二面角及其度量(上课用)

直线上的一点将直线分割成两部分，每一部分都叫做射线.射线射线平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，每一部分都叫做半平面。思考：平面上的一条直线将平面分割成两部分，每一部分叫什么名称？αl从一条直线出发的两个半平面所组成的空间图形称为什么？在平面几何中“角”是怎样定义的？答：从平面内一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。将一条直线沿直线上一点折起，得到的平面图形是一个角．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。l半平面半平面一、二面角定义lAB二面角－AB－l二面角－l－二面角C－AB－DABCD5OBA∠AOB二、二面角的表示方法：三、二面角的画法请同学们把自己的课本打开一定的角度，并改变放法归纳出两种画法：平卧式和直立式四、二面角的度量请同学们将书本打开、合上，注意观察这一过程中两个面的相对位置发现：各二面角的“开合程度”，即大小不一样想一想：该怎样度量二面角的大小呢？还用量角器吗？从二面角的棱上任一点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。αβB。OAB1。O1A1等角定理若一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方向相同，则这两个角相等。小结：1.二面角就是用它的平面角来度量的。一个二面角的平面角多大，我们就说这个二面角是多少度的二面角。2.二面角的平面角与点（或垂直平面）的位置无任何关系，只与二面角的张角大小有关。∠AOB？∠A1O1B1二面角的平面角必须满足：3）与棱垂直1）点在棱上2）线在面内以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。10lOAB规定：二面角的范围是180,0平面角是直角的二面角叫做直二面角互相垂直的平面就是相交成直二面角的两个平面五、二面角的范围：作二面角的平面角的常用方法①、点P在棱上②、点P在一个半平面上③、点P在二面角内ιpαβABABpαβιABOαβιp—定义法—三垂线定理法—垂面法—几何法1、如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上任一点，则二面角P-BC-A的平面角为:练习2、已知P为二面角内一点，且P到两个半平面的距离都等于P到棱的距离的一半，则这个二面角的度数是多少？pαβιABOABCP60º二面角∠ACPABCA/M例1、已知：如图⊿ABC的顶点A在平面M上的射影为点A/，⊿ABC的面积是S，⊿A/BC的面积是S/，设二面角A-BC-A/为求证：S/=SCOSD射影面积法是不找平面角求二面角的一种方法!回忆：1.异面直线所成角：cos|cos,|ab2.直线与平面所成角：sincos,nAB||ABCD1DABOnabanlcoscos,ABCDABCDABCDDCBA六、向量法求二面角：1.方向向量法（依据定义）注意：向量AB,CD的方向：起点都在棱上，也可共起点ll二面角的范围：[0,]2.法向量法1n1n2n2n12nn，12nn，12nn，12nn，cos12cos,nncos12cos,nn注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角例2、如图所示，在正方体AC1中，求二面角A1－BD－C1的大小。解：（方法一）如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1)1,1,1()1,1,1(2111nBDCnBDA的法向量平面的法向量平面31,cos21nn31cos31arccos例2、如图所示，在正方体AC1中，求二面角A1－BD－C1的大小。解：（方法二）由正方体的面对角线长都相等可知，△A1BD与△C1BD是全等的正三角形，取BD的中点O，连结A1O、C1O，则A1O⊥BD，C1O⊥BD，∴∠A1OC就是二面角A1－BD－C1的平面角。∵A1C1＝2a，A1O＝C1O＝232a＝26a∴cos∠A1OC＝aaaaa26262)2()26()26(222＝31∴∠A1OC＝arccos31。故二面角A1－BD－C1的大小为arccos31。例3：已知在一个二面角的棱上有两个点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm，CD=217cm，求二面角的度数CDABE解：设,ACBD=x，由已知CA⊥AB，AB⊥BD得0,ACABBDAB,180CABDx，因此22||()CDCAABBD=222||||||2||||cos(180)CAABBDCABDx代入已知线段的长度，得2222(217)648268(cos)x，解得cosx=21，得x=60°.因此所求的二面角的度数是60°.几何法的夹角的正切。与求：平面，垂直于平面为直角梯形，已知例SCDSABADBCABSAABCDSAABCDABABCD.21,1,904zCSABDxyn一题多解：1）公式法；2）几何法；3）向量法；22例5．已知E,F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC和CD的中点，求：（1）A1D与EF所成角的大小；（2）A1F与平面B1EB所成角的大小；（3）二面角C－D1B1－B的大小。60°1arcsin36arccos3