【全国省级竞赛word】2018年全国高中数学联赛(贵州赛区)预赛试题

2018年贵州省高中数学联赛试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：每小题6分，本大题共30分.1.小王在word文档中设计好一张4A规格的表格，根据要求，这种规格的表格需要设计1000张，小王欲使用“复制——粘贴”（用鼠标选中表格，右键点击“复制”，然后在本word文档中“粘贴”）的办法满足要求.请问：小王需要使用“复制——粘贴”的次数至少为（）A．9次B．10次C．11次D．12次2.已知一双曲线的两条渐近线方程为30xy和30xy，则它的离心率是（）A．2B．3C．22D．313.在空间直角坐标系中，已知(0,0,0)O，(1,0,0)A，(0,1,0)B，(0,0,1)C，则到面OAB、面OBC、面OAC、面ABC的距离相等的点的个数是（）A．1B．4C．5D．无穷多4.若圆柱被一平面所截，其截面椭圆的离心率为223，则此截面与圆柱底面所成的锐二面角是（）A．1arcsin3B．1arccos3C．2arcsin3D．2arccos35.已知等差数列na及nb，设12nnAaaa，12nnBbbb，若对*nN，有3553nnAnBn，则106ab（）A．3533B．3129C．17599D．15587二、填空题（每小题6分，本大题共60分）6.已知O为ABC所在平面上一定点，动点P满足()ABACOPOAABAC，其[0,)，则P点的轨迹为．7.牛得亨先生、他的妹妹、他的儿子，还有他的女儿都是网球选手.这四人中有以下情况：①最佳选手的孪生同胞与最差选手性别不同；②最佳选手与最差选手年龄相同.则这四人中最佳选手是．8.方程组2226()6xyxyxy的实数解为．9.如图，在ABD中，点C在AD上，2ABC，6DBC，1ABCD，则AC．10.函数2222121013zxxxx的最小值是．11.若边长为6的正ABC的三个顶点到平面的距离分别为1，2，3，则ABC的重心G到平面的距离为．12.若实数a使得不等式222xaxaa对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围．13.若方程(0,1)xaxaa有两个不等实根，则实数a的取值范围是．14.顺次连结圆229xy与双曲线3xy的交点，得到一个凸四边形.则此凸四边形的面积为．15.函数2(5)sin1(010)yxxx的所有零点之和等于．三、解答题（每小题15分，本大题共60分）16.已知函数232yxxx，求该函数的值域.17.已知椭圆C：22221(0)xyabab的离心率22e，直线21yx与C交于A、B两点，且859AB.（1）求椭圆C的方程；（2）过点(2,0)M的直线l（斜率不为零）与椭圆C交于不同的两点E、F（E在点F、M之间），记OMEOMFSS，求的取值范围.18.证明：（1）1111112212221kkkk(2,)nnN；（2）分别以1，12，13，…，1n，…为边长的正方形能互不重叠地全部放入一个边长为32的正方形内.19.已知梯形ABCD，边CD、AB分别为上、下底，且90ADC，对角线ACBD，过D作DEBC于点E.（1）证明：22ACCDABCD；（2）证明：22AEACCDBEACCD.参考答案一、选择题1-5:BACBB二、填空题6.BAC的角平分线7.牛得亨先生的女儿8.13xy或31xy9.3210.1011.240,,,23312.33,2213.11eae14.6515.60三、解答题16.解：令1ux，则2331yuu，则1u，设210uut，则min01tu，且11()2utt.当0u时，3111()3()22yttttt23tt，由于01t，故函数单调递减，所以1236y.当0u时，3111()3()22yttttt123322tt（当且仅当22t，即4324x时取等号）所以函数的值域为(,322][6,).17.解：（1）由22e得22acb，所以椭圆的方程为222220xyb，由22222021xybyx得2298(22)0xxb，所以26436(22)b，由859AB得2851299，即21b，所以椭圆C的方程为2212xy.（2）设l：2xmy，且11(,)Exy、22(,)Fxy，由222202xyxmy得22(2)420mymy，所以由0解得22m，且12242myym，12222yym①由121212OMEOMFOMySSOMy得，12yy②由①②得2222211(1)884mmm，所以2118(1)4，解得0322，且1.18.证明：（1）111112212221kkkk2111212222kkkkkk个.（2）由（1）知，1111112212221kkkk，故以边长为12k，121k，122k，…，1121k的正方形可以并排放入底为1，高为12k的矩形内，而不重叠.取2,3,4k，…，即得底分别为22311122121，33411122121，44511122121，高分别为212，312，412，…的一系列矩形，这些矩形的底小于1，高的和为223411(1)11122lim122212nx111lim(1)222nx.因此，以1，12，13，…，1n，…为边长的正方形中，除了边长为1，12，13的正方形外，其余的正方形全部可以放入底为1，高为12的矩形中（如图阴影部分）.而边长为1，12，13的三个正方形显然可以放入底为32，高为1的矩形内（如图）.19.证明：如图.（1）由于90ADC，故222ACCDAD.因为对角线ACBD，所以90DCABDCADB.而90ADCBAD，则ACDBDA，故2ADABADABCDCDAD.因此，有22ACCDABCD.（2）由于90ADC，故222ACCDAD，所以222ACCDACCDACCDADACCDACABCDAB.因为180BADDEB，所以A、B、E、D四点共圆，故AEBADB.由于90BACCADADB，且AEBBAC，EBAABC，则ABECBA，故AECABEAB.所以22AEACCDBEACCD.