2014《成才之路》高二数学(人教A版)选修2-1课件：2-1-2 曲线方程的求法

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教A版·选修2-1第二章圆锥曲线与方程成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1第二章圆锥曲线与方程第二章圆锥曲线与方程成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-12．1曲线与方程第二章第二章圆锥曲线与方程成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1第2课时曲线方程的求法第二章第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1课前自主预习课堂典例讲练方法规律总结课后强化作业课堂巩固训练第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1课程目标解读第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-11．进一步理解曲线的方程和方程的曲线的概念，掌握求曲线的方程和由方程研究曲线性质的方法．2．了解求曲线方程的几种常用方法，能够利用它们去求曲线的方程．第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1课前自主预习第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-11．解析几何研究的主要问题(1)根据已知条件，求出；(2)通过曲线的方程，研究．表示曲线的方程曲线的性质第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-12．求曲线的方程的步骤第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1重点难点展示第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1重点：轨迹方程的求法．难点：求曲线的方程的思路．第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1学习要点点拨第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1求曲线方程的常用方法(1)直接法：也叫直译法，即根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何的有关公式进行整理、化简．(2)定义法：若动点的轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量．第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1(3)待定系数法：根据条件能知道曲线方程的类型，可设出其方程形式，再根据条件确定待定的系数．(4)代入法：动点M(x，y)随着动点P(x1，y1)的运动而运动，点P(x1，y1)在已知曲线C上运动，可根据P与M的关系用x，y表示x1，y1，再代入曲线C的方程，即可得点M的轨迹方程．第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1(5)参数法：选取适当的参数，分别用参数表示动点坐标x，y，得出轨迹的参数方程，消去参数，即得其普通方程．(6)交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数得到轨迹方程．第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1课堂典例讲练第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1命题方向直译法求曲线的方程[例1]过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1、l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．思路方法技巧第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1[解析]解法一：如图所示，设点A(a,0)，B(0，b)，M(x，y)，因为M为线段AB的中点，所以a＝2x，b＝2y，即A(2x,0)，B(0,2y)．因为l1⊥l2，所以kAP·kPB＝－1.而kAP＝4－02－2x(x≠1)，kPB＝4－2y2－0，所以21－x·2－y1＝－1(x≠1)．整理得，x＋2y－5＝0(x≠1)．第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1因为当x＝1时，A、B的坐标分别为(2,0)，(0,4)，所以线段AB的中点坐标是(1,2)，它满足方程x＋2y－5＝0.综上所述，点M的轨迹方程是x＋2y－5＝0.第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1解法二：设M(x，y)，则易知A、B两点的坐标分别是(2x,0)，(0,2y)，连结PM.因为l1⊥l2，所以|PM|＝12|AB|.而|PM|＝x－22＋y－42，|AB|＝2x2＋2y2，所以2x－22＋y－42＝4x2＋4y2，化简，得x＋2y－5＝0为所求轨迹方程．第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1[点评]1.直译法求轨迹方程是常用的基本方法，大多数题目可以依据文字叙述的条件要求，直接“翻译”列出等式整理可得．第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-12．解题过程中，要注意使用某种形式时是否受到某些条件的限制而丢掉个别点，如使用斜率求解时限制条件是斜率存在，因而可能漏掉斜率不存在的点．必须找一找是否漏掉了．有时也可能使范围扩大了，多出了不合要求的点，要通过最后的检验“防失、去伪”．第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1已知两个定点A、B的距离为6，动点M满足条件MA→·MB→＝－1，求点M的轨迹方程．第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1[解析]以AB中点为原点，直线AB为x轴建立直角坐标系如图，则A(－3,0)，B(3,0)，设M(x，y)，则由MA→·MB→＝－1得，(－3－x，－y)·(3－x，－y)＝－1，∴x2＋y2＝8为所求．第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1命题方向代入法求曲线的方程[例2]已知△ABC的两个顶点坐标为A(－2,0)，B(0，－2)，第三个点C在曲线y＝3x2－1上移动，求△ABC重心的轨迹方程．(注：设△ABC顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC重心坐标为G(x1＋x2＋x33，y1＋y2＋y33)．)建模应用引路第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1[解析]设C(x1，y1)，重心G(x，y)，由重心坐标公式得3x＝－2＋0＋x1,3y＝0－2＋y1，即x1＝3x＋2，y1＝3y＋2，∵C(x1，y1)在曲线y＝3x2－1上，∴3y＋2＝3(3x＋2)2－1.化简得y＝9x2＋12x＋3.故△ABC的重心的轨迹方程为y＝9x2＋12x＋3.(不包括和直线AB的交点)第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1已知⊙O：x2＋y2＝4，P为⊙O上任一点，M在OP上，使得OM→＝3MP→，则点M的轨迹方程为________．[答案]x2＋y2＝94第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1[解析]设M(x，y)，P(x0，y0)，由OM→＝3MP→得：(x，y)＝(3(x0－x)，3(y0－y))，∴x0＝4x3，y0＝4y3.∵点P在⊙O上，∴4x32＋4y32＝4.故所求轨迹方程为x2＋y2＝94.第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1命题方向定义法求曲线方程[例3]设圆C：(x－1)2＋y2＝1，过原点O作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．探索延拓创新第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1[解析]设所作弦的中点为P(x，y)，连结CP，则CP⊥OP，|OC|＝1，OC的中点M(12，0)，∴动点P的轨迹是以点M为圆心，以OC为直径的圆，∴轨迹方程为(x－12)2＋y2＝14.∵点P不能与点O重合，∴0x≤1，故所作弦的中点的轨迹方程为(x－12)2＋y2＝14(0x≤1)．第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1[点评]在求轨迹方程时，要注意挖掘题目中的隐含条件，若轨迹满足已知曲线的定义，选取定义法求轨迹方程较简便．第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1已知A、B、D三点不在一条直线上，且A(－2,0)，B(2,0)，|AD→|＝2，AC→＝AB→＋AD→，AE→＝12AC→，则点E的轨迹方程是__________．[答案]x2＋y2＝1(y≠0)第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1[解析]如图第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1设点E的坐标为(x，y)，∵AE→＝12AC→＝12(AB→＋AD→)，∴由向量加法的平行四边形法则可知，点E为BD的中点，连结OE，又O为AB的中点，∴OE＝12AD＝1.即动点E到定点O的距离为定值1，由圆的定义知，点E的轨迹方程为x2＋y2＝1(y≠0)．第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1[例4]已知曲线C：y＝x2－2x＋2和直线l：y＝kx(k≠0)，若C与l有两个交点A和B，求线段AB中点的轨迹方程．[错解]依题意，由y＝x2－2x＋2，y＝kx，分别消去x、y得，(k2－1)x2＋2x－2＝0，①(k2－1)y2＋2ky－2k2＝0.②名师辨误作答第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1设AB的中点为P(x，y)，则在①②中分别有x＝x1＋x22＝11－k2，③y＝y1＋y22＝k1－k2，④故线段AB中点的轨迹方程为x2－y2－x＝0.[辨析]消元过程中，由于两边平方，扩大了变量y的允许值范围，故应对x，y加以限制．第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1[正解]依题意，由y＝x2－2x＋2，y＝kx，分别消去x、y得，(k2－1)x2＋2x－2＝0，①(k2－1)y2＋2ky－2k2＝0.②设AB的中点为P(x，y)，则在①②中分别有x＝x1＋x22＝11－k2，③y＝y1＋y22＝k1－k2，④第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1又对②应满足：k2－1≠0，Δ＝4k2－4×－2k2×k2－10，y1＋y2＝2k1－k20，y1·y2＝2k21－k20，解得22k1.结合③④，则有x2，y2.所以所求轨迹方程是x2－y2－x＝0(x2，y2)．第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1方法规律总结第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1求曲线的方程时，依据题目特点选择方法，若采用直译法，要按照一般步骤进行，最后一步可以省略，但必须要考虑所求的方程是否符合题意，即检查有无多余的点和漏掉的点．第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1课堂巩固训练第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1一、选择题1．方程x2－y2＝0表示的图形是()A．两条相交直线B．两条平行直线C．两条重合直线D．一个点[答案]A第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1[解析]方程x2－y2＝0可化为y＝±x，故它表示两条相交直线．第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-12．平面内有两定点A，B且|AB|＝4，动点P满足|PA→＋PB→|＝4，则点P的轨迹是()A．线段B．半圆C．圆D．直线[答案]C第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2