《导数及其应用》单元测试题(详细答案)

《导数及其应用》单元测试题（文科）（满分：150分时间：120分钟）一、选择题（本大题共10小题，共50分，只有一个答案正确）1．函数22)(xxf的导数是（）(A)xxf4)((B)xxf24)((C)xxf28)((D)xxf16)(2．函数xexxf)(的一个单调递增区间是（）(A)0,1(B)8,2(C)2,1(D)2,03．已知对任意实数x，有()()()()fxfxgxgx，，且0x时，()0()0fxgx，，则0x时（）A．()0()0fxgx，B．()0()0fxgx，C．()0()0fxgx，D．()0()0fxgx，4．若函数bbxxxf33)(3在1,0内有极小值，则（）（A）10b（B）1b（C）0b（D）21b5．若曲线4yx的一条切线l与直线480xy垂直，则l的方程为（）A．430xyB．450xyC．430xyD．430xy6．曲线xye在点2(2)e，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）Ａ．294eＢ．22eＣ．2eＤ．22e7．设()fx是函数()fx的导函数，将()yfx和()yfx的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）8．已知二次函数2()fxaxbxc的导数为'()fx，'(0)0f，对于任意实数x都有()0fx，则(1)'(0)ff的最小值为（）A．3B．52C．2D．329．设2:()eln21xpfxxxmx在(0)，内单调递增，:5qm≥，则p是q的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件10．函数)(xf的图像如图所示，下列数值排序正确的是（）（A）)2()3()3()2(0//ffffy（B）)2()2()3()3(0//ffff（C）)2()3()2()3(0//ffff（D）)3()2()2()3(0//ffffO1234x二．填空题（本大题共4小题，共20分）11．函数()ln(0)fxxxx的单调递增区间是＿＿＿＿．12．已知函数3()128fxxx在区间[3,3]上的最大值与最小值分别为,Mm，则Mm＿＿．13．点P在曲线323xxy上移动，设在点P处的切线的倾斜角为为，则的取值范围是14．已知函数53123axxxy(1)若函数在,总是单调函数，则a的取值范围是.(2)若函数在),1[上总是单调函数，则a的取值范围.（3）若函数在区间（-3，1）上单调递减，则实数a的取值范围是.三．解答题（本大题共4小题，共12+12+14+14+14+14=80分）15．用长为18cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？16．设函数32()2338fxxaxbxc在1x及2x时取得极值．（1）求a、b的值；（2）若对于任意的[03]x，，都有2()fxc成立，求c的取值范围．17．设函数3()32fxxx分别在12xx、处取得极小值、极大值.xoy平面上点AB、的坐标分别为11()xfx（,）、22()xfx（,），该平面上动点P满足•4PAPB,点Q是点P关于直线2(4)yx的对称点，.求(Ⅰ)求点AB、的坐标；(Ⅱ)求动点Q的轨迹方程.18.已知函数32()233.fxxx（1）求曲线()yfx在点2x处的切线方程；（2）若关于x的方程0fxm有三个不同的实根，求实数m的取值范围.19．已知Raxxaaxxf14)1(3)(23（1）当1a时，求函数的单调区间。（2）当Ra时，讨论函数的单调增区间。（3）是否存在负实数a，使0,1x，函数有最小值－3？20．已知函数2afxxx，lngxxx，其中0a．（1）若1x是函数hxfxgx的极值点，求实数a的值；（2）若对任意的12,1xxe，（e为自然对数的底数）都有1fx≥2gx成立，求实数a的取值范围．【文科测试解答】一、选择题1．,42)(222xxxfxxf242)(xxf28)(;2．.)(xxexexxf21)(xxxeexexf，1,012xeexxx选(A)3.(B)数形结合4.A由bxbxxf22333)(,依题意，首先要求b0,所以bxbxxf3)(由单调性分析，bx有极小值，由1,0bx得.5．解：与直线480xy垂直的直线l为40xym，即4yx在某一点的导数为4，而34yx，所以4yx在(1，1)处导数为4，此点的切线为430xy，故选A6．（D）7．（D）8．（C）9．（B）10．B设x=2,x=3时曲线上的点为AB,点A处的切线为AT点B处的切线为BQ，T)2()3(ffABkff23)2()3(yB,)3(BQkf,)2(ATkfA如图所示，切线BQ的倾斜角小于直线AB的倾斜角小于Q切线AT的倾斜角BQkABkATkO1234x所以选B11．1,e12．3213．,432,014.(1).3)3(;3)2(;1aaa三、解答题15.解：设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为230(m)35.441218＜＜xxxh.故长方体的体积为).230()(m69)35.4(2)(3322＜＜xxxxxxV从而).1(18)35.4(1818)(2xxxxxxV令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜32时，V′（x）＜0，故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。从而最大体积V＝V′（x）＝9×12-6×13（m3），此时长方体的长为2m，高为1.5m.答：当长方体的长为2m时，宽为1m，高为1.5m时，体积最大，最大体积为3m3。16．解：（1）2()663fxxaxb，因为函数()fx在1x及2x取得极值，则有(1)0f，(2)0f．即6630241230abab，．解得3a，4b．（2）由（Ⅰ）可知，32()29128fxxxxc，2()618126(1)(2)fxxxxx．当(01)x，时，()0fx；当(12)x，时，()0fx；当(23)x，时，()0fx．所以，当1x时，()fx取得极大值(1)58fc，又(0)8fc，(3)98fc．则当03x，时，()fx的最大值为(3)98fc．因为对于任意的03x，，有2()fxc恒成立，所以298cc，解得1c或9c，因此c的取值范围为(1)(9)，，．17．解:(1)令033)23()(23xxxxf解得11xx或当1x时,0)(xf,当11x时,0)(xf,当1x时,0)(xf所以,函数在1x处取得极小值,在1x取得极大值,故1,121xx,4)1(,0)1(ff所以,点A、B的坐标为)4,1(),0,1(BA.(2)设),(nmp，),(yxQ，4414,1,122nnmnmnmPBPA21PQk，所以21mxny，又PQ的中点在)4(2xy上，所以4222mxny消去nm,得92822yx.另法：点P的轨迹方程为,9222nm其轨迹为以（0，2）为圆心，半径为3的圆；设点（0，2）关于y=2(x-4)的对称点为(a,b),则点Q的轨迹为以(a,b),为圆心，半径为3的圆，由2102ab，420222ab得a=8,b=-218．解（1）2()66,(2)12,(2)7,fxxxff………………………2分∴曲线()yfx在2x处的切线方程为712(2)yx，即12170xy；……4分（2）记322()233,()666(1)gxxxmgxxxxx令()0,0gxx或1.…………………………………………………………6分则,(),()xgxgx的变化情况如下表x(,0)0(0,1)1(1,)()gx00()gx极大极小当0,()xgx有极大值3;1,()mxgx有极小值2m.………………………10分由()gx的简图知，当且仅当(0)0,(1)0gg即30,3220mmm时，函数()gx有三个不同零点，过点A可作三条不同切线.所以若过点A可作曲线()yfx的三条不同切线，m的范围是(3,2).…………14分19．（1）,2,x或,,2x)(xf递减;,2,2x)(xf递增;（2）1、当,0a,2,x)(xf递增;2、当,0a,2,2ax)(xf递增;3、当,10a,2,x或,,2ax)(xf递增;当,1a,,x)(xf递增;当,1a,2,ax或,,2x)(xf递增;（3）因,0a由②分两类（依据：单调性，极小值点是否在区间[-1,0]上是分类“契机”：1、当,2,12aa,2,20,1ax)(xf递增，3)1()(minfxf，解得,243a2、当,2,12aa由单调性知：3)2()(minafxf，化简得：01332aa，解得,26213a不合要求；综上，43a为所求。20．（1）解法1：∵22lnahxxxx，其定义域为0，，∴2212ahxxx．∵1x是函数hx的极值点，∴10h，即230a．∵0a，∴3a．经检验当3a时，1x是函数hx的极值点，∴3a．解法2：∵22lnahxxxx，其定义域为0，，∴2212ahxxx．令0hx，即22120axx，整理，得2220xxa．∵2180a，∴0hx的两个实根211184ax（舍去），221184ax，当x变化时，hx，hx的变化情况如下表：x20,x2x2,xhx—0＋hx极小值依题意，211814a，即23a，∵0a，∴3a．（2）解：对任意的12,1xxe，都有1fx≥2gx成立等价于对任意的12,1xxe，都有minfx≥maxgx．当x［1，e］时，110gxx．∴函数lngxxx在1e，上是增函数．∴max1gxgee．∵2221xaxaafxxx，且1,xe，0a．①当01a且x［1，e］时，20xaxafxx，∴函数2afxxx在［1，e］上是增函数，∴2min11fxfa.由21a≥1e，得a≥e，又01a，∴a不合题意．②当1≤a≤e时，若1≤x＜a，则20xaxafxx，若a＜x≤e，则20xaxa