二阶矩阵

第二章矩阵第一节矩阵的定义第二节矩阵的运算第三节矩阵的逆第四节矩阵的分块第五节矩阵的初等变换与初等矩阵第六节用初等变换求逆矩阵第七节矩阵的秩§1矩阵的定义定义1给出mn个数,排成m行n列的矩形数表此数表叫做m行n列矩阵,简称mn矩阵。记为返回上一页下一页如果矩阵A的元素aij全为实(复)数,就称A为实(复)数矩阵。只有一行的矩阵A=(a1a2...an)叫做行矩阵,行矩阵也记作A=(a1,a2,...,an)。只有一列的矩阵叫做列矩阵。两个矩阵的行数相等,列数也相等,就称它们是同型矩阵。元素都是零的矩阵称为零矩阵,记作O。下一页上一页返回1.三角矩阵下一页上一页返回如果n阶方阵中元素满足条件即A的主对角线以下的元素全为零，则称A为n阶上三角矩阵.即下一页上一页返回如果n阶方阵中元素满足条件即的主对角以上的元素全为零，则称为n阶下三角矩阵.即下一页上一页返回2.对角矩阵如果n阶方阵中元素满足条件即的主对角线以外的元素全为零，则称为n阶对角矩阵.即下一页上一页返回3.数量矩阵如果n阶对角矩阵中元素满足则称为数量矩阵.即下一页上一页返回4.单位矩阵如果n阶对角矩阵中元素满足则称为n阶单位矩阵，记为.即§2矩阵的运算一、矩阵的加法定义2设有两个mn矩阵A=(aij),B=(bij),那么A与B的和记为A+B,规定为注意:只有当两个矩阵同型时,才能进行加法运算。加法满足运算规律:(1)A+B=B+A;(交换律)(2)(A+B)+C=A+(B+C).(结合律)下一页上一页返回二、数与矩阵相乘定义3数与矩阵A的乘积记做A,规定为数乘矩阵满足运算规律:下一页上一页返回设矩阵A=(aij),记-A=(-1)A=(-1aij)=(-aij),-A称为A的负矩阵,显然有A+(-A)=O.其中O为各元素均为0的同型矩阵,由此规定A-B=A+(-B).下一页上一页返回三、矩阵与矩阵相乘定义4设A=(aij)ms,B=(bij)sn那么规定矩阵A与B的乘积是C=(cij)mn,其中并把此乘积记作C=AB。行矩阵与列矩阵相乘注意：只有当第一矩阵（左矩阵）的列数与第二矩阵（右矩阵）的行数相等时，两个矩阵才能相乘。下一页返回上一页例4求：AB和BA。解：注：表明矩阵乘法不满足交换律。AB＝0推不出A＝0或B＝0AC＝BC且C不为0,推不出A=B(不满足消去律)下一页上一页返回矩阵的乘法满足运算律：对于单位矩阵，有一般称为方阵的k次幂。规定；下一页上一页返回解下一页上一页返回例8已知矩阵求四、矩阵的转置定义5把矩阵A的行换成同序数的列,得到的新矩阵称为A的转置矩阵,记作A'。满足运算律：下一页上一页返回有所以下一页上一页返回设A为n阶方阵,若A'=A,即aij=aji(i,j=1,2,…,n),那么,A称为对称矩阵;若A'=-A,即aij=-aji(i,j=1,2,…,n),那么,A称为反对称矩阵。对称矩阵的特点是:它的元素以主对角线为对称轴对应相等。反对称矩阵的特点是:以主对角线为对称轴的对应元素绝对值相等,符号相反,且主对角线上各元素均为0。下一页上一页返回例9设那么下一页上一页返回五、方阵的行列式定义6由n阶方阵A的元素构成的行列式(各元素位置不变),称为方阵A的行列式,记作|A|或detA。设A,B为n阶方阵,为实数,则有下列等式成立下一页上一页返回下一页上一页返回例11§3矩阵的逆定义7对于n阶方阵A,如果有一个n阶方阵B,满足AB=BA=E,则称方阵A可逆,且把方阵B称为A的逆矩阵,记作B=A-1。如果A是可逆的,则A的逆矩阵唯一。设B,C都是A的逆矩阵,则一定有B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C.下一页上一页返回说明A是可逆的。下一页上一页返回定理1设A是n阶方阵,则A可逆的充分必要条件是证先证必要性。由于A是可逆的，则有下证充分性.设由伴随矩阵下一页上一页返回推论对于n阶方阵，若存在n阶方阵，使则一定可逆，且例12求方阵的逆矩阵。解因为所以A-1存在,先求A的伴随矩阵A*A11=3,A12=-3,A13=1,A21=-6,A22=10,A23=-4,A31=2,A32=-4,A33=2下一页上一页返回下一页上一页返回例13解若均存在，则用左乘上式，右乘上式，有下一页上一页返回由于，故存在，且下一页上一页返回其中下一页上一页返回§4矩阵的分块定义将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵,每个小矩阵称为A的子块,以子块为元素的矩阵称为分块矩阵。列举三种分块形式：下一页上一页返回分块矩阵的运算法则:(1)矩阵A与B为同型矩阵,采用同样的分块法,有下一页上一页返回下一页上一页返回(2)A为ml矩阵,B为ln矩阵,将A,B分成其中Ai1,Ai2…,Ait的列数分别等于B1j,B2j,…,Bij的行数,则有下一页上一页返回例16求AB.解A,B分块成下一页上一页返回下一页上一页返回(3)设则(4)设方阵A的分块矩阵为除主对角线上的子块不为零子块外,其余子块都为零矩阵,且Ai(i=1,2,…,m)为方阵,则A称为分块对角矩阵(或准对角矩阵).i)准对角矩阵的行列式为下一页上一页返回ii)若有与A同阶的准对角矩阵其中Ai与Bi(i=1,2,…,m)亦为同阶矩阵,则有iii)若A可逆,则有下一页上一页返回求A-1.例17设解下一页上一页返回下一页上一页返回矩阵的初等行变换都是可逆的,且其逆变换也是同类的初等行变换。定义10下面的三种变换称为矩阵的初等行变换:(1)交换矩阵两行的位置[交换第i行和第j行的位置记为r(i,j)].(2)矩阵的某行所有元素同乘以一个非零常数[第i行乘以k记为r[i(k)]](3)把矩阵一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去[第i行的k倍加到第j行上去记为r[j+i(k)]]返回上一页下一页§5矩阵的初等变换与初等矩阵定义11如果矩阵A经有限次初等变换化成B，就称矩阵A与B等价。返回上一页下一页矩阵的等价关系具有下列性质：(1)反身性：A与A等价。(2)对称性：如果A与B等价，那么B与A等价。(3)传递性：如果A与B等价，B与C等价，那么A与C等价。返回上一页下一页例19已知，对其做如下初等行变换：我们称矩阵B为一个行阶梯形矩阵，它具有下列特征：（1）元素全为零的行（简称为零行）位于非零行的下方；（2）各非零行的首非零元（即从左至右的第一个不为零的元素）的列标随着行的增大而严格增大（即首非零元的列标一定不小于行标）.返回上一页下一页对矩阵B再作初等行变换：返回上一页下一页我们称矩阵C为行最简形矩阵，它具有下列特征：返回上一页下一页（1）是行阶梯形矩阵（2）各非零行的首非零元都是1；（3）每个首非零元所在列的其余元素都是零.定理2任何一个矩阵A总可以经过有限次初等行变换化为行阶梯形矩阵，并进一步化为行最简形矩阵。定理3任何一个矩阵都有等价标准形，矩阵A与B等价，当且仅当它们有相同的等价标准形.定义12由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。初等矩阵都是方阵，交换E的第i行与第j行（或者交换E的第i列与第j列）的位置，得,第（i）行1101111011OLMOMLO=MMLL第（j）行E(i,j)返回上一页下一页用常数k乘E的第i行（或i列），得把E的第j行的k倍加到第i行（或第i列的k倍加到第j列）得返回上一页下一页这三类矩阵就是全部的初等矩阵，有E(i,j)-1＝E(i,j)E(i(k))-1=E(i(1/k)),E(i+j(k))-1=E(i+j(-k))定理4对一个m×n矩阵A作一初等行变换就相当于在A的左边乘上相应的m×m初等矩阵；对A作一初等列变换就相当于在A的右边乘上相应的n×n初等矩阵。detE(i,j)＝-1detE(i(k))=idetE(i+j(k))=1返回上一页下一页推论1矩阵A与B等价的充分必要条件是有初等方阵P1，P2，…，Ps，Q1，…，Qt使A＝P1P2…PsBQ1…Qt返回上一页下一页定理5设A是n阶方阵，则下面的命题的等价的：（4）A可经过一系列初等行（列）变换化为E.§6用初等变换求逆矩阵（1）A是可逆的；返回上一页下一页（2）是n阶单位矩阵；,AEE（3）存在n阶初等矩阵，使12,,,sPPP12;sAPPP=设A为可逆矩阵，由推论４必存在有限个初等方阵P1,P2…Pm，使得P1P2…PmA＝E（１）所以P1P2…PmE＝A-1（2）（２）表明E经过同样有限次初等行变换变成A（１）表明A经过有限次初等行变换变成E故可用初等行变换求逆阵：返回上一页下一页例20设求A-1。解对(A¦E)作初等行变换返回上一页下一页补充：也可用初等列变换求逆阵：返回上一页下一页返回上一页下一页§7矩阵的秩定义13在一个矩阵A中任意选定k行和k列，位于这些选定的行和列的交叉位置的个元素按原来的次序所组成的k阶行列式，称为A的一个k阶子式.定义14设A为矩阵，如果至少存在A的一个r阶子式不为0，而A的所有阶子式（如果存在的话）都为零，则称数r为矩阵A的秩，记为.并规定零矩阵的秩等于0.返回上一页下一页例22求矩阵的秩.解在A中，存在一个2阶子式又A的3阶子式只有一个，且故下一页上一页返回例24求矩阵的秩.解A是一个行阶梯形矩阵，其非零行只有3行，故知A的所有4阶子式全为零.此外，A存在一个3阶子式所以.下一页上一页返回定理6两个同型矩阵等价的充分必要条件是：它们的秩相等.例26设,已知，求与的值.解