用第一章三角函数章末总结

第一章三角函数章末归纳总结路漫漫其修远兮吾将上下而求索一、任意角和弧度制1．任意角(1)角的分类①正角：按逆时针方向旋转形成的角；②负角：按顺时针方向旋转形成的角；③零角：一条射线不作任何旋转称它形成一零角.(2)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可以构成一个集合S＝β|β＝α＋k·360°，k∈Z.第一象限角的集合：{α|2kπαπ2＋2kπ，k∈Z}；第二象限角的集合：{α|π2＋2kπαπ＋2kπ，k∈Z}；第三象限角的集合：{α|π＋2kπα3π2＋2kπ，k∈Z}；第四象限角的集合：{α|3π2＋2kπα2π＋2kπ，k∈Z}；终边落在x轴上的角的集合：{α|α＝kπ，k∈Z}；终边落在y轴上的角的集合：{α|α＝π2＋kπ，k∈Z}；终边落在坐标轴上的角的集合：{α|α＝kπ2，k∈Z}．2．弧度制(1)弧度制：①一弧度的角：把长度等于半径长的孤所对的圆心角叫做1弧度的角．②弧度制：用弧度来度量角的制度，单位符号“rad”．(2)角度与弧度的互化公式：①角度化成弧度：180°＝πrad，1°＝π180rad≈0.01745rad；②弧度化成角度：πrad＝180°，1rad＝(180π)°≈57.30°.(3)扇形的弧长与面积公式：①扇形的弧长公式：l＝|α|r；②扇形的面积公式：S＝12lr＝12|α|r2.306454360212032135431506527023180度弧度00360290二、任意角的三角函数1．任意角三角函数的定义在平面直角坐标系中，角α的终边经过点P(x，y)，且|OP|＝r＝x2＋y2，则sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝yx.2．单位圆中三角函数的定义角α的顶点放在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，角α的终边与单位圆的交点为P(x，y)，则y＝sinα，x＝cosα，yx＝tanα(x≠0)．3．正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号4．三角函数线三角函数线是表示三角函数值的有向线段，线段的方向表示了三角函数值的正负，线段的长度表示了三角函数值的绝对值.xyoP正弦线MA三角函数线:（有向线段）正弦线:余弦线:正切线:MPOMTAT正切线余弦线图示正弦线如上图，α终边与单位圆交于P，过P作PM垂直x轴，有向线段MP即为正弦线余弦线如上图，有向线段OM即为余弦线正切线如上图，过(1，0)作x轴的垂线，交α的终边或α终边的反向延长线于T，有向线段AT即为正切线三、同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：tanα＝sinαcosα.重要变形：1－sin2α＝cos2α，1－cos2α＝sin2α，sinα＝tanαcosα.四、诱导公式1．诱导公式(1)公式一：sin(α＋2kπ)＝sinα，cos(α＋2kπ)＝cosα，tan(α＋2kπ)＝tanα，k∈Z.(2)公式二：sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，tan(π＋α)＝tanα.(3)公式三：sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα，tan(－α)＝－tanα.(4)公式四：sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα，tan(π－α)＝－tanα.(5)公式五：sin(π2－α)＝cosα，cos(π2－α)＝sinα.(6)公式六：sin(π2＋α)＝cosα，cos(π2＋α)＝－sinα.α＋2kπ，k∈Z，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名三角函数值前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.π2±α的正弦(余弦)函数值等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．也可以用口诀记忆：“奇变偶不变，符号看象限”．2．诱导公式的作用把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般步骤为：函数性质y＝sinxy＝cosxy＝tanx定义域RR{x|x≠kπ＋π2，k∈Z}值域[－1，1][－1，1]R最小正周期2π2ππ五、正弦、余弦、正切函数的性质函数性质y＝sinxy＝cosxy＝tanx最值当x＝2kπ＋π2，k∈Z时，ymax＝1；当x＝2kπ－π2，k∈Z时，ymin＝－1当x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1；当x＝2kπ＋π，k∈Z时，ymin＝－1无奇偶性奇函数偶函数奇函数函数性质y＝sinxy＝cosxy＝tanx单调性在[－π2＋2kπ，π2＋2kπ]，k∈Z上是增函数，在[π2＋2kπ，3π2＋2kπ]，k∈Z上是减函数在[(2k－1)π，2kπ]，k∈Z上是增函数，在[2kπ，(2k＋1)π]，k∈Z上是减函数在(－π2＋kπ，π2＋kπ)，k∈Z上是增函数函数性质y＝sinxy＝cosxy＝tanx对称轴x＝kπ＋π2，k∈Zx＝kπ，k∈Z无对称中心(kπ，0)，k∈Z(kπ＋π2，0)，k∈Z(k2π，0)，k∈Z六、函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像1．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中参数的意义A——振幅，T＝2πω——周期，f＝1T——频率，φ——初相，ωx＋φ——相位．2．“五点法”作图步骤：列表→描点→连线，注意列表取值时，要作变量代换，令ωx＋φ分别取0，π2，π，3π2，2π来求相应的x和y.3．图像变换y＝sinx1坐成原的倍，坐不横标变来纵标变y＝sinωx00向左（）或向右（）平移位度个单长y＝sin(ωx＋φ)―――――――――――――――――→纵坐标变成原来的A倍，横坐标不变y＝Asin(ωx＋φ)．或者y＝sinx――――――――――――――――――――――→向左（φ0）或向右（φ0）平移|φ|个单位长度y＝sin(x＋φ)1坐成原的倍，坐不横标变来纵标变y＝sin(ωx＋φ)―――――――――――――――――→纵坐标变成原来的A倍，横坐标不变y＝Asin(ωx＋φ)．知识结构知识结构知识结构[分析]结合三角函数的定义，利用诱导公式，对k进行分类讨论，求得结果．专题一任意角三角函数的概念规律方法：1.不同三角函数sinα，cosα，tanα之间的互化，要注意利用直角三角形求值，然后根据象限确定正负号；2.注意灵活运用“sinθ±cosθ”与“sinθ·cosθ”的相互转化．专题二同角三角函数的基本关系及诱导公式分析：由sinθ＋cosθ的值求出sinθ－cosθ的值，从而求得sin2θ－cos2θ的值规律方法总结：已知sinα+cosα的值，往往先将其平方求得sinαcosα的值，然后根据sinαcosα的符号，判断α的范围(所在的象限).k121k80°练习三角函数的图象和性质，分别从“形”和“数”这两个不同侧面反映了三角函数的变化规律，我们应结合三角函数的定义，掌握三角函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性等有关性质．专题三三角函数的图象与性质规律方法：①对称轴的几何意义是：正弦、余弦函数在对称轴处取得最值；②对称中心的几何意义是：正弦、余弦函数的对称中心即为它们的零点。,,4kkZ即三角函数的图象和性质，分别从“形”和“数”这两个不同侧面反映了三角函数的变化规律，我们应结合三角函数的定义，掌握三角函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性等有关性质．专题三三角函数的图象与性质规律方法：①对称轴的几何意义是：正弦、余弦函数在对称轴处取得最值；②对称中心的几何意义是：正弦、余弦函数的对称中心即为它们的零点。方法总结：五点法作图列表时，初相和相位的值都需列出。规律方法：求三角函数的单调性时，若x的系数为负，需先利用诱导公式将x的系数化为正。例5已知函数f(x)＝2sin(2x－π6)＋a.(a为常数)．(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)的单调递增区间；(3)若x∈[0，π2]时，f(x)的最小值为－2，求a的值．规律总结：(1)研究性质前，先要把函数化简为y＝Asin(ωx＋φ)＋h的形式．(2)求最小正周期通常直接利用公式T＝2π|ω|或根据函数图象求得．(3)求三角函数最值常用方法是“整体代入”法．练习1.将函数y＝sinx图像上所有点向右平移π6个单位，再将图像上各点的横坐标变为原来的2倍，这样得到的图像的解析式是()A．y＝sinx2＋π6B．y＝sinx2－π6C．y＝sinx2＋π12D．y＝sinx2－π12练习2.将函数y＝sinx图像上各点的横坐标变为原来的2倍，再将图像上所有点向右平移π6个单位，这样得到的图像的解析式是()A．y＝sinx2＋π6B．y＝sinx2－π6C．y＝sinx2＋π12D．y＝sinx2－π12BD关于函数有下列命题：①的表达式可改写为②是以为最小正周期的周期函数③的图象关于点对称④的图象关于直线对称其中正确的命题序号是。()4sin(2)()3fxxxR()yfx4cos26yx()yfx()yfx()yfx2,066x①③注意：此类题目经常出现在选择题的最后一题，或填空题的最后一题。1．数形结合思想数形结合思想是数学中重要的思想方法之一，数形结合解题的特点是：具有直观性、灵活性、深刻性，有较强的综合性．平时解题时要注意运用．专题四数学思想例函数f(x)＝cosx＋2|cosx|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是________．分析作出f(x)＝cosx＋2|cosx|和y＝k的图象．专题五三角函数与不等式例已知f(x)是定义在(0,3)上的函数，f(x)的图像如图所示，那么不等式f(x)·cosx0的解集是()A．{x|0x1或2x3}B．{x|1xπ2或π2x3}C．{x|0x1或π2x3}D．{x|0x1或1x3}注意：本题作出y=cosx的图象，利用数形结合思想求解更为简单、直观。函数的部分图象是（）cosyxxxy0xy0xy0xy0()A()B()C()DD规律方法：求两个函数的积函数的大致图象，先在同一坐标系中分别作出这两个函数的图象，再根据它们的走势确定积函数的大致图象。规律总结①首先，必须注意到原函数转化为二次函数类型，结合二次函数的图像即可求得最值，这是一类常见题型．②换元后确定sinx的取值范围是解决此类问题的关键所在．③求三角函数的值域，常常利用三角函数有界性：|sinx|≤1，|cosx|≤1和二次函数配方法求解．专题六函数的值域与最值例若π3≤x≤34π，求函数y＝sin2x＋sinx＋1的最大值和最小值．解：原函数等价于y＝sinx2＋sinx＋1＝t＋122＋34.由π3≤x≤34π，知sinx∈22，1，结合二次函数的图象可知，当sinx＝22，即x＝34π时，ymin＝2＋32，当sinx＝1，即x＝π2时，ymax＝3.213(sin)24x跟踪练习求下列函数的值域．(1)y＝－sin2x＋4sinx－1；(2)y＝－sin2x＋1－sinx，x∈－π4，π4.解：(1)y＝－sin2x＋4sinx－1＝－(sinx－2)2＋3.∵－1≤sinx≤1，∴当sinx＝－1时，ymin＝－6；当sinx＝1时，ymax＝2，∴函数的值域为[－6,2]．215(sin)24x例5已知函数f(x)=sin2x+cosx+a-(0≤x≤)的最大值为1，试求a的值。解：f(x)=-cos2x+cosx+a-=-(cosx-)2+a-0≤cosx≤1a-=1∴a=28523285218521418541例已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|π)的图像如图所示，试确定该函数的解析式。专题七求三角函数解析式，关键是：找对应点解：由图