2.1合情推理与演绎推理

12.1.1合情推理2.1合情推理与演绎推理2在日常生活中，人们常常需要进行这样那样的推理。例如:1、什么是推理推理是人们思维活动的过程，是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程。医生诊断病人的病症，警察侦破案件，气象专家预测天气的可能状态，考古学家推断遗址的年代，数学家论证命题的真伪等等。在数学中，证明的过程更离不开推理。32、数学猜想数学中有各种各样的猜想，如：歌德巴赫猜想、费马猜想、地图的“四色猜想”、歌尼斯堡七桥猜想等等。4歌德巴赫猜想提出猜想的过程：据说歌德巴赫无意中观察到：3+7=10，3+17=20，13+17=30，他有意把上面的式子改写成：10=3+7，20=3+17，30=13+17。其中反映了一个规律：偶数=奇质数+奇质数于是，歌德巴赫产生了一个想法：10，20，30都是偶数，那么其他偶数是否也有类似的规律呢？5显然，第一个等于两个奇质数之和的偶数是6，即再看看超过6的偶数：6=3+38=3+5，10=5+5，12=5+7，14=7+7，16=5+11，……1000=29+971，1002=139+863，……根据上述过程，歌德巴赫大胆地猜想：任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和。6现在，我们来考察一下歌德巴赫提出猜想的过程：通过对一些偶数的验证，他发现它们总可以表示成两个奇质数之和，而且没有出现反例。于是，提出猜想——“任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和”。这种由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事物概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）。简而言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理。7应用归纳推理可以发现新事实，获得新结论，下面是一个数学中的例子。例1观察图2.1-1，可以发现：12345671+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，1+3+5+7+9=25=52，……由上述具体事实能提出怎样的结论？可以猜想：前n个连续奇数的和等于n的平方，即*()nN213(21).nn8例2已知数列{an}的第1项a1=1，且可以根据已知的递推公式，算出数列的前几项，然后归纳猜想它的通项公式。11nnnaaa1.nan(1,2,)n，试归纳出这个数列的通项公式。在例1和例2中，我们通过归纳得到了两个猜想。虽然它们是否正确还有待严格的证明，但猜想可以为我们的研究提供一种方向。9归纳推理所得的结论仅是一种猜想，未必可靠，还需证明例如，法国数学家费马观察到12342222215,2117,21257,2165537都是质数，于是他用归纳推理提出猜想：任何形如的数都是质数。2*21()nnN——这就是著名的费马猜想。半个世纪之后，善于计算的欧拉发现，第5个费马数5252142949672976416700417F不是质数，从而推翻了费马的猜想。10除了归纳，在人们的创造发明活动中，还常常应用类比。例如：据说我国古代工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的齿牙，发明了锯；人们仿照鱼类的外形和它们在水中的沉浮原理，发明了潜水艇；等等。事实上，仿生学中许多发明的最初构想都是类比生物机制得到的。为了回答“火星上是否有生命”这个问题，科学家把火星与地球作类比，发现火星具有一些与地球类似的特征，如火星也是围绕太阳运行、绕轴自转的行星，也有大气层，在一年中也有季节的变更，而且火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存，等等。由此，科学家猜想：火星上可能有生命存在。11思考：P72科学家做出上述猜想的推理过程是怎样的？答：在提出上述猜想的过程中，科学家对比了火星与地球之间的某些相似特征，然后从地球的一个已知特征（有生命存在）出发，猜测火星也可能具有这个特征。12数学研究中也常常进行这样的推理。例如，在研究球体时，我们会自然地联想到圆。由于求与圆在形状上都有类似的地方，即都具有完美的对称性，都是到定点的距离等于定长的点的集合，因此我们推测对于圆的特征，球也可能具有。圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于圆的半径，类比：对于球，我们推测可能存在这样的平面，与球只交于一点，该点都球心的距离等于球的半径。平面内不共线的3个点确定一个圆，类比：猜想空间中不共面的4个点确定一个球；等等。13探究P72：类比圆的特征，填写表2-1中球的相关特征，并说说推理的过程。圆的概念和性质球的概念和性质圆的周长圆的面积圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦.与圆心距离相等的两弦相等，与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长.以点（x0,y0）为圆心，r为半径的圆的方程为（x-x0）2+（y-y0）2=r2.14类比推理定义：这种由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象的某些一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）。简而言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。15探究P74：你认为平面几何中的哪一类图形可以作为四面体的类比对象？从构成几何体的元素数目看，四面体由4个平面围成，它是空间中由数目最少的基本元素（平面）围成的封闭几何体；从构成几何体的元素数目看，三角形由3条直线围成，它是平面内由数目最少的基本元素（直线）围成的封闭图形。从这个角度看，我们可以把三角形作为四面体的类比对象。16例3类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想。BCAacbPFEDS1S2S3解：考虑到直角三角形的两条边互相垂直，我们可以选取有3个面两两互相垂直的四面体，作为直角三角形的类比对象。如图，Rt△ABC中有勾股定理：a2+b2=c2。类似地,在四面体P-DEF中，∠PDF=∠PDE=∠EDF=900。设S1，S2，S3和S分别表示△PDF，△PDE，△EDF和△PEF的面积。直角三角形有2条直角边a，b和1条斜边c，类似于四面体P-DEF有3个“直角面”S1，S2，S3和1个“斜面”S。于是，类比勾股定理的结构，我们猜想S2=S12+S22+S32。17例2类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质。解：（1）两个实数经过加法运算或乘法运算后，所得的结果仍然是一个实数。（2）从运算律的角度考虑，加法和乘法都满足交换律和结合律，即a+b=b+aab=ba(a+b)+c=a+(b+c)(ab)c=a(bc)（3）从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，加法的逆运算是减法，乘法的逆运算是除法，这就使得方程都有唯一解a+0=a1aa（4）在加法中，任意实数与0相加都不改变大小；乘法中的1与加法中的0类似，即任意实数与1的积都等于原来的数，即1|xaxa0|1(0)xaaxa18同样地，类比推理所得的结论也不一定可靠。例如，“平面内，同时垂直于一条直线的两条直线互相平行”得到猜想：“空间中，同时垂直于一个平面的两个平面互相平行”显然，这个猜想是错误的。19我们把上面所进行的推理过程概括为：从具体问题出发观察、分析、比较、联想归纳、类比提出猜想可见，归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理。通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理。数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；合情推理的定义：证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向。合情推理在数学中的作用：20例5如图所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片。按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上。1、每次只能移动一个金属片；2、较大的金属片不能放在较小的金属片上面。123分析：我们从移动1，2，3，4个金属片的情形入手，探究其中的规律性，进而归纳出移动n个金属片所需的次数。试推测：把n个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动多少次？21解：当n=1时，只需把金属片从1号针移到3号针，用符号（13）表示，共移动了1次。当n=2时，为了避免将较大的金属片放在了较小的金属片上面，我们利用2号针作为“中间针”，移动的顺序是：（12）（13）（23）共移动3次。当n=3时，把上面两个金属片作为一个整体，则归结为n=2的情形，移动的顺序是：符号表示为(13)(12)(32)(13)(21)(23)(13)共移动7次。（1）把上面两个金属片从1号针移到2号针；（2）把第3个金属片从1号针移到3号针；（3）把上面两个金属片从2号针移到3号针。当n=4时，把上面3个金属片作为一个整体，则归结为n=2的情形，同理共15次。22至此，我们得到依次移动1，2，3，4个金属片所需次数依次构成的数列1，3，7，15。观察这个数列，可以发现其中蕴含着如下规律：1=21-1，3=22-1，7=23-1，15=24-1。由此我们猜想：若把n个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动an次，则数列{an}的通项公式为*21()nnanN23探究P77：把n个金属片从1号针移到3号针，怎样移动才能达到最少的移动次数呢？通过探究例5，我们可以归纳出对n个金属片都适用的移动方法。当移动n个金属片时，可分为下列3个步骤：如此继续，直到转化为移动1个金属片的情形。（1）把上面（n-1）个金属片从1号针移到2号针；（2）把第n个金属片从1号针移到3号针；（3）把上面（n-1）个金属片从2号针移到3号针。这样就把移动n个金属片的任务，转化为移动两次（n-1）个金属片和移动一次第n个金属片的任务。而移动（n-1）个金属片需要移动两次（n-2）个金属片和移动一次第（n-1）个金属片的任务。而移动（n-2）个金属片需要移动两次（n-3）个金属片和移动一次第（n-2）个金属片的任务。…………….24探究P77：把n个金属片从1号针移到3号针，怎样移动才能达到最少的移动次数呢？根据这个过程，可得递推公式：111,21(1).nnaaan从这个递推公式出发，可以证明上述通项公式是正确的。252.1.2演绎推理26我们常以某些一般的判断为前提，得出一些个别的、具体的判断。例如：（1）所有的金属都能够导电，铀是金属，所以铀能够导电；（2）太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王星是太阳系的大行星，因此冥王星一椭圆形轨道绕太阳运行；（3）在一个标准大气压下，水的沸点是1000C，所以在一个标准大气压下把水加热到1000C时，水会沸腾；（4）一切奇数都不能被2整除，（2100+1）是奇数，所以（2100+1）不能被2整除；演绎推理的定义：27上面列举的推理都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理。简而言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。演绎推理的定义：（6）两条直线平行，同旁内角互补。如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，那么∠A+∠B=1800。（5）三角函数都是周期函数，tanα是三角函数，因此tanα是周期函数；28上面列举的演绎推理的例子都有三段，称为“三段论”。其中第一段称为“大前提”，讲的是一般的原理；第二段称为“小前提”，指的是一种特殊情况；第三段称为“结论”，是所得到的结论。“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：（1）大前提——已知的一般的原理；（2）小前提——所研究的种特殊情况；（3）结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断。思考P79：你能再举出一些用“三段论”推理的例子吗？29数学上的证明主要通过演绎推理来进行的，我们来看一个例子。（1）因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形，在△ABD中，AD⊥BC，即∠ADB=900，所以△ABD是直角三角形。同理△ABE是直角三角形。（2）因为直角的三角形斜边上的中线等于斜边的一半，而M是Rt△ABD斜边AB的中点，DM是斜边上的中线，………………………………………………大前提………小前提……………结论………………………………………………大前提…………………………………………………小前提…………………结论所以DM=AB。12同理EM=AB。所以，DM=EM。12例5如图所示