利用导数判断函数的单调性

利用导数判断函数的单调性（4）.对数函数的导数:.1)(ln)1(xx.ln1)(log)2(axxa（5）.指数函数的导数:.)()1(xxee).1,0(ln)()2(aaaaaxxxxcos)(sin1）（（3）.三角函数：xxsin)(cos2）（（1）.常函数：(C)/0,(c为常数)；（2）.幂函数：(xn)/nxn1一复习回顾：1.基本初等函数的导数公式2.导数的运算法则（1）函数的和或差的导数(u±v)/＝u/±v/.（3）．函数的商的导数（）/=(v≠0)。uv2''uvvuv（2）．函数的积的导数(uv)/＝u/v+v/u.定理设函数y=f(u)，u=(x)均可导，则复合函数y=f((x))也可导.且，)()(xufyx.ddddddxuuyxy，xuxuyy或或复合函数的求导法则即：因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)3.函数的单调性:对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么函数f(x)就是区间I上的增函数.对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么函数f(x)就是区间I上的减函数.二、新课讲解:我们已经知道,曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数y=x2-4x+3的图像可以看到:yxo11－1在区间(2,+∞)内,切线的斜率为正,函数y=f(x)是增函数,即0时,函数y=f(x)在区间(2,+∞)内为增函数.y在区间(-∞,2)内,切线的斜率为负,函数y=f(x)是减函数,即0时,函数y=f(x)在区间(-∞,2)内为减函数.y2mn2用函数的导数判断函数单调性的法则：1．如果在区间(a，b)内，f’(x)0，则f(x)在此区间是增函数，(a，b)为f(x)的单调增区间；2．如果在区间(a，b)内，f’(x)0，则f(x)在此区间是减函数，(a，b)为f(x)的单调减区间；若在某个区间内恒有则为常数0)(xf)(xf例1．如图，设有圆C和定点O，当l从l0开始在平面上绕O点匀速旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图象大致是下列四种情况中的哪一种？D解：由于是匀速旋转，阴影部分的面积S(t)开始和最后时段缓慢增加，中间时段S增速快，图A表示S的增速是常数，与实际不符，图A应否定；图B表示最后时段S的增速快，也与实际不符，图B也应否定；图C表示开始时段与最后时段S的增速快，也与实际不符，图C也应否定；图D表示开始与结束时段，S的增速慢，中间的时段增速快，符合实际，应选D。例2．确定函数f(x)=x2－2x+4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.解：f’(x)=(x2－2x+4)’=2x－2.令2x－2＞0，解得x＞1.∴当x∈(1，+∞)时，f’(x)＞0，f(x)是增函数.令2x－2＜0，解得x＜1.∴当x∈(－∞，1)时，f’(x)＜0，f(x)是减函数.例3:讨论f(x)=x3-6x2+9x-3的单调性.解:f'(x)=3x2-12x+9令3x2-12x+90,解得x3或x1,因此,当或时,f(x)是增函数.),3(x)1,(x令3x2-12x+90,解得1x3,因此,当时,f(x)是减函数.)3,1(x故f(x)在(-∞,1)和(3,+∞)内是增函数,在(1,3)内是减函数.10331yx而我们可以从右边的函数的图象看到上面的结论是正确的.（一）利用导数讨论函数单调性的步骤:(1):求导数).(xf(2)解不等式0得f(x)的单调递增区间;解不等式0得f(x)的单调递减区间.)(xf)(xf例4．证明函数f(x)=在(0，+∞)上是减函数.x1证明：∵f’(x)=()’=(－1)·x－2=－，1x21x∵x0，∴x20，∴－＜0.即f’(x)＜0，21x∴f(x)=在(0，+∞)上是减函数.1x例5．求函数y=x2(1－x)3的单调区间.解：y’=[x2(1－x)3]’=2x(1－x)3+x2·3(1－x)2·(－1)=x(1－x)2[2(1－x)－3x]=x(1－x)2·(2－5x)令x(1－x)2(2－5x)＞0，解得0＜x＜.52∴y=x2(1－x)3的单调增区间是(0，)25令x(1－x)2(2－5x)＜0，解得x＜0或x＞且x≠1.25∵x=1为拐点，∴y=x2(1－x)3的单调减区间是(－∞，0)，(，+∞)25练习题1．函数y=3x－x3的单调增区间是()(A)(0，+∞)(B)(－∞，－1)(C)(－1，1)(D)(1，+∞)C2．设f(x)=x＋(x0)，则f(x)的单调增区间是()(A)(－∞，－2)(B)(－2，0)(C)(－∞，－)(D)(－，0)2x22C3．函数y=xlnx在区间(0，1)上是()(A)单调增函数(B)单调减函数(C)在(0,)上是减函数，在(,1)上是增函数(D)在(,1)上是减函数，在(0,)上是增函数1e1e1e1eC4．函数y=x2(x+3)的减区间是，增区间是.(－2，0)(－∞，－2)及(0，+∞)5．函数f(x)=cos2x的单调区间是.(kπ,kπ+),k∈Z26．函数y=的单调增区间是.22xx(0，1)7．证明：函数f(x)=ln(cosx)在区间(－,0)上是增函数。2证明：f’(x)=(cosx)’=－tanx.1cosx当x∈(－,0)时,－tanx0,即f’(x)0,2∴函数f(x)=ln(cosx)在区间(－,0)上是增函数。28．当x1时，证明不等式：123xx证明：设f(x)=123xx显然，f(x)在[1，∞)上连续，且f(1)=0．f’(x)=211xx11(1)xxx∵x1,∴0，于是f’(x)0.11xx故f(x)是[1，+∞)上的增函数，应有：当x1时，f(x)f(1)=0，即当x1时，123xx五、小结:1.在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域,解决问题的过程中,只能在函数的定义域内,通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间.2.在对函数划分单调区间时,除了必须确定使导数等于零的点外,还要注意在定义域内的不连续点和不可导点.3.注意在某一区间内0(0)只是函数f(x)在该区间上为增(减)函数的充分不必要条件.)(xf6.利用导数的符号来判断函数的单调区间,是导数几何意义在研究曲线变化规律的一个应用,它充分体现了数形结合的思想.5.若函数f(x)在开区间(a,b)上具有单调性.则当函数f(x)时在闭区间[a,b]上连续,那么单调区间可以扩大到闭区间[a,b]上.4.利用求导的方法可以证明不等式,首先要根据题意构造函数,再判断所设函数的单调性,利用单调性的定义,证明要证的不等式.当函数的单调区间与函数的定义域相同时,我们也可用求导的方法求函数的值域.