士兵军考试题：2017年军队院校招生文化科目统一考试——士兵高中数学模拟试题1(含答案)

阶段性检测试题一、选择题（共9小题，每题4分）1、已知全集U＝R，集合A＝{x|lgx≤0}，B＝{x|2x≤32}，则A∪B＝(D)A．∅B．(0，13]C．[13，1]D．(－∞，1](1)由题意知，A＝(0，1]，B＝(－∞，13]，∴A∪B＝(－∞，1]．故选D.2．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3a9＝2a52，a2＝2，则a1＝(C)A.12B.22C.2D．2解析：选C.由等比数列的性质得，∵q0，∴a6＝2a5，q＝a6a5＝2，a1＝a2q＝2，故选C.3．已知f(x)＝3sinx－πx，命题p：∀x∈0，π2，f(x)0，则(D)A．p是假命题，p：∀x∈0，π2，f(x)≥0B．p是假命题，p：∃x0∈0，π2，f(x0)≥0C．p是真命题，p：∀x∈0，π2，f(x)0D．p是真命题，p：∃x0∈0，π2，f(x0)≥0解析：选D.因为f′(x)＝3cosx－π，所以当x∈0，π2时，f′(x)0，函数f(x)单调递减，所以∀x∈0，π2，f(x)f(0)＝0，所以p是真命题，又全称命题的否定是特称命题，所以答案选D.4．已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝23，且a⊥(a＋b)，则a与b的夹角为(D)A.π2B.2π3C.3π4D.5π6解析：选D.a⊥(a＋b)⇒a·(a＋b)＝a2＋a·b＝|a|2＋|a||b|cos〈a，b〉＝0，故cos〈a，b〉＝－32，故所求夹角为5π6.5．下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是(A)A．f(x)＝21xB．f(x)＝x2＋1C．f(x)＝x3D．f(x)＝2－x解析：选A.A中f(x)＝1x2是偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，故A满足题意．B中f(x)＝x2＋1是偶函数，但在(－∞，0)上是减函数．C中f(x)＝x3是奇函数．D中f(x)＝2－x是非奇非偶函数．故B，C，D都不满足题意．6．已知lga＋lgb＝0，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图象可能是(B)解析：选B.∵lga＋lgb＝0，∴ab＝1，∵g(x)＝－logbx的定义域是(0，＋∞)，故排除A.若a＞1，则0＜b＜1，此时f(x)＝ax是增函数，g(x)＝－logbx是增函数，结合图象知选B.7、已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝(B)A．2n－1B.32n－1C.23n－1D.12n－1[解析](1)由已知Sn＝2an＋1，得Sn＝2(Sn＋1－Sn)，即2Sn＋1＝3Sn，Sn＋1Sn＝32，而S1＝a1＝1，所以Sn＝32n－1.[答案]B8.设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0.则当xyz取得最大值时，2x＋1y－2z的最大值为(B)A．0B．1C.94D．3解析：选B.z＝x2－3xy＋4y2(x0，y0，z0)，∴xyz＝xyx2－3xy＋4y2＝1xy＋4yx－3≤14－3＝1.当且仅当xy＝4yx，即x＝2y时等号成立，此时z＝x2－3xy＋4y2＝4y2－6y2＋4y2＝2y2，∴2x＋1y－2z＝22y＋1y－22y2＝－1y2＋2y＝－1y－12＋1，∴当y＝1时，2x＋1y－2z的最大值为1.9.已知{an}为等差数列，a10＝33，a2＝1，Sn为数列{an}的前n项和，则S20－2S10等于(C)A．40B．200C．400D．20解析：选C.S20－2S10＝20（a1＋a20）2－2×10（a1＋a10）2＝10(a20－a10)＝100d.又a10＝a2＋8d，∴33＝1＋8d，∴d＝4.∴S20－2S10＝400.二、填空题（共8小题，每题4分）1、函数f(x)＝10＋9x－x2lg（x－1）的定义域为()解析：要使函数有意义，则x需满足10＋9x－x2≥0，x－10，lg（x－1）≠0，即（x＋1）（x－10）≤0，①x1，x≠2，解①得－1≤x≤10.所以不等式组的解集为(1，2)∪(2，10]．2、函数y＝)24cos(x的单调减区间为________．(3)由y＝cosπ4－2x＝cos2x－π4，得2kπ≤2x－π4≤2kπ＋π(k∈Z)，故kπ＋π8≤x≤kπ＋5π8(k∈Z)．所以函数的单调减区间为kπ＋π8，kπ＋5π8(k∈Z)．3、函数f(x)＝43323xxx在[0，2]上的最小值是()A．－173B．－103C．－4D．－643解析：选A.f′(x)＝x2＋2x－3，令f′(x)＝0，得x＝1(x＝－3舍去)，又f(0)＝－4，f(1)＝－173，f(2)＝－103，故f(x)在[0，2]上的最小值是f(1)＝－173.4、某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________．解析：根据三视图还原几何体，得如图所示的三棱锥P­ABC.由三视图的形状特征及数据，可推知PA⊥平面ABC，且PA＝2.底面为等腰三角形，AB＝BC，设D为AC中点，AC＝2，则AD＝DC＝1，且BD＝1，易得AB＝BC＝2，所以最长的棱为PC，PC＝PA2＋AC2＝22.答案：225、若数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－4，则an＝________．解析：由3an＋1＝3an－4，得an＋1－an＝－43，所以{an}是等差数列，首项a1＝15，公差d＝－43，所以an＝15－43(n－1)＝49－4n3.答案：49－4n36、若命题“∃x0∈R，2x20－3ax0＋90”为假命题，则实数a的取值范围是________．因为“∃x0∈R，2x20－3ax0＋90”为假命题，则“∀x∈R，2x2－3ax＋9≥0”为真命题．因此Δ＝9a2－4×2×9≤0，故－22≤a≤22.7、若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f(x)＝x（1－x），0≤x≤1，sinπx，1x≤2，则f294＋f416＝________．∵f(x)是以4为周期的奇函数，∴f294＝f8－34＝f－34，f416＝f8－76＝f－76.∵当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，∴f34＝34×1－34＝316.∵当1x≤2时，f(x)＝sinπx，∴f76＝sin7π6＝－12.又∵f(x)是奇函数，∴f－34＝－f34＝－316，f－76＝－f76＝12.∴f294＋f416＝12－316＝516.8．设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意x∈[－1，1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为________．解析：(构造法)若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立；当x0时，即x∈(0，1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≥3x2－1x3.设g(x)＝3x2－1x3，则g′(x)＝3（1－2x）x4，所以g(x)在区间0，12上单调递增，在区间12，1上单调递减，因此g(x)max＝g12＝4，从而a≥4.当x0时，即x∈[－1，0)时，同理a≤3x2－1x3.g(x)在区间[－1，0)上单调递增，∴g(x)min＝g(－1)＝4，从而a≤4，综上可知a＝4.答案：4三．计算下列各题：（18分）(1)12lg3249－43lg8＋lg245；解：(1)12lg3249－43lg8＋lg245＝12×(5lg2－2lg7)－43×32lg2＋12(lg5＋2lg7)＝52lg2－lg7－2lg2＋12lg5＋lg7＝12lg2＋12lg5＝12lg(2×5)＝12.（2）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.求角A的大小；[解](1)由题意知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.①由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，故cosA＝－12，A＝120°.四、（12分）已知2311:xp，)0(012:22mmxxq，若qp是的必要不充分条件，求实数m的取值范围。五、证明：(1)连接AD1，由ABCD­A1B1C1D1是正方体，知AD1∥BC1，因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FP∥AD1.从而BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ，且BC1⊄平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.(2)如图，连接AC，BD，则AC⊥BD.由CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，可得CC1⊥BD.又AC∩CC1＝C，所以BD⊥平面ACC1.而AC1⊂平面ACC1，所以BD⊥AC1.因为M，N分别是A1B1，A1D1的中点，所以MN∥BD，从而MN⊥AC1.同理可证PN⊥AC1.又PN∩MN＝N，所以直线AC1⊥平面PQMN.（12分）六、已知函数)0(coscos)sin()(2xxxxf的最小正周期为，将函数)(xfy的图像上各点的横坐标缩短到原来的21，纵坐标不变，得到函数)(xgy的图像，求函数)(xgy在区间16,0上的最小值。（14分）七、已知数列na满足1)1(221nnaa，且1,31naa（1）设)1(log2nnab，证明数列1nb为等比数列；（2）设nnnbc，求数列nc的前n项和ns。（14分）八、已知函数f(x)＝xex(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设g(x)＝xf(x)－ax＋1，若g(x)在(0，＋∞)上存在极值点，求实数a的取值范围．解：(1)f(x)＝exx，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，∴f′(x)＝ex（x－1）x2.当f′(x)＝0时，x＝1.f′(x)与f(x)随x的变化情况如下表：x(－∞，0)(0，1)1(1，＋∞)f′(x)－－0＋f(x)极小值故f(x)的增区间为(1，＋∞)，减区间为(－∞，0)和(0，1)．(2)g(x)＝ex－ax＋1，x∈(0，＋∞)，∴g′(x)＝ex－a，①当a≤1时，g′(x)＝ex－a0，即g(x)在(0，＋∞)上递增，此时g(x)在(0，＋∞)上无极值点．②当a1时，令g′(x)＝ex－a＝0，得x＝lna；令g′(x)＝ex－a0，得x∈(lna，＋∞)；令g′(x)＝ex－a0，得x∈(0，lna)．故g(x)在(0，lna)上递减，在(lna，＋∞)上递增，∴g(x)在(0，＋∞)有极小值无极大值，且极小值点为x＝lna.故实数a的取值范围是a1.