最优化设计

现代设计方法——最优化设计现代设计方法概述•概念：现代设计方法以计算机为手段，运用工程设计的新理论和新方法，使产品设计结果达到最优，使设计过程高效化和自动化。•主要特征：（1）产品分析的定量化-------有限元法•（2）产品分析的动态化------动态设计•（3）产品质量分析的可靠性------可靠性分析•（4）产品设计的最优化------最优化设计•（5）产品设计过程的高效化和自动化------CAD•主要作用：使设计产品的性能技术含量高、质量优良、具有市场竞争力。•具体方法：最优化设计，可靠性设计，有限元法，动态设计等一维搜索方法黄金分割法无约束最优化方法坐标轮换法鲍威尔共轭方向法梯度法直接法{间接法{二次插值法约束最优化方法牛顿法1.随机方向搜索法2.复合形法2.外点惩罚函数法1.内点惩罚函数法3.混合惩罚函数法直接法{间接法{一维搜索方法§确定最优迭代步长的方法称为一维搜索方法，通常都是先用进退法（试探法）来确定最优迭代步长所在的初始区间，然后用缩短区间法（黄金分割法、二次插值法）来求最优迭代步长。§几何意义:从出发，沿方向一维搜索,就是求方向与等值线的切点此时的步长因子即为最优步长因子。)(kx)(kx)(ks)(ks进退法§寻找一个包含一个有函数极小点的区间,也是一维优化方法要解决的问题。§单峰区间的确定——进退法（试探法）：任选一个初始点及初始步长h然后进行前进或后退的试探性搜索，找到三个点其中两端点的函数值大于中间点的函数值。即确定搜索区间*x0x321xxx)()()(321xfxfxf31,xx黄金分割法（0.618法）•通过不断缩短搜索区间的长度来寻求一维函数的极小点原理。•它是一种等比例缩短区间的直接搜索方法23基本原理程序结构简单容易理解可靠性好。但计算效率偏低，使用于低维优化的一维搜索。特点)(xf若不能满足继续寻优（计算对称点）直到满足迭代精度为止。判断新区间长度（b-a）是否达到预先给定的精度即为近似极小点1在初始区间[a,b]内对称取点迭代过程迭代过程迭代过程迭代过程)(618.022121abaxffxx)(618.0)(382.021abaxabax)()(2211xffxff21ff21ff21ff21ff21ff21ff)(382.011212abaxffxx)(382.011212abaxffxxab)()(21***xffbax黄金分割法要求对称取点，由此可以看出无论删除那一段,保留区间长度相等二次插值法3基本原理特点目标函数为二次函数.用二次插值法求值,在理论上只需进行一次即可达到最优点,对于非二次函数随着区间的缩短故函数的二次性态加强,因而收敛也是较快的.)(xf在寻求目标函数极小点的区间内取三个点的函数值来构造一个二次插值多项式用它的极小点近似地作为原目标函数的极小点。若近似程度不满足精度要求时，可反复使用此法，逐次拟合，直到满足给定的精度时为止。1确定初始搜索区间[ab]和精度迭代过程迭代过程迭代过程迭代过程)(2131231321xxxbxaxxxx)()()(332211xffxffxff在区间内取三点计算其函数值插值计算*px222222*2313121232313121233113121121223*1132*2()()()12()()()()()1()2()ppppbxaxxfxxfxxfxxxfxxfxxfffcxxffcxxcxxcxxxcffx0)()()(321213132fxxfxxfxx2x为近似*px可取中间插值点若若0))((*31*ppxxxx已在区间之外*px最优解输出)(2*2*xffxx)(2*2*xffxx)(2*2*xffxx)(2*2*xffxx)(2*2*xffxx)(2*2*xffxx**22,()xxffx1.若2*xxp2*)(fxfp2*)(fxfp说明搜索区间足够小时输出目标函数最优解*px)(*pxf否则时输出目标函数最优解)(22xfx2.若2*xxp则需比较点*px和2x在搜索区间的相对位置及其对应的目标函数值的大小，以便缩短搜索区间得到新的三点。坐标轮换法3基本原理特点坐标轮换法属于直接法，将一个多维无约束优化问题转化为一系列一维优化问题来求解。依次以n个坐标轴方向作为迭代方向，通过轮换坐标方向和循环迭代计算目录函数值并进行比较，最后达到目标函数值极小化的方法。简单易行，但由于它只能轮流沿几个坐标方向前进，因而效率低下，特别是维数较高n10或目标函数性质不好的情况下收敛速度慢。2x1x)0(x)1(1x)2(0)1(2xx)2(1x)2(2x(*)x本方法的收敛效率很大程度上取决于目标函数等值线的形，下一轮的迭代起点为上一轮的末点TnTTeee100010000121搜索过程的几种储况a)搜索有效b)搜索低效c)搜索无效搜索过程的几种储况a)搜索有效b)搜索低效c)搜索无效有效低效无效给定)0(x1k1i)0()k(1ixx沿方向一维搜索求ie)k(ii)k(i)k(1-i)k(iexx1iini1kk)k(0)k(nxx)k(n)0(xx是否是否)x(ffxx**是最优步长共轭方向法12323基本原理特点首先采用坐标轮换法进行第一轮迭代，然后以第一轮迭代的最末一个极小点和初始点相连构成一个新方向，并以此新方向为最末一个方向而去掉第一个方向得到第二轮迭代的方向.如此进行下去。直到求得问题的最小点。共轭方向法具有有限步收敛的特性通常称具有这种性质的方法为二次收敛法.但对于非二次n维目标函数经过有限步共轭方向一维搜索，不一定就能达到极小点。共轭方向法的基本要求是，各方向组的向量应该是线性无关的.然而很不理想⑴令循环次数1k取初始点kx0初始搜索方向为坐标方向TkTkSS100121⑵从kx0出发依次沿kS1和kS2进行一维搜索得到第一次循环的极小点kkxx21⑶构造新方向kkkxxS023沿kS3进行一维方向搜索得到第k次循环的极小点kx3⑷取下次循环的初始点kkxx310去掉原来的第一方向kS1构造新的搜索方向kKkKSSSS312211令1kk转(2)继续迭代直到满足收敛条件，迭代计算结束kkxx02即某轮中初始点与末端点之间的距离达到预期的精度要求。鲍威尔共轭方向法12323基本原理特点新的一轮搜索中，迭代方向组成为线性相关，从而导致计算不能收敛到真正的极小点而失败。①在每一轮迭代完成并产生共轭方向后，先对共轭方向的好坏进行判别，检验它是否与其它方向线性相关。若共轭方向不好则不用它作为下轮的迭代方向，而后采用原来的一组迭代方向。②若共轭方向好，则可用它替换前一轮迭代中使函数值下降最快的一个方向，而不一定替换第一个迭代方向除具有坐标轮换法的优点外它还具有二次收敛性，收敛速度快等优点。一般认为它是直接法中最为有效的方法。编程复杂，这种方法适于维数较高的优化问题。powell算法的迭代步骤⑴给定初始点)0(x和允许误差1或2⑵取n个坐标轴的单位向量niei2,1为搜索方向ikieS)(置k=1(k为迭代轮组))0()(0xxk⑶从)(0kx出发,分别沿niSki2,1)(作为一轮n次一维搜索,依次得n个极小点)(min)()()(1)()()(1kikkikikkiSxfSxf得到)()()(1)(kikkikiSxx⑷计算各相邻极小点目标函数值的差值，并找出其中的最大值及其相应的方向)(1)()()()(1)()()(maxknkmkmkikikmxxSxfxf⑸计算映射点)(0)(1)(0)()(12kknknkknknxxSxxx计算结果)()()()(13)(2)(01knknkxfFxfFxfF判断是否满足powell条件a)若满足，则由)(knx出发沿方向knS1进行一维搜索,求出共轭方向的极小点)(kx并以)(kx为k+1轮迭代的初始点，即令kkxx)1(0然后去掉方向kmS而将方向knS1作为k+1轮迭代的最末一个方向即第k+1轮的搜索方向为)(1)1()()1(1)(1)1()(1)1(1)(2)1(2)(1)1(1,knknknknkmkmkmkmkkkkSSSSSSSSSSSS)(1knS)(2kS)(kmS)(knS)(1kS)(0kx)(1kx)(2kx)(1kmx)(kmx)(knx)(1knx)(1knx构造的共轭方向b)若不满足判别式（powell条件）则进入第k+1轮迭代仍用)()1(kikiSS第k轮迭代的方向,迭代初始点选取:32FF时取)()1(0knkxx32FF时取)(1)1(0knkxx（6）检验是否满足迭代终止条件，若满足1)(0)1(0kkxx或2)1(0)(0)1(0)()()(kkkxfxxf则可以终止迭代得)1(0kx为最优点输出结果为)()()1(0*)1(0*kkxfxfxx否则K=K+1返回步骤(3)进行下一轮迭代程序框图如下：上一轮的末点映射点开始输入nX,,0,,)0(0)0(0KeSXX1i)()()(min:)()(1)()(1)()()()(1)(KiKiiKiiKiKiKiKiKiKiXfXfSaXfaSaXXni1iiimKnKnKKKnKnKKnKnXfFXfFXfFXXXXXSmax)(),(),(2,)(13)(2)(00)(0)()(1)(0)()(1满足powell条件),,1,()(1)1()(1)(1)()1(0nmmiSSSaXXKiKiKnKnKnK32FF)()1(0KnKXX)(1)1(0KnKXX)(0)(KKnXX1KK)(,**)1(0*XffXXK结束否是否是是否否是梯度法基本原理特点在迭代过程的某一点处，目标函数的负梯度方向是函数的最快下降方向,梯度法就是利用这一性质，以负梯度方向为搜索方向，因此梯度法又称最速下降法。1)梯度法在迭代中呈直角锯齿形路线曲折走向目标函数极小点2)远离极小点时，函数下降快而接近极小点时，函数下降缓慢,因此最后收敛的速度极其缓慢。对于较复杂的优化问题,梯度法不具有实用价值。3)梯度法在迭代开始时函数值下降的较快，因而常用于其他方法中作为初始迭代法。相邻两点迭代方向互相垂直，仅具有线性收敛速度，一般不单独使用4)对于目标函数等值线为同心圆簇，迭代一个初始点单用负梯度方向一次搜索即可达到全域极小点。开始,)0(x输入0K)(),()()(kkxfxf计算)()(kxf输入)()(*)(*KKXffXX输入)()()(KKXFS)()(min:)()()()()()(KKKKKKSaXfSaXfa)()()()1(KKKKSaXX1KK结束是否)()()()()1()()()()1(kkkkkkkkxfxxSxx)()()()(kkkxfxfS牛顿法2基本原理特点1)函数必须具有连续的一、二阶导数。无须求最优步长（为1）2)函数的海色矩阵必须是正定且为非奇异的，否则无法求海色矩阵的逆阵。3)函数维数较高时，计算工作量大。