最优化控制 线性二次型最优控制问题

1第五讲线性二次型最优控制问题2主要内容5.1线性二次型性能指标5.2状态调节器问题有限时间状态调节器问题无限时间状态调节器问题5.3输出调节器问题5.4跟踪问题35.1线性二次型性能指标性能指标具有鲜明的物理意义。最优解可以写成统一的解析表达式。所得到的最优控制规律是状态变量的反馈形式，便于计算和工程实现。可以兼顾系统性能指标的多方面因素：快速性、能量消耗、终端准确性、灵敏度和稳定性等。许多控制问题都可作为线性二次型最优控制问题来处理。线性二次型最优控制问题：线性系统具有二次型性能指标的最优控制问题，具有以下特性：线性二次型最优控制问题在实践上得到了广泛而成功的应用！4问题5.1.1给定线性时变系统的状态方程和输出方程()()()()()()()()XtAtXtBtUtYtCtXtYr(t)表示预期输出变量，则有e(t)=Yr(t)－Y(t)称为误差向量。其中，X(t)是n维状态变量，U(t)是m维控制变量，Y(t)是r维输出变量，A(t)是nn时变矩阵，B(t)是nm时变矩阵。假设1rmn，U(t)不受约束。（5.1.1）5选择最优控制U*(t)使下列二次型性能指标011()()[()()()()()()]22ftTTTfftJetSetetQtetUtRtUtdt为最小——线性二次型最优控制问题。其中,S:rr半正定对称常数矩阵，Q(t):rr半正定对称时变矩阵，R(t):mm正定对称时变矩阵.终端时间tf是固定的，终端状态X(tf)自由。（5.1.2）6()()Ytet011()()[()()()()()()]22ftTTTfftJYtSYtYtQtYtUtRtUtdt线性二次型最优控制问题的几种特殊情况若Yr=0，则于是性能指标变为这时问题归结为：用不大的控制能量，使系统输出Y(t)保持在零值附近——输出调节器问题。7若C(t)=I（单位矩阵），Yr(t)=0，则于是性能指标变为()()()YtXtet011()()[()()()()()()]22ftTTTfftJXtSXtXtQtXtUtRtUtdt线性二次型最优控制问题的几种特殊情况问题归结为：用不大的控制能量，使系统状态X(t)保持在零值附近——状态调节器问题。8若Yr(t)0，则于是性能指标可写为()()()retYtYt01[()()][()()]21[()()]()[()()]()()()2fTrffrfftTTrrtJYtYtSYtYtYtYtQtYtYtUtRtUtdt这时问题转化为：用不大的控制量，使系统输出Y(t)紧紧跟随Yr(t)的变化——跟踪问题。线性二次型最优控制问题的几种特殊情况9性能指标的物理意义性能指标中的第一部分称作终端代价，用它来限制终端误差e(tf)，以保证终端状态X(tf)具有适当的准确性。性能指标中的第二部分称作过程代价，用它来限制控制过程的误差e(t)，以保证系统响应具有适当的快速性。1()()2TffetSet01()()()2ftTtetQtet011()()[()()()()()()]22ftTTTfftJetSetetQtetUtRtUtdt10性能指标中的第三部分称作控制代价，用它来限制控制U(t)的幅值及平滑性，以保证系统安全运行。同时，它对限制控制过程的能源消耗也能起到重要的作用，从而保证系统具有适当的节能性。01()()()2ftTtUtRtUt整个性能指标物理意义：使系统在控制过程中的动态误差与能量消耗，以及控制结束时的系统稳态误差——综合最优.11（1）二次型性能指标是一种综合型性能指标，它可以兼顾终端状态的准确性、系统响应的快速性、系统运行的安全性及节能性各方面因素。说明：（2）线性二次型最优控制问题的实质是：用不大的控制能量，来保持较小的输出误差，以达到控制能量和误差综合最优的目的。（3）控制时间的起点t0及终点tf，可能是由实际问题决定的客观参数，也可能是由设计者决定的主观参数——设计者必须把希望达到的目标和t0、tf的选择联系起来。12（4）不同目标之间，往往存在着一定矛盾。为能尽快消除误差并提高终端准确性，就需较强的控制作用及较大的能量消耗；而抑制控制作用的幅值和降低能耗，必然会影响系统的快速性和终端准确性——合理折衷。（5）无论容许控制如何选择，性能指标中各项的数值始终具有相同的符号。以极小值作为最优标准，结合问题的物理性质，各项符号均取正值。13性能指标中加权矩阵S，Q(t)和R(t)（1）加权矩阵中的各个元素之间的数值比例关系，将直接影响系统的工作品质。提高S阵中某一元素的比重，说明更加重视与该元素对应的状态分量的终端准确性；提高Q(t)阵中某一元素的比重，说明希望与之对应的状态分量具有较好的快速响应特性（较小的暂态误差）；提高R(t)阵中某一元素的比重，意味着需要更有效地抑制与之相应的控制分量的幅值及由它引起的能量消耗。安排各加权阵的各个元素之间的关系，十分重要且十分困难！011()()[()()()()()()]22ftTTTfftJXtSXtXtQtXtUtRtUtdt14（2）S取半正定，Q(t)取半正定，R(t)必须取正定。将S阵取为半正定，以便保证终端代价的非负性，但容许不考虑与之相应的终端误差。Q(t)取半正定，以便保证暂态误差总和的非负性，但容许不考虑与之相应的暂态误差。R(t)必须取正定，因为控制代价实际上反映控制过程的能量消耗。只要U(t)不为零，控制过程中能量消耗当然不应等于零。15（3）由于终端代价只表示终端时刻tf时的性能，因此，S应为常数阵。至于Q(t)及R(t)，可能取为常数阵，也可能取为时变阵——为了适应控制过程的特殊需要。在控制过程的初期出现的较大误差，并非系统品质不佳所致，而是由系统的初始条件引起的，因此，不必过分重视这种误差，以免引起控制作用U(t)不必要的过大冲击；控制过程的后期的误差直接与控制效果相关，必须给予足够的重视。只有把Q(t)和R(t)取为时变阵，才能适应控制过程的这类时变需求。为了防止模型的失调，也需要Q(t)及R(t)具有时变性质。16对容许控制U(t)和终态X(tf)的说明（1）在线性二次型问题的定义中，并没有直接提出对控制作用U(t)的不等式约束，但这并不等于在物理上不需要对U(t)进行必要的限制。实际上，用适当选择Q(t)和R(t)数值比例的方法，同样可以把U(t)的幅值限制在适当的范围之内。这样，就可以在保持闭环系统线性性质的前提下，实现对U(t)的限制。（2）在定义问题时，也没有直接提出对终态X(tf)的要求。实际上，对终态的要求，是利用性能指标的终端代价来反映的，性能指标中的终端代价用于限制终端误差，它表明期望终态X(tf)尽量靠近误差信号e(t)=0所对应的状态。011()()[()()()()()()]22ftTTTfftJetSetetQtetUtRtUtdt175.2状态调节器问题问题5.2.1给定线性时变系统的状态方程和初始条件其中X(t)是n维状态变量，U(t)是m维控制变量，A(t)是nn时变矩阵，B(t)是nm时变矩阵。性能指标是其中，Q(t)是nn非负定对称的时变矩阵，R(t)是mm正定对称的时变矩阵，tf是给定的有限终端时刻，X(tf)是自由的终端状态，控制函数U(t)不受约束。00()()()()()()XtAtXtBtUtXtX（5.2.1）一、有限时间状态调节器问题（5.2.2）011()()[()()()()()()]22ftTTTfftJXtSXtXtQtXtUtRtUtdt18要求确定最优控制函数U*(t)，使性能指标达到最小值。该最优控制问题是以较小的控制能量为代价，使状态变量X(t)保持在零值附近——状态调节器问题；考虑到终端时间tf是有限的，故称为有限时间状态调节器问题；相应的最优控制U*(t)称为最优调节作用或最优调节器。011()()[()()()()()()]22ftTTTfftJXtSXtXtQtXtUtRtUtdt19解：构造Hamilton函数因为控制函数U(t)本身不受约束，所以有11()()()()()()()()()()()()22TTTTHXtQtXtUtRtUttAtXttBtUt*10()()()()()0()()()()TTHUtRtUtBttUtRtBtt2*2()0()()HRtUtHUt（正定，说明使为极小值）（5.2.3）应用最小值原理来求解：最优调节作用是协态变量(t)的线性函数。由于协态变量在实际系统中不存在，也无法检测到，式（5.2.3）的最优调节作用在工程上难以实现。20其中，P(t)是nn待定的时变矩阵。对上式两边求导数，得()()()tPtXt()()()()()tPtXtPtXt11()()()()[()()()()()]()TTXtAXtBRBtXtAtBtRtBtPtXt()()()()()()[()()()]()TTtQtXtAtttQtAtPtXt1[()()()()()()()()()()()]()0TTPtPtBtRtBtPtPtAtAtPtQtXt为了便于在工程上实现，需将调节作用U(t)表示成系统状态变量X(t)的函数。令：规范方程为：*1()()TUtRBt……(1)……(2)由(1)和(2)，得21由于X(t)是任意的，所以有由于终端状态X(tf)是自由的，故相应的协态变量的终端值为所以，1()()()()()()()()()()()0TTPtPtBtRtBtPtPtAtAtPtQt1()()()()()()()()()()()TTPtPtAtAtPtPtBtRtBtPtQt矩阵黎卡提(Riccati)微分方程矩阵黎卡提(Riccati)微分方程的边界条件（5.2.4）()()fftSXt()()()ffftPtXt()fPtS又考虑)(]),([)(fffftXttXt22P(t)的3个重要性质:由微分方程理论的存在与唯一性定理，可以证明P(t)存在而且唯一。对于任意的t[t0，tf]，P(t)均为对称阵，即P(t)＝PT(t)。若Q(t)是半正定矩阵，则P(t)（t0ttf）是半正定矩阵；若Q(t)是正定矩阵，则P(t)（t0ttf）是正定矩阵。证明附后231()()()()()TTTTTTTPtPtAAPtPtBRBPtQ()0TfPt对于任意的t[t0，tf]，P(t)均为对称阵，即P(t)＝PT(t)证明：将矩阵Riccati微分方程(5.2.4)两边转置，得：且边界条件为：也就是说，待定的时变矩阵P(t)及其转置PT(t)满足相同的微分方程和相同的边界条件。根据微分方程解的唯一性定理，得P(t)＝PT(t)。由P(t)的对称性可知，式（5.2.4）中虽包含有n２个标量方程，但是，其中只有n(n+1)/2个方程是独立的。24若Q是半正定矩阵，则P(t)（t0ttf）是半正定矩阵；若Q是正定矩阵，则P(t)（t0ttf）是正定矩阵。证明：对于任意非零的初态X(t)(t0ttf)，性能指标的最小值为：由于R是正定的，若Q是半正定的，则式（5.2.5）右端大于等于零，于是故P(t)是半正定的。*1[(),]()()()()2TJXttXtPtXt留待后面证明()1min[()()()()]2ftTTtUtXQXURUd1()()()02TXtPtXt（5.2.5）若Q是正定矩阵，则式（5.2.5）右端大于零，于是所以P(t)是正定的。1()()()02TXtPtXt25命题5.2.1问题5.2.1的最优调节作用必为如下形式的状态反馈*1()()()()()TUtRtBtPtXt1