选修4-4-一、平面直角坐标系

知识点考纲坐标系与简单曲线的极坐标方程1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程.参数方程1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.选修4-4坐标系与参数方程坐标法一．平面直角坐标系的建立求曲线的方程(轨迹方程),一般有下面几个步骤:1.建立适当的坐标系;2.设曲线上任一点M的坐标(,)xy;3.写出适合条件P的几何点集:()PMPM;4.将坐标代入条件()PM,列出方程(,)0fxy;5.化简方程(,)0fxy为最简形式;6.证明(查漏除杂).以上过程可以概括为一句话:建设现．．．(．限．)．代化．．.某信息中心接到位于正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正东、正西两个观测点同时听到一声巨响，正东听到的巨响时间比它们晚4秒.已知各观测点到中心的距离都是1020m.试确定巨响发生的位置.(假定声音传播的速度为340m/s,个观测点均在同一个平面上.)PBCAΓ信息中心Lxyo怎样建立直角坐标系才有利于我们解决这个问题？以接报中心为原点O，以BA方向为x轴，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，设P（x,y）为巨响发生点，由B、C同时听到巨响声，得|PC|=|PB|，故P在BC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=－x，因A点比B点晚4s听到爆炸声，yxBACPo则A(1020,0),B(－1020,0),C(0,1020)故|PA|－|PB|=340×4=1360|PA|－|PB||AB||PA||PB|由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线的左支上，)0,0(12222babyax)0(13405680340568010201020,6802222222222xyxacbca故双曲线方程为10680),5680,5680(,5680,5680POPyx故即答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处.m10680用y=－x代入上式，得，∵|PA||PB|,5680x例1.已知△ABC的三边a,b,c满足b2+c2=5a2,BE,CF分别为边AC,AB上的中线，建立适当的平面直角坐标系探究BE与CF的位置关系。(A)FBCEOyx以△ABC的顶点Ａ为原点Ｏ，边AB所在的直线x轴，建立直角坐标系，由已知，点A、B、F的坐标分别为解：A(0,0),B(c,0),F(,0).2cCxy设点的坐标为(x,y),则点E的坐标为（，）.222222225||||5||bcaACABBC由，可得到，222225[()].xycxcy即22222250.xyccx整理得(,),(,),222xycBEcCFxy因为2()()0.222xcyBECFcx所以因此，BE与CF互相垂直.（1）如果图形有对称中心，可以选择对称中心为坐标原点；（2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；（3）使图形上的特殊点尽可能地在坐标轴上。你能建立与上述解答中不同的直角坐标系解决这个问题吗？你认为建立直角坐标时应该注意些什么？思考：（1）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?xO2y=sinxy=sin2xy在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来的，就得到正弦曲线y=sin2x.12上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换，即：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来，得到点P'(x',y').坐标对应关系为：12x'=xy'=y121通常把叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?写出其坐标变换。2y=sinxy=3sinxxOyPP'设点P（x,y）经变换得到点为P'(x',y')伸长变换x'=xy'=3y2（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x?写出其坐标变换。2y=sinxxOyy=sin2xy=3sin2x设点P（x,y）经变换得到点为P'(x',y')x'=xy'=3y123伸缩变换定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换'(0):'(0)xxyy的作用下，点P(x,y)对应P’(x’,y’).称为平面直角坐标系中的伸缩变换。4把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。练习：1.在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换x'=2xy'=3y后的图形。(1)2x+3y=0;(2)x2+y2=1;2.在同一直角坐标系下，求满足下列图形的伸缩变换：曲线4x2+9y2=36变为曲线x'2+y'2=13.在同一直角坐标系下，经过伸缩变换后，曲线C变为x'2+9y'2=1，求曲线C的方程并画出图形。x'=3xy'=y思考：在伸缩下，椭圆是否可以变成圆？抛物线，双曲线变成什么曲线？4圆吗？变为中心在原点的单位）（）（能把椭圆1419122xx课堂小结：（1）体会坐标法的思想，应用坐标法解决几何问题；（2）掌握平面直角坐标系中的伸缩变换。作业：P81,2，4,6预习：极坐标系（书本P9-P11）