高二数学同步测试―选修2-1空间向量与立体几何2

AA1DCBB1C15图命题人：罗吉宏2012.12.30选修2-1空间向量与立体几何期末复习卷说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷70分，第二卷80分，共150分；时间120分钟．温馨提示：同学们可于2013年1月1日后登录佛山三中数学科组网页查阅试题答案，自行订正。一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）．1、在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB＝2BB1，则AB1与C1B所成的角的大小为（）A．60°B．90°C．105°D．75°2、如图，ABCD—A1B1C1D1是正方体，B1E1＝D1F1＝411BA，则BE1与DF1所成角的余弦值是（）A．1715B．21C．178D．233、下列等式中，使M,A,B,C四点共面的个数是（B）①;OMOAOBOC②111;632OMOAOBOC③0;MAMBMC④0OMOAOBOC.A.1B.2C.3D.44、若A)12,5,(xxx，B)2,2,1(xx，当BA取最小值时，x的值等于（C）A．19B．78C．78D．14195、已知111ABCABC是各条棱长均等于a的正三棱柱，D是侧棱1CC的中点．点1C到平面1ABD的距离（）A．a42B．a82C．a423D．a226、在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，则平面1ABC与平面11ACD间的距离（）A．63B．33C．332D．237、在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝21PA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC，则直线OD与平面PBC所成角的正弦值（）A．621B．338C．60210D．302108、在直三棱柱111CBAABC中，底面是等腰直角三角形，90ACB，侧棱21AA，D，E分别是1CC与BA1的中点，点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G．则BA1与平面ABD所成角的余弦值（）A．32B．37C．23D．739、正三棱柱111CBAABC的底面边长为3，侧棱3231AA，D是CB延长线上一点，且BCBD，则二面角BADB1的大小（）A．3B．6C．65D．3210、正四棱柱1111DCBAABCD中，底面边长为22，侧棱长为4，E，F分别为棱AB，CD的中点，GBDEF．则三棱锥11EFDB的体积V（）A．66B．3316C．316D．16二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题5分，共20分）．11、已知A(3,5,-7),B(-2,4,3),则AB在坐标平面yoz上的射影的长度为_____12、若向量,94,2kjibkjia，则这两个向量的位置关系是___________。13、已知空间四边形OABC，点,MN分别为,OABC的中点，且cCObBOaAO,,，用a，b，c表示NM，则NM=_______________新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆14、若(3)ab)57(ba，且(4)ab)57(ba，则a与b的夹角度数为____________新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共80分）．15．（12分）已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、M分别是A1C1、A1D和B1A上任一点，（1）求证：平面A1EF∥平面B1MC．（2）求平面A1BC1与平面ABCD所成二面角余弦值的大小16．（13分）如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点．（1）求证：EF∥平面PAD；（2）求证：EF⊥CD；（3）若PDA＝45，求EF与平面ABCD所成的角的大小．17．（13分）已知棱长为1的正方体AC1，E、F分别是B1C1、C1D的中点．（1）求证：E、F、D、B共面；（2）求点A1到平面的BDEF的距离；（3）求直线A1D与平面BDEF所成的角．18．（14分）已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E为棱AB的中点，求：（Ⅰ）D1E与平面BC1D所成角的余弦值大小；（Ⅱ）二面角D－BC1－C的余弦值大小；（Ⅲ）异面直线B1D1与BC1之间的距离．A1B1C1D1CDyz19、（14分）已知斜三棱柱111ABCABC,90BCA,2ACBC,1A在底面ABC上的射影恰为AC的中点D,又知11BAAC.(Ⅰ)求证：1AC平面1ABC；(Ⅱ)求1CC到平面1AAB的距离；(Ⅲ)求二面角1AABC的余弦值.BACD1A1B1Cxyz20、（14分）已知矩形ABCD中，12ADAB，，将ΔABD沿BD折起，使点A在平面BCD内的射影落在DC上，E、F、G分别为棱BD、AD、AB的中点。（I）求证：DA⊥平面ABC；（II）求点C到平面ABD的距离；（III）求二面角G—FC—E的余弦值。2012.12.30选修2-1空间向量与立体几何期末复习卷参考答案一、选择题题号12345678910答案BABCABDBAC二、填空题11、10112、ab13、1()2bca14、0三、解答题15、（1）略（2）解：如图建立空间直角坐标系，11CA＝（－1，1，0），BA1＝（0，1，－1）设1n、2n分别是平面A1BC1与平面ABCD的法向量，由011BAn可解得1n＝（1，1，1）0111CAnzyxD1A1DB1C1CBAxyzABCDPFE易知2n＝（0，0，1），所以，212121,cosnnnnnn＝33由图可知，平面A1BC1与平面ABCD所成的二面角为锐角，所以平面A1BC1与平面ABCD所成的二面角余弦值大小为33。16．(12分)证：如图，建立空间直角坐标系A－xyz，设AB＝2a，BC＝2b，PA＝2c，则：A(0,0,0)，B(2a,0,0)，C(2a,2b,0)，D(0,2b,0)，P(0,0,2c)∵E为AB的中点，F为PC的中点∴E(a,0,0)，F(a,b,c)(1)∵→EF＝(0,b,c)，→AP＝(0,0,2c)，→AD＝(0,2b,0)∴→EF＝12(→AP＋→AD)∴→EF与→AP、→AD共面又∵E平面PAD∴EF∥平面PAD．(2)∵→CD＝(-2a,0,0)∴→CD·→EF＝(-2a,0,0)·(0,b,c)＝0∴CD⊥EF．(3)若PDA＝45，则有2b＝2c，即b＝c，∴→EF＝(0,b,b)，→AP＝(0,0,2b)∴cos→EF，→AP＝2b22b·2b＝22∴→EF，→AP＝45∵→AP⊥平面AC，∴→AP是平面AC的法向量∴EF与平面AC所成的角为：90－→EF，→AP＝45．17．解：（1）略．（2）如图，建立空间直角坐标系D—xyz,则知B（1，1，0），).1,21,0(),1,1,21(FE设.),,(的法向量是平面BDEFzyxn)1,21,0(),0,1,1(,,DFDBDFnDBn由得0210zyDFnyxDBn则.21yzyx令)21,1,1(,1ny得．设点A1在平面BDFE上的射影为H，连结A1D，知A1D是平面BDFE的斜线段．.23)21)(1(10)1)(1(),1,0,1(1nADDA.1222,cos||||.2223223||||,cos,23)21(1)1(||,2)1()1(||111111112222221HADADAHAnDAnDAHADAnODA又即点A1到平面BDFE的距离为1．（3）由（2）知，A1H=1，又A1D=2，则△A1HD为等腰直角三角形，4511HDADHA.45,,,11111DHABDFEDADHABDFEDAHDBDFEHA所成的角与平面就是直线上的射影在平面是平面18．解：建立坐标系如图，则2,0,0A、2,2,0B，0,2,0C，12,0,2A，12,2,2B，10,0,2D，2,1,0E，12,2,2AC，12,1,2DE，0,2,0AB，10,0,2BB．（Ⅰ）不难证明1AC为平面BC1D的法向量，∵1111113cos,9ACDEACDEACDE∴D1E与平面BC1D所成的角的余弦值大小为39（Ⅱ）1AC、AB分别为平面BC1D、BC1C的法向量，∵1113cos,3ACABACABACAB，∴二面角D－BC1－C的余弦值大小为33．A1B1C1D1ABCDExyz（Ⅲ）∵B1D1∥平面BC1D，∴B1D1与BC1之间的距离为111233ACBBdAC．19、解法1：(Ⅰ)∵1AD平面ABC,∴平面11AACC平面ABC,又BCAC,∴BC平面11AACC,得1BCAC,又11BAAC,∴1AC平面1ABC.(Ⅱ)∵11ACAC,四边形11AACC为菱形,故12AAAC,又D为AC中点,知∴160AAC.取1AA中点F,则1AA平面BCF,从而面1AAB面BCF,过C作CHBF于H,则CH面1AAB,在RtBCF中,32,BCCF,故2217CH,即1CC到平面1AAB的距离为2217CH.(Ⅲ)过H作1HGAB于G,连CG,则1CGAB,从而CGH为二面角1AABC的平面角,在1RtABC中,12ACBC,∴2CG,在RtCGH中,427sinCHCGCGH,故二面角1AABC的余弦值为427.解法2：(Ⅰ)如图,取AB的中点E,则//DEBC,∵BCAC,∴DEAC,又1AD平面ABC,以1,,DEDCDA为,,xyz轴建立空间坐标系,则(0,1,0)A,(0,1,0)C,(2,1,0)B,1(0,0,)At,1(0,2,)Ct,1(0,3,)ACt,1(2,1,)BAt,(2,0,0)CB,由10ACCB,知1ACCB,又11BAAC,从而1AC平面1ABC.(Ⅱ)由21130ACBAt,得3t.设平面1AAB的法向量为(,,)nxyz,13(0,1,)AA,(2,2,0)AB,130220nAAyznABxy,设1z,则33(,,1)n.…………6分∴点1C到平面1AAB的距离1||2217||ACnnd.(Ⅲ)设面1ABC的法向量为(,,)mxyz,13(0,1,)CA,(2,0,0)CB,∴13020mCAyzmCBx.设1z,则3(0,,1)m,故77||||cos,mnmnmn,BAC1A1B1CDGHFBACD1A1B1Cxyz由图可知，二面角1AABC为锐角，故二面角1AABC的余弦值为427.20解：如图，以CB所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，过点C，平面BDC方向向上的法向量为Z轴建立空间直角坐标系。则C（0，0，0），A（0，22，22），B（1，0，0），D（0，2，0），E（21，22，0），F（0，423，42），G（21，42，42）（I）证明：)001()22221()22220(，，，，，，，，CBBADA且BCBB