组合与组合数公式

组合与组合数公式一般地说，从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。)1()2()1(mnnnnAmn)!(!mnnAmn2、排列数公式：1、排列的定义：问题1某娱乐公司要从周杰伦、潘韦泊、谢霆锋3名大腕任意选出2名参加某天的一项活动，其中一名参加上午活动，另外一名参加下午的活动，试问该娱乐公司有多少种不同的安排方法？623A某娱乐公司要从周杰伦、潘韦泊、谢霆锋3名大腕任意选出2名参加某天的一项活动，试问该娱乐公司有多少种不同的安排方法？1、试用列举法求解问题2：周杰伦、潘韦泊潘韦泊、谢霆锋周杰伦、谢霆锋2、每天安排的人你是怎样取出来的？你发现了什么规律？3、每天安排的2人可能是同一个人吗？你发现了什么规律？任选2个不能4、周杰伦、潘韦柏与潘韦柏、周杰伦是一种安排方式吗？你发现了什么规律？一样，没有顺序，一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．组合：组合数：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的组合数。用符号表示。mnC相同的组合：元素相同问题1、问题2有什么不同点？，两个问题的根本区别是什么？思考：从已知的3个不同元素中每次取出2个元素,并成一组问题2从已知的3个不同元素中每次取出2个元素,按照一定的顺序排成一列.问题1排列组合有顺序无顺序有序排列，无序组合（1）10名学生中抽2名学生开会（2）10名学生中选2名做正、副组长(3)从4个风景点中选出2个游览,有多少种不同的方法?（4）从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序,有多少种不同的方法?思考：下列问题是排列问题还是组合问题？组合排列（5）由1,2,3,4构成的含有2个元素的集合个数;（6）五个队进行单循环比赛的比赛场次数;（7）由1,2,3组成两位数的不同方法数;（８）由1,2,3组成的无重复数字的两位数的个数.组合排列组合组合排列排列【做一做1】给出下列问题:①有10个车站,共需准备多少种车票?②有10个车站,共有多少种不同的票价?③平面内有16个点,共可作出多少条不同的有向线段?④有16位同学,假期中约定每两人之间通电话一次,共需通电话多少次?⑤从20名学生中任选4名分别参加数学、物理、化学、生物竞赛,有多少种选派方法?其中,属于排列问题的有.(只填序号)①③⑤判断一个问题是排列问题还是组合问题关键：有无顺序分别有多少种？用式子表示。22210AC或210C22216AC或216C44420AC或210A216A420A合作探究二根据排列和组合之间的关系，思考一下从n个不同元素中，任意取出m(m≤n)个不同元素的排列数和组合数之间的关系?组合数公式:(1)(2)(1)!mmnnmmAnnnnmCAm从n个不同元中取出m个元素的排列数mmmnmnCAA!!()!mnnCmnm规定：01nC典例分析：计算4377CC＋（1）（2）70251410510CC511C5010101010CCC（3）思考：（1）从10人中选出6人参加比赛，有多少种选法？（2）从10人中选出4人不参加比赛，有多少种选法？610C410C610C或410C或410610CC5.组合数的性质:性质1:C𝑛𝑚=C𝑛𝑛-𝑚.性质2:C𝑛+1𝑚=C𝑛𝑚+C𝑛𝑚-1.【做一做5】(1)若C106=C10𝑚,则𝑚=;(2)C604+C605=.答案:(1)6或4(2)C615【例2】(1)计算C10098+C200199;(2)已知C183𝑛+6=C184𝑛-2,求𝑛;(3)化简C54+C64+C74+C84+C88.分析:先把组合数利用性质进行化简,或利用组合数性质求解.解:(1)C10098+C200199=C1002+C2001=100×992+200=5150.(2)由C183𝑛+6=C184𝑛-2,知3n+6=4n-2或3n+6+(4n-2)=18.解得n=8或n=2.∵3n+6≤18,且4n-2≤18,∴n≤4,且n∈N+,∴n=2.(3)C54+C64+C74+C84+C88=C88+C54+C64+C74+C84=C55+C54+C64+C74+C84=C65+C64+C74+C84=C75+C74+C84=C85+C84=C95=C94=9×8×7×64×3×2×1=126.【变式训练2】(1)计算:C94+C95+C106+C117;(2)计算:C22+C32+C42+C52+C62;(3)求证:C𝑛𝑚=𝑚+1𝑛-𝑚·C𝑛𝑚+1;(4)求证:C𝑚+2𝑛=C𝑚𝑛+2C𝑚𝑛-1+C𝑚𝑛-2.(1)解:C94+C95+C106+C117=C105+C106+C117=C116+C117=C127=C125=792.(2)解:由C22=C33,得C22+C32+C42+C52+C62=C33+C32+C42+C52+C62.∵C32+C33=C43,∴C33+C32+C42+C52+C62=C43+C42+C52+C62,依次类推可得C22+C32+C42+C52+C62=C73=35.(3)证明:∵C𝑛𝑚=𝑛!𝑚!(𝑛-𝑚)!,𝑚+1𝑛-𝑚·C𝑛𝑚+1=𝑚+1𝑛-𝑚·𝑛!(𝑚+1)!(𝑛-𝑚-1)!=𝑚+1(𝑚+1)!·𝑛!(𝑛-𝑚)(𝑛-𝑚-1)!=𝑛!𝑚!(𝑛-𝑚)!,∴C𝑛𝑚=𝑚+1𝑛-𝑚·C𝑛𝑚+1.(4)证明:C𝑚𝑛+2C𝑚𝑛-1+C𝑚𝑛-2=C𝑚𝑛+C𝑚𝑛-1+C𝑚𝑛-1+C𝑚𝑛-2=C𝑚+1𝑛+C𝑚+1𝑛-1=C𝑚+2𝑛.5.若A𝑛3=12C𝑛2,则𝑛=.解析:A𝑛3=𝑛(𝑛−1)(𝑛−2),C𝑛2=12𝑛(𝑛−1),所以n(n-1)(n-2)=12×12𝑛(𝑛−1).由n∈N+,且n≥3,解得n=8.答案:84.已知C12𝑥-2=C122𝑥-4,则𝑥的值是()A.2B.6C.12D.2或6解析:由组合数公式及其性质得,0≤𝑥-2≤12,0≤2𝑥-4≤12,𝑥-2=2𝑥-4或(𝑥-2)+(2𝑥-4)=12.解得x=2或x=6.答案:DA.36B.84C.88D.504答案:B()6858的值为CC【当堂检测】2368521081(1)(2)CCCC、2、圆上有10个点（1）过每两个点可画一条弦，一共可画多少条弦？（2）过每3个点可画一个圆内接三角形，一共可画多少个圆内接三角形？例2平面内有10个点，其中任意三点不共线，以其中每2个点为端点的线段有多少条？平面内有10个点，其中任意三点不共线，以其中每2个点为端点的有向线段有多少条？