高中数学-选修2-2--1.3.1-函数的单调性与导数(人教新课标)

退出目录1.3导数在研究函数中的应用退出目录1.3.1函数的单调性与导数退出目录课前预习导学退出目录目标导航学习目标重点难点1.结合实例,借助几何直观探索并体会函数的单调性与导数的关系;2.能够利用导数研究函数的单调性,并学会求不超过三次的多项式函数的单调区间.重点:利用导数求函数的单调区间和判断函数的单调性;难点:根据函数的单调性求参数的取值范围.退出目录预习导引1.函数的单调性与其导数的正负关系在某个区间(a,b)内,如果f'(x)0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增;如果f'(x)0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减.退出目录预习交流11.思考:利用导数求函数f(x)单调区间的一般步骤是什么?提示:(1)确定函数f(x)的定义域;(2)求导数f'(x);(3)由f'(x)0(或f'(x)0)解出相应的x的范围.当f'(x)0时,f(x)在相应区间上是增函数;当f'(x)0时,f(x)在相应区间上是减函数.2.做一做:在区间(a,b)内,f'(x)0是f(x)在(a,b)上为单调增函数的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件提示:当f'(x)0时,f(x)在(a,b)上一定是增函数,但当f(x)在(a,b)上单调递增时,不一定有f'(x)0,例如f(x)=x3在区间(-∞,+∞)上单调递增,f'(x)≥0.故选A项.退出目录2.利用导数解释函数增减快慢如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象就比较陡峭(向上或向下);反之,函数的图象就平缓一些.退出目录预习交流2做一做:若f'(x)是f(x)的导函数,f'(x)的图象如图,则f(x)的图象只可能是()退出目录提示:由于导函数图象在x轴及其上方,故原函数为增函数.又因为导函数f'(x)先增后减,说明原函数在曲线前半段上点的切线斜率逐渐增大,而后半段上点的切线斜率越来越小.故选D项.退出目录课堂合作探究退出目录问题导学一、求函数的单调区间活动与探究1(2013海南海口模拟)求函数f(x)=x3-4x2+5x+1的单调区间.思路分析:求出f'(x),然后先解不等式f'(x)0得单调增区间,再解不等式f'(x)0得单调减区间.退出目录解:f'(x)=3x2-8x+5.令f'(x)0,则3x2-8x+50,解得x1,或x53.∴f(x)的单调递增区间为(-∞,1)和53,+∞.令f'(x)0,则3x2-8x+50,解得1x53.∴f(x)的单调递减区间为1,53.退出目录迁移与应用1.函数y=ex+1-x的单调递减区间是.解析:定义域为R,且y'=ex+1-1,令y'0,即ex+1-10,∴x+10,x-1,故单调递减区间是(-∞,-1).答案:(-∞,-1)2.求函数f(x)=x4-2x2+3的单调区间.解:f'(x)=4x3-4x=4x(x2-1)=4x(x+1)(x-1).令f'(x)0,得4x(x+1)(x-1)0,解得-1x0,或x1,∴函数f(x)的单调递增区间为(-1,0)和(1,+∞).令f'(x)0,得4x(x+1)(x-1)0,解得x-1,或0x1,∴函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1)和(0,1).退出目录(1)利用导数求函数f(x)的单调区间,实质上是转化为解不等式f'(x)0〔或f'(x)0〕,不等式的解集就是函数的单调区间.(2)利用导数求单调区间时,要特别注意不能忽视函数的定义域,在解不等式f'(x)0〔或f'(x)0〕时,要在函数定义域的前提之下求解.(3)如果函数的单调区间不止一个时,要用“和”“及”等连结,而不能写成两个区间并集的形式.退出目录二、判断或证明函数的单调性活动与探究2证明函数f(x)=𝑠𝑖𝑛xx在𝜋2,𝜋上单调递减.思路分析:要证f(x)在𝜋2,𝜋上单调递减,只需证明f'(x)0在𝜋2,𝜋上恒成立即可.退出目录证明:∵f(x)=𝑠𝑖𝑛xx,∴f'(x)=(𝑠𝑖𝑛x)'x-𝑠𝑖𝑛x·(x)'x2=x𝑐𝑜𝑠x-𝑠𝑖𝑛xx2.由于x∈𝜋2,𝜋,∴cosx0,sinx0,因此xcosx-sinx0,故f'(x)0,∴f(x)在𝜋2,𝜋上单调递减.退出目录迁移与应用1.函数f(x)=ax-a-x(0a1)在(-∞,+∞)上是函数.(填“增”或“减”)解析:函数的定义域为R,f'(x)=axlna-a-xlna·(-x)'=(ax+a-x)lna.当0a1时,lna0,ax+a-x0,∴f'(x)0,∴f(x)在(-∞,+∞)上是减函数.答案:减2.证明函数f(x)=ex+e-x在[0,+∞)上是增函数.证明:f'(x)=(ex)'+1𝑒x'=ex+-1𝑒x=ex-e-x=(𝑒x)2-1𝑒x.∵当x∈[0,+∞)时ex≥1,∴f'(x)≥0,∴f(x)=ex+e-x在[0,+∞)上为增函数.退出目录利用导数判断或证明函数的单调性时,一般是先确定函数定义域,再求导数,然后判断导数在给定区间上的符号,从而确定函数的单调性.如果解析式中含有参数,应进行分类讨论.退出目录三、利用函数的单调性求参数的取值范围活动与探究3若函数f(x)=13x3-12ax2+(a-1)x+1,在区间(1,4)上为减函数,在区间(6,+∞)上为增函数,试求实数a的取值范围.思路分析:先求出f(x)的导数,由f'(x)在给定区间上的符号确定a的取值范围,要注意对a-1是否大于等于1进行分类讨论.解:∵f'(x)=x2-ax+a-1,令f'(x)=0,解得x=1,或x=a-1.当a-1≤1,即a≤2时,函数f(x)在(1,+∞)上为增函数,不符合题意.当a-11,即a2时,函数f(x)在(-∞,1)上为增函数,在(1,a-1)内为减函数,在(a-1,+∞)上为增函数.依题意知,当x∈(1,4)时,f'(x)0,当x∈(6,+∞)时,f'(x)0.∴4≤a-1≤6,即5≤a≤7.∴a的取值范围是[5,7].退出目录迁移与应用1.已知函数f(x)=-x3+ax在区间(-1,1)上单调递增,则实数a的取值范围是.解析:由题意有f'(x)=-3x2+a≥0在(-1,1)上恒成立,∴f'(-1)≥0,f'(1)≥0,即-3+a≥0,-3+a≥0,∴a≥3.答案:a≥3退出目录2.已知向量a=(x2,x+1),b=(1-x,t),若函数f(x)=a·b在(-1,1)上是增函数,求t的取值范围.解:由题意得f(x)=x2(1-x)+t(x+1)=-x3+x2+tx+t,则f'(x)=-3x2+2x+t.若f(x)在(-1,1)上是增函数,则在(-1,1)上f'(x)≥0.∵f'(x)的图象是开口向下的抛物线,∴当且仅当f'(1)=t-1≥0,且f'(-1)=t-5≥0时,f'(x)在(-1,1)上满足f'(x)0,即f(x)在(-1,1)上是增函数.故t的取值范围是t≥5.退出目录(1)已知函数的单调性求参数的范围,这是一种非常重要的题型.在某个区间上,f'(x)0(或f'(x)0),f(x)在这个区间上单调递增(递减);但由f(x)在这个区间上单调递增(递减)而仅仅得到f'(x)0(或f'(x)0)是不够的,即还有可能f'(x)=0也能使得f(x)在这个区间上单调,因而对于能否取到等号的问题需要单独验证.(2)一般地,若f(x)在区间I上单调递增(递减),可转化为f'(x)≥0(≤0)在I上恒成立,进而可求得参数的取值范围.退出目录四、函数及其导函数的图象活动与探究4设f'(x)是函数f(x)的导函数,将y=f(x)和y=f'(x)的图象画在同一个直角坐标系中,不正确的是()思路分析:利用导函数的正负与原函数单调性的关系分析.解析:A,B,C均有可能;对于D,若C1为导函数,则y=f(x)应为增函数,C2的图象不符合;若C2为导函数,则y=f(x)应为减函数,C1的图象不符合.答案:D退出目录迁移与应用1.已知函数y=xf'(x)的图象如图所示(其中f'(x)是函数f(x)的导函数),下面四个图象中,y=f(x)的图象大致是()退出目录解析:由图知,当x-1时,xf'(x)0,∴f'(x)0,∴x-1时,函数y=f(x)单调递增;当-1x0时,xf'(x)0,∴f'(x)0,∴-1x0时,函数y=f(x)单调递减;当0x1时,xf'(x)0,∴f'(x)0,∴0x1时,函数y=f(x)单调递减;当x1时,xf'(x)0,∴f'(x)0,∴x1时,y=f(x)单调递增.答案:C退出目录2.设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如右图所示,则导函数y=f'(x)可能为()解析:由f(x)图象可知f(x)在(-∞,0)上递增,在(0,+∞)上先增后减再增,于是f'(x)在(-∞,0)上大于0,在(0,+∞)应先大于0再小于0再大于0,故选D项.答案:D退出目录研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时,要注意抓住各自的关键要素.对原函数,我们重点考查其图象在哪个区间上单调递增,哪个区间上单调递减;而对于导函数,则应考查其函数值在哪个区间上大于零,哪个区间上小于零,并考查这些区间与原函数的单调区间是否一致.退出目录当堂检测1.函数f(x)=x3+x2-x的单调递减区间是()A.-1,13B.-13,1C.-1,-13D.13,1解析:f'(x)=3x2+2x-1,令3x2+2x-10,解得-1x13,故函数的单调递减区间是-1,13.答案:A退出目录2.函数y=xsinx+cosx,x∈(-π,π)的单调递增区间是()A.-𝜋,-𝜋2和0,𝜋2B.-𝜋2,0和0,𝜋2C.-𝜋,-𝜋2和𝜋2,𝜋D.-𝜋2,0和𝜋2,𝜋解析:y'=xcosx+sinx-sinx=xcosx,令y'0,则-πx-𝜋2,或0x𝜋2,∴单调递增区间为-𝜋,-𝜋2,0,𝜋2.答案:A退出目录3.函数f(x)的导函数f'(x)的图象如下图所示,则下列判断中正确的是()A.f(x)在(-3,1)上单调递增B.f(x)在(1,3)上单调递减C.f(x)在(2,4)上单调递减D.f(x)在(3,+∞)上单调递增退出目录解析:由f(x)的增减性与f'(x)的正负之间的关系进行判断,当x∈(2,4)时,f'(x)0,故f(x)在(2,4)上单调递减,其余判断均错.答案:C退出目录4.若函数f(x)=ax3-x2+x-5在(-∞,+∞)上单调递增,则a的取值范围是.解析:f'(x)=3ax2-2x+1.因为f(x)在R上单调递增,所以f'(x)≥0,即3ax2-2x+1≥0在R上恒成立.所以a0,Δ≤0,即a0,4-12a≤0,所以a≥13.答案:a≥13退出目录5.已知函数f(x)=2ax-x3,x∈(0,1],a0,若f(x)在(0,1]上是增函数,则a的取值范围为.解析:依题意f'(x)=-3x2+2a≥0在(0,1]上恒成立,即a≥32x2,而g(x)=32x2在(0,1]上的最大值为32,故a≥32.答案:a≥32