第3章 高阶谱估计

第三章高阶谱估计2020/2/241第三章高阶谱估计3.1累积量及高阶谱3.2高阶谱估计3.3有色噪声背景下的频率估计3.4高阶谱的应用第三章高阶谱估计2020/2/2423.1.1、累积量的定义1、随机变量的特征函数和矩函数dxexfeExixi)(][)(为x的第一特征函数。其中)(xf为概率密度函数}{,][)(kkkkxjxjxxpppeeEk3.1累积量与高阶谱第三章高阶谱估计2020/2/243第二特征函数：)(ln)(随机变量的特征函数1)0()(由于0)(xf第三章高阶谱估计2020/2/244高斯分布的随机变量特征函数)2exp()(222)(ln)(22)2(2221)(ef其特征函数为:第三章高阶谱估计2020/2/245deej222/21)(令2/z则dzezjz221)(根据公式：ABACCBxAxeAdxe222则2221)(e第三章高阶谱估计2020/2/2461、矩函数的定义)()()(oimkkkdxxfxxEmkkk)(][][1xEm][22xEmdxexfeExixi)(][)(][)()(xikkkkkexEidd第三章高阶谱估计2020/2/2472、累积量的定义0)()(kkkkddic对于随机矢量,],,,[21TnxxxX其阶数为nkkkr21的累量为021,,,212121)(nnnknkkrrkkkicΨ(V)第三章高阶谱估计2020/2/248121nkkk1,,1,121),,,(ccxxxcumnxn当时,其n阶累量可记为:第三章高阶谱估计2020/2/24911mc2122mmc31213323mmmmc4122131224461243mmmmmmmc对于零均值随机变量,三阶以下的矩与累量相等,而422443mmmc(M-C公式):3.高阶矩与高阶累量的关系第三章高阶谱估计2020/2/24104、平稳随机过程的累量)]()()([),,,(11121kkkxnxnxnxEm),,,(121kkxc)](,),(),([11knxnxnxcum对于零均值实平稳随机过程{x(n)},其k阶矩(k阶相关函数)和k阶累量分别为:第三章高阶谱估计2020/2/241144(0,0,0)xxcγxxrc33)0,0(xxrc222)0(为方差为斜度为峭度0321当时,特别称第三章高阶谱估计2020/2/24125、高斯过程的累积量01c22c0kc)3(k为奇数为偶数kkkmkk0)]1(,531[2)(ln)(22)2exp()(22单个高斯随机变量n维零均值高斯随机矢量Tnxxx],,,[21x第三章高阶谱估计2020/2/2413nnnnnnccccccccc212222111211c其方差矩阵为nkixxEckiik,2,1,][其中令联合概率密度函数为xcxcx12/12/21exp)2(1)(Tnp高斯随机矢量5、高斯过程的累积量第三章高阶谱估计2020/2/2414cωωωT21exp)(Tn],,,[21ωnijinjijTc112121)(ln)(cωωωω则特征函数为：显然，与单个变量类似，由于第二特征函数仅为的二阶多项式，大于二阶的导函数必然为零。5、高斯过程的累积量第三章高阶谱估计2020/2/2415对于任何高斯随机过程{x(n)}的阶次高于二的k阶累量恒等于零，即0),,,(121kkxc)3(k这是高阶累量作为数学工具，抑制高斯噪声的基础结论第三章高阶谱估计2020/2/2416高斯过程的高阶矩只取决于二阶矩,也就是高阶矩不提供比二阶矩更多的信息.与某一高斯过程具有相同二阶矩的任意随机过程,其k2的高阶累量是衡量该过程偏离高斯分布的量度.第三章高阶谱估计2020/2/2417常量乘积的线性),,(),,(1111kkiikkxxcumxxcum各随机变量的对称性),,(),,(11kiikxxcumxxcum3.1.2、累量的性质第三章高阶谱估计2020/2/2418累量的性质),,(),,(),,(1111kkkkyycumxxcumyxyxcum此性质说明:两统计独立的随机过程之和的累量等于各累量之和.所以,非高斯信号与独立高斯噪声之和的k(k2)阶累量就等于信号的累量.即累量可抑制高斯噪声.若{x}和{y}统计独立,则第三章高阶谱估计2020/2/2419累量的性质设有一组线性独立的随机变量和随机变量y，且有：，则y的k阶累积量为：其中是随机变量的k阶累积量，i=1，2，…，P.第三章高阶谱估计2020/2/2420两统计独立的随机向量的组合向量的累量恒为零.即若{x}与{y}统计独立,则0),,,,,(11kkyyxxcum累量的性质第三章高阶谱估计2020/2/2421其它00),,,(121121kkkkrc),,,(121kkc推论:如果{w(t)}是独立同分布随机过程(I.I.d),则其累量为δ函数.即)](,),(),([11knnncum式中，为常量。所以IID过程{w(t)}又称广义白噪声过程kr第三章高阶谱估计2020/2/2422归一化累积量在盲解卷积中，有时希望累积量与信号的幅度无关，即W和aW的累积量是一样的，a是非零常数。此时就要定义(p，q)阶的归一化累积量：其中不为零。通常阶数p、q取为pq。一般取q=2，这时。当采用归一化累积量时，显然有成立，即归一化累积量与信号的幅度无关。第三章高阶谱估计2020/2/24233.1.3、高阶谱1、定义：假定随机过程{x(n)}的k阶累量是绝对可和的，则其k阶谱是k阶累量的(k-1)维傅里叶变換，即111111exp),,(),,(11kjjjkkxkkxicsk第三章高阶谱估计2020/2/2424当k=3时,三阶谱(双谱),并记为：),(21xB四阶谱(三谱)：),,(321xT高阶谱的逆变換公式为：11111211111),,()(),,(kikkxkkkxddesckjjj第三章高阶谱估计2020/2/2425①高斯过程的k2的k阶谱恒为零；②非高斯的、广义白噪声过程(I.I.d.)的高阶谱为平坦谱，即kxkkxS),,(11(常数)两种特殊的高阶谱：第三章高阶谱估计2020/2/24262、高阶谱的性质:),,(111111),,(),,(kkxikkxkkxess高阶谱一般为复函数,即可表示相位信息第三章高阶谱估计2020/2/2427高阶谱是以2π为周期的多维周期函数,即)2,,2,2(),,(11221111kkkxkkxlllss包含全部信息的主值周期,一般指下述区域:j1,,2,1kj2、高阶谱的性质:第三章高阶谱估计2020/2/2428高阶谱具有对称性(源于累量的对称性),以双谱为例),(),(),(2211221xxxBBB),(),(121211xxBB),(212xB此外,对于实信号还应满足共轭对称性,即),(),(221xxBB2、高阶谱的性质:第三章高阶谱估计2020/2/2429所以,双谱共有12个对称区域(如图所示)第三章高阶谱估计2020/2/2430综合考虑周期性与对称性,双谱的主值区域为:21212,,0第三章高阶谱估计2020/2/2431第三章高阶谱估计2020/2/24323.2高阶谱估计从己知一段样本序列{x(1),x(2),…….,x(N)}出发,进行高阶谱估计的方法,与功率谱估计类似,也可分为非参数法和参数法两大类。3.2.1、非参数法谱估计1、基本思路：假定n=0或n=N+1范围内,样本值x(n)=0,由高阶谱的定义直接构造谱估计式。第三章高阶谱估计2020/2/24332、优缺点：非参数法高阶谱估计的优点是简单、易于实现、可以使用FFT算法。但与功率谱估计的传统方法一样，它存在以下三个主要问题：频谱泄漏：平稳随机过程的样本序列应为双边无限序列，在非参数法高阶谱估计中假定n=0或n=N+1时x(n)恒等于零，必将导致矩函数的估计结果被“截尾”，与传统的功率谱估计方法类似，这将在所估计的高阶谱中产生“频谱泄漏”。为改善高阶谱估计的性能，减少“频谱泄漏”，必须对矩函数估计值进行适当的加窗处理。第三章高阶谱估计2020/2/2434频率分辨率：在非参数法高阶谱估计中，其富里叶变换都是用DFT实现的。因此，最后得到的高阶谱谱线间的距离(频率分辨率)必然与所用的样本序列的长度成反比。即用于计算DFT的时间序列长度越长，则频率分辨率越高。第三章高阶谱估计2020/2/2435估计方差：可以证明,非参数法高阶谱估计是渐近无偏的，但一般存在较大的估计方差。为减少估计方差，可采用时域平滑或频域平滑的方法，但平滑的结果必然使频率分辨率下降。因此，估计方差与频率分辨率之间的矛盾是非参数法谱估计的固有矛盾。第三章高阶谱估计2020/2/243610)()(102NkenxkXNnnkiN2)(1)(kXNkPx)()()(1),(212121kkXkXkXNkkBx)()()()(1),,(321321321kkkXkXkXkXNkkkTx3、确定性信号的高阶谱第三章高阶谱估计2020/2/2437平滑周期图法(直接法)102)()()()(1MnnMinjjexMYKjkkYYYBjkjLLkLLkkjj,,2,1)(1),(2121)()()()()(2021)(2211111211KjjxBKB121)(21),(1),(KjjxBKB121)(21),(1),(KMN01)12(NLM00/Nfs4、主要方法：第三章高阶谱估计2020/2/2438MATLAB实现：[bspec,waxis]=bispecd(x,nfft,wind,samp_seg,overlap)x：时域信号；nfft：FFT的长度；wind：Rao最优窗函数的长度；samp_seg：每个分段的长度；overlap：每段重迭长度；bspec：等高线显示的直接法双谱；waxis：频率点矩阵；第三章高阶谱估计2020/2/2439间接法：先估计高阶累量，再进行DFT。MATLAB实现：[bspec,waxis]=bispeci(x,nlag,samp_seg,overlap,flag,nfft,wind,)x：时域信号；nfft：FFT的长度；wind：窗函数类型；samp_seg：每个分段的长度；overlap：每段重迭长度；nlag：计算累积量的最大延迟；flag：是否有偏；bspec：等高线显示的间接法双谱；waxis：频率点矩阵；4、主要方法：第三章高阶谱估计20