2006年四川高考理科数学试题及答案详解

2006年普通高等学校招生全国统一考试（四川）理科数学（必修+选修II）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合2A=|560,|213,xxxBxx则集合AB＝（A）|23xx（B）|23xx（C）|23xx（D）|13xx2.复数313i的虚部为（A）3.（B）－3.（C）2（D）－2.3.已知23,1(),2,1xxfxx　　下面结论正确的是（A）f(x)在x=1处连续（B）f(1)＝5（C）1lim()2xfx－（D）1lim()5xfx4.已知二面角l的大小为060，mn、为异面直线，mn且，，mn则、所成的角为（A）030（B）060（C）090（D）01205.下列函数中，图像的一部分如右图所示的是（A）sin()6yx（B）sin(2)6yx（C）cos(4)3yx（D）cos(2)6yx6.已知两定点(2,0),A(1,0),B如果动点P满足条件2,PAPB则点P的轨迹所包围的图形的面积等于（A）（B）4（C）8（D）97.如图,已知正六边形123456PPPPPP，下列向量的数量积中最大的是（A）1213PPPP（B）1214PPPP（C）1215PPPP（D）1216PPPP8.某厂生产甲产品每千克需用原料A和原料B分别为11ab、千克，生产乙产品每千克需用原料A和原料B分别为22ab、千克。甲、乙产品每千克可获利润分别为12dd、元。月初一次性购进本月用原料A、B各12cc、千克。要计划本月生产甲、乙两种产品各多少千克才能使月利润总额达到最大。在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为ｘ千克、ｙ千克，月利润总额为ｚ元，那么，用于求使总利润12zdxdy最大的数学模型中，约束条件为（A）121122,,0,0axaycbxbycxy（B）111222,,0,0axbycaxbycxy（C）121122,,0,0axaycbxbycxy（D）121122,,0,0axaycbxbycxy9.直线ｙ＝ｘ－3与抛物线xy42交于A、B两点，过A、B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P、Q，则梯形APQB的面积为（A）48.（B）56（C）64（D）72.10.已知球O半径为1，A、B、C三点都在球面上，A、B两点和A、C两点的球面距离都是4，B、C两点的球面距离是3，则二面角BCOA的大小是（A）4（B）3（C）2（D）2311.设cba、、分别为ABC的三内角ABC、、所对的边，则2()abbc是AB=2的（A）充要条件（B）充分而不必要条件（C）必要而不充分条件（D）既不充分也不必要条件12.从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被３整除的概率为（A）1954（B）3554（C）3854（D）4160第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。13.在三棱锥O-ABC中，三条棱OA、OB、OC两两互相垂直，且OA＝OB＝OC,M是AB的中点，则OM与平面ABC所成角的大小是______________（用反三角函数表示）。14.设离散型随机变量ξ可能取的值为1，2，3，4.P(ξ＝k)＝ak+b(k=1，2，3，4),又ξ的数学期望Eξ＝3，则ａ＋ｂ＝______________。15.如图把椭圆2212516xy的长轴AB分成8分，过每个分点作ｘ轴的垂线交椭圆的上半部分于1P,2P,……7P七个点，F是椭圆的一个焦点，则127......PFPFPF____________．16.非空集合G关于运算满足：（1）对任意的,,abG都有,abG(2)存在,eG都有,abbaa则称G关于运算为“融洽集”。现给出下列集合和运算：①G＝｛非负整数｝，为整数的加法。②G＝｛偶数｝，为整数的乘法。③G＝｛平面向量｝，为平面向量的加法。④G＝｛二次三项式｝，为多项式的加法。⑤G＝｛虚数｝，为复数的乘法。其中G关于运算为“融洽集”的是________。（写出所有“融洽集”的序号）三.解答题共6个小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知A、B、C是ABC三内角，向量(1,3),m(cos,sin),nAA且1.mn（Ⅰ）求角A（Ⅱ）若221sin23,cossinBBB求tanC。18．（本小题满分12分）某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都“合格”则该课程考核“合格”。甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9、0.8、0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8、0.7、0.9。所有考核是否合格相互之间没有影响。（Ⅰ）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；（Ⅱ）求这三人该课程考核都合格的概率（结果保留三位小数）。19．（本小题满分12分）如图,长方体ABCD-1111DCBA中，E、P分别是BC、11AD的中点,M、N分别是AE、1CD的中点,11AD=AA,aAb=2,a（Ⅰ）求证：11MN//ADD;A平面；（Ⅱ）求二面角PAED的大小；（Ⅲ）求三棱锥P－DEN的体积。20．（本小题满分12分）已知数列na，其中121,3,aa112,(2)nnnaaan记数列na的前n项和为,nS数列lnnS的前n项和为.nU(Ⅰ)求nU；(Ⅱ)设22(),2(!)NUnneFxxnn11()(),nnkiTxFx（其中1()kFx为()kFx的导函数），计算1()lim()nnnTxTx21．（本小题满分12分）已知两定点1(2,0),F2(2,0),F满足条件212PFPF的点P的轨迹是曲线E，直线ｙ＝kx－1与曲线E交于A、B两点。如果63,AB且曲线E上存在点C，使,OAOBmOC求mABC的值和的面积S。22．（本小题满分14分）已知函数22f(x)++ln(0),xaxxxf(x)的导函数是f(x)。对任意两个不相等的正数12xx、，证明：（Ⅰ）当0a时，1212()()()22fxfxxxf；（Ⅱ）当4a时，1212()()fxfxxx。2006年四川理科数学参考答案一．选择题：题号123456789101112答案CDDBDBACACAB（1）已知集合2560Axxx={|23}xx≤≤，集合213Bxx{|2或1}xxx，则集合AB23xx，选C.（2）复数31i=13322iii,所以它的虚部为－2，选D.（3）已知23,12,1xxfxx，则11lim()lim()5xxfxfx，而(1)2f，∴正确的结论是1lim5xfx，选D.（4）已知二面角l的大小为060，,mn为异面直线，且,mn，则,mn所成的角为两条直线所成的角，∴θ=060，选B.（5）从图象看出，41T=1264，所以函数的最小正周期为π，函数应为y=sin2x向左平移了6个单位，即sin2()6yx=sin(2)cos(2)cos(2)3236xxx，所以选D.（6）已知两定点2,0,1,0AB，如果动点P满足2PAPB，设P点的坐标为(x，y)，则2222(2)4[(1)]xyxy，即22(2)4xy，所以点P的轨迹所包围的图形的面积等于4π，选B.(7)如图，已知正六边形123456PPPPPP，设边长12||PPa，则∠213PPP=6.，13||3PPa,1213,PPPP=233322aaa，∠214PPP=3，14||2PPa，1214,PPPP=2122aaa，1215,PPPP=0，1216,PPPP0，∴数量积中最大的是1213,PPPP，选A.(8)某厂生产甲产品每千克需用原料A和原料B分别为11,ab，生产乙产品每千克需用原料A和原料B分别为22,ab千克，甲、乙产品每千克可获利润分别为12,dd元，月初一次性够进本月用原料,AB各12,cc千克，要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大；在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x千克，y千克，月利润总额为z元，那么，用于求使总利润12zdxdy最大的数学模型中，约束条件为12112200axaycbxbycxy，选C.(9)直线3yx与抛物线24yx交于,AB两点，过,AB两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为,PQ，联立方程组得243yxyx，消元得21090xx，解得12xy，和96xy，∴|AP|=10，|BQ|=2，|PQ|=8，梯形APQB的面积为48，选A.(10)已知球O的半径是R=1，,,ABC三点都在球面上，,AB两点和,AC两点的球面距离都是4，则∠AOB，∠AOC都等于4，AB=AC，,BC两点的球面距离是3，∠BOC=3，BC=1，过B做BD⊥AO，垂足为D，连接CD，则CD⊥AD，则∠BDC是二面角BOAC的平面角，BD=CD=22，∴∠BDC=2，二面角BOAC的大小是2，选C.（11）设,,abc分别是ABC的三个内角,,ABC所对的边，若2abbc，则2sinsin(sinsin)ABBC，则1cos21cos2sinsin22aBBC，∴1(cos2cos2)sinsin2BABC，sin()sin()sinsinBAABBC，yxFOQPBA又sin()sinABC，∴sin()sinABB，∴ABB，2AB，若△ABC中，2AB，由上可知，每一步都可以逆推回去，得到2abbc，所以2abbc是2AB的充要条件，选A.（12）从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被3整除。所有的三位数有32109648AA个，将10个数字分成三组，即被3除余1的有{1，4，7}、被3除余2的有{2，5，8}，被3整除的有{3，6，9，0}，若要求所得的三位数被3整除，则可以分类讨论：①三个数字均取第一组，或均取第二组，有33212A个；②若三个数字均取自第三组，则要考虑取出的数字中有无数字0，共有324318AA个；③若三组各取一个数字，第三组中不取0，有11133333162CCCA个，④若三组各取一个数字，第三组中取0，有112332236CCA个，这样能被3整除的数共有228个，不能被3整除的数有420个，所以概率为420648=3554，选B。二填空题：（13）在三棱锥OABC中，三条棱,,OAOBOC两两互相垂直，且,OAOBOCM是AB边的中点，设||OAa，则||||||2ABBCCAa，316OABCVa，O点在底面的射影为底面△ABC的中心，||13OABCABCVODS=33a，又13||||36DMMCa，OM与平面ABC所成角的正切是33tan266，所以二面角大小是arctan2.（14）设离散性随机变量可能取的值为1,2,3,4,1,2,3,4Pkakbk，所以()(2)(3)(4)1abababab，即1041ab，又的数学期望3E，DMCBAO则()2(2)3(3)4(4)3