(1)圆心为(a，b)，半径为r的圆的参数方程为_______________(θ为参数)．(2)椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的参数方程为__________(θ为参数)．x＝a＋rcosθy＝b＋rsinθx＝acosθy＝bsinθ(3)双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的参数方程为______________(t为参数)．(4)抛物线y2＝2px(p0)的参数方程为x＝2pt2y＝2pt(t为参数)．x＝acosθy＝btanθ3．直线的参数方程过点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为____________(t为参数)，其中t表示直线上以定点M0为起点，任意一点M(x，y)为终点的有向线段M0M→的____．当t0时，M0M→的方向向上；当t0时，M0M→的方向向下；当t＝0时，M与M0重合．x＝x0＋tcosαy＝y0＋tsinα数量1．若直线的参数方程为x＝1＋2t，y＝2－3t(t为参数)，则直线的斜率为()A.23B．－23C.32D．－32答案D2．参数方程x＝cos2θ，y＝sinθ(θ为参数)所表示的曲线为()A．抛物线的一部分B．一条抛物线C．双曲线的一部分D．一条双曲线答案A3．把方程xy＝1化为以t为参数的参数方程是()A.x＝t12y＝t－12B.x＝sinty＝1sintC.x＝costy＝1costD.x＝tanty＝1tant答案D4．(2011·广东文)已知两曲线参数方程分别为x＝5cosθy＝sinθ(0≤θπ)x＝54t2y＝t(t∈R)，它们的交点坐标为________．答案(1，255)解析x＝5cosθy＝sinθ表示椭圆x25＋y2＝1(－5x≤5且0≤y≤1)，x＝54t2y＝t表示抛物线y2＝45x，联立方程得x25＋y2＝1y2＝45x(－5x≤5且0≤y≤1)⇒x2＋4x－5＝0⇒x＝1或x＝－5(舍去)，又因为0y≤1，所以它们的交点坐标为(1，255)．5．(2010·安徽)设曲线C的参数方程为x＝2＋3cosθy＝－1＋3sinθ(θ为参数)，直线l的方程为x－3y＋2＝0，则曲线C上到直线l距离为71010的点的个数为()A．1B．2C．3D．4答案B解析曲线C的标准方程为：(x－2)2＋(y＋1)2＝9，它表示以(2，－1)为圆心，半径为3的圆，因为圆心(2，－1)到直线x－3y＋2＝0的距离d＝|2＋3＋2|10＝71010且3－71010＜71010，故过圆心且与l平行的直线与圆相交的两点为满足题意的点．题型一参数方程化为普通方程例1把下列参数方程化为普通方程．(1)x＝1＋12t，y＝5＋32t(t为参数)；(2)x＝sinθ，y＝cos2θ(θ为参数，θ∈[0,2π])．【思路】(1)用代入法消去参数t；(2)利用sin2θ＋cos2θ＝1消参．【解析】(1)由已知得t＝2x－2，代入y＝5＋32t中得y＝5＋32(2x－2)，即它的普通方程为3x－y＋5－3＝0.(2)∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴x2＋y＝1，即y＝1－x2.又∵|sinθ|≤1，∴其普通方程为y＝1－x2(|x|≤1)．思考题1将下列参数方程化成普通方程．(1)x＝t＋1t－1y＝2tt3－1(2)x＝Pt2＋pt2y＝pt－pt【解析】(1)由x＝t＋1t－1得t＝x＋1x－1代入y＝2tt3－1化简得y＝x＋1x－123x2＋1(x≠1)．(2)将y＝pt－pt的两边平方得：y2＝p2t2＋p2t2－2p2＝p(pt2＋pt2)－2p2，以x＝pt2＋pt2代入上式，得y2＝p(x－2p)．题型二直线的参数方程例2已知直线l经过点A(1,2)，倾斜角为π3.(1)求直线l的参数方程；(2)求直线l和圆x2＋y2＝9的两个交点到点A的距离之积．【思路】根据直线参数方程中参数t的几何意义，运用一元二次方程根与系数的关系求解．【解析】(1)直线l的参数方程为x＝1＋t2，y＝2＋32t，(t为参数)．(2)将x＝1＋t2y＝2＋32t代入x2＋y2＝9，得：t2＋(1＋23)t－4＝0，∴t1t2＝－4.由参数t的几何意义得直线l和圆x2＋y2＝9的两个交点到点A的距离之积为|t1t2|＝4.探究1涉及过定点的线段长度或距离常选用直线的参数方程．直线的点斜式方程为y－y0＝k(x－x0)．其中k＝tanα(α≠90°)，α为直线的倾斜角，则参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα，(t为参数)．思考题2(1)下列参数方程与方程y2＝x表示同一曲线的是()A.x＝t，y＝t2(t为参数)B.x＝sin2t，y＝sint(t为参数)C.x＝t，y＝|t|(t为参数)D.x＝1－cos2t1＋cos2t，y＝tant(t为参数)【解析】考查四个选项：对于A，消去t后所得方程为x2＝y，不符合y2＝x；对于B，消去t后所得方程为y2＝x，但要求0≤x≤1，也不符合y2＝x；对于C，消去t得方程为y2＝|x|，但要求y≥0，x∈R，也不符合y2＝x；对于D，x＝1－cos2t1＋cos2t＝2sin2t2cos2t＝tan2t＝y2即符合y2＝x.因此D是正确的，故选D.【答案】D(2)已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点．求|PA|·|PB|的值为最小时的直线l的方程．【思路】本题可以使用直线的普通方程来解，也可以使用参数方程来解，但是使用普通方程解，运算较为麻烦．如果设出直线的倾斜角，写出直线的参数方程来解，就可以把问题转化为三角函数的最小值问题，便于计算．【解析】设直线的倾斜角为α，显然90°α180°，则它的方程为x＝3＋tcosα，y＝2＋tsinα(t为参数)．由A、B是坐标轴上的点知yA＝0，xB＝0，∴0＝2＋tsinα，即|PA|＝|t|＝2sinα，0＝3＋tcosα，即|PB|＝|t|＝－3cosα.故|PA|·|PB|＝2sinα·(－3cosα)＝－12sin2α.∵90°α180°，∴当2α＝270°，即α＝135°时，|PA|·|PB|有最小值．∴直线方程为x＝3－22t，y＝2＋22t(t为参数)，化为普通方程即x＋y－5＝0.题型三参数方程的应用例3实数x，y满足x－1216＋y＋229＝1，试求x－y的最大值与最小值，并指出何时取得最大值与最小值．【思路】转化为椭圆的参数方程，应用三角函数知识求解．【解析】由已知可设x－14＝cosθ，y＋23＝sinθ，即x＝4cosθ＋1，y＝3sinθ－2(θ为参数)．则x－y＝(4cosθ＋1)－(3sinθ－2)＝(4cosθ－3sinθ)＋3＝5cos(θ＋α)＋3，其中cosα＝45，sinα＝35.当cos(θ＋α)＝1，即θ＋α＝2kπ，k∈Z时，cosθ＝cos(2kπ－α)＝cosα＝45，sinθ＝sin(2kπ－α)＝－sinα＝－35，当x＝4×45＋1＝215，y＝3×(－35)－2＝－195时，x－y的最大值为8.同理，当x＝－115，y＝－15时，x－y的最小值为－2.探究2本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性．运用参数方程显得很简单，运算更简便．本题易错点主要有两点：(1)对于椭圆的参数方程不会转化而直接使用普通方程；(2)在使用参数方程运算时不考虑α的实际取值．思考题3(1)已知点P(x，y)是圆x2＋y2＝2y上的动点，①求2x＋y的取值范围；②若x＋y＋a≥0恒成立，求实数a的取值范围．【解析】①设圆的参数方程为x＝cosθ，y＝1＋sinθ.2x＋y＝2cosθ＋sinθ＋1＝5sin(θ＋φ)＋1，∴－5＋1≤2x＋y≤5＋1.②x＋y＋a＝cosθ＋sinθ＋1＋a≥0，∴a≥－(cosθ＋sinθ)－1＝－2sin(θ＋π4)－1.∴a≥2－1.(2)在圆x2＋y2－4x－2y－20＝0上求两点A和B，使它们到直线4x＋3y＋19＝0的距离分别最短和最长．【思路】利用圆的参数方程求解．【解析】将圆的方程化为参数方程：x＝2＋5cosθy＝1＋5sinθ(θ为参数)，则圆上点P坐标为(2＋5cosθ，1＋5sinθ)，它到所给直线的距离d＝|20cosθ＋15sinθ＋30|42＋32＝|5cos(φ－θ)＋6|，其中cosφ＝45，sinφ＝35.故当cos(φ－θ)＝1，即θ＝φ时，d最长，这时点A坐标为(6,4)；当cos(φ－θ)＝－1，即θ＝φ－π时，d最短，这时点B坐标为(－2,2)．题型四参数方程与极坐标的综合例4(2010·福建卷)坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝3－22t，y＝5＋22t(t为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ＝25sinθ.①求圆C的直角坐标方程；②设圆C与直线l交于点A，B.若点P的坐标为(3，5)，求|PA|＋|PB|.【解析】解法一①由ρ＝25sinθ，得x2＋y2－25y＝0，即x2＋(y－5)2＝5.②将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得(3－22t)2＋(22t)2＝5，即t2－32t＋4＝0.由于Δ＝(32)2－4×4＝2＞0，故可设t1，t2是上述方程的两实根，所以t1＋t2＝32，t1·t2＝4.又直线l过点P(3，5)，故由上式及t的几何意义得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝32.解法二①同解法一．②因为圆C的圆心为(0，5)，半径r＝5，直线l的普通方程为：y＝－x＋3＋5.由x2＋y－52＝5，y＝－x＋3＋5得x2－3x＋2＝0.解得：x＝1.y＝2＋5或x＝2，y＝1＋5.不妨设A(1,2＋5)，B(2,1＋5)，又点P的坐标为(3，5)，故|PA|＋|PB|＝8＋2＝32.探究3本题将所给的方程化为考生所熟悉的普通方程，然后去解决问题，这是考生在解决参数方程和极坐标方程相互交织问题时的一个重要的思路．思考题4(1)已知曲线C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是x＝22t＋1，y＝22t，求直线l与曲线C相交所成的弦的弦长．【思路】先将极坐标方程和参数方程都转化为普通方程，然后再求解．【解析】曲线C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，化为直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0，即(x－2)2＋y2＝4.直线l的参数方程x＝22t＋1，y