高二数学选修1-1椭圆几何性质(3)ppt

2.1.2椭圆的简单几何性质(三)1.巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆的三种位置关系，特别是直线与椭圆相交的有关问题.学习目标学习目标[知识提炼·梳理]1．直线与椭圆的位置关系设直线l的方程为y＝kx＋m，椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1，将直线方程与椭圆方程联立整理成关于x(或y)的一元二次方程形式：Ax2＋Bx＋C＝0(或Ay2＋By＋C＝0)．知识点一点与椭圆的位置关系点P(x0，y0)与椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的位置关系：点P在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1；点P在椭圆内部⇔x20a2＋y20b21；点P在椭圆外部⇔x20a2＋y20b21.答案直线y＝kx＋m与椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的位置关系判断方法：联立y＝kx＋m，x2a2＋y2b2＝1.知识点二直线与椭圆的位置关系消去y得到一个关于x的一元二次方程.位置关系解的个数Δ的取值相交___解Δ__0相切___解Δ__0相离___解Δ__0两一无＝知识点三弦长公式设直线方程为y＝kx＋m(k≠0)，椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)或y2a2＋x2b2＝1(ab0)，直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1－x22＋y1－y22，∴|AB|＝x1－x22＋kx1－kx22＝1＋k2x1－x22＝1＋k2x1＋x22－4x1x2，或|AB|＝1ky1－1ky22＋y1－y22＝1＋1k2y1－y22＝1＋1k2y1＋y22－4y1y2.其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程求得.返回[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线l与椭圆C相切的充要条件是直线l与椭圆C只有一个公共点．()(2)过椭圆外一点有一条直线与椭圆相切．()(3)过椭圆内一点的直线必与椭圆相交．()解析：(1)当直线与椭圆有一个公共点时直线与椭圆相切，则正确．(2)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切，则错误．(3)过椭圆内部的点的直线必与椭圆有两个交点，则相交，正确．答案：(1)√(2)×(3)√2．过椭圆x25＋y24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为()A.53B.56C．2D．3解析：由题意，知右焦点坐标为(1，0)，直线的方程为y＝2(x－1)，将其与x25＋y24＝1联立，消去y，得3x2－5x＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝53，x1x2＝0，所以|AB|＝1＋k2·|x1－x2|＝1＋22×532－4×0＝553.设原点到直线的距离为d，则d＝|2|12＋22＝25.所以S△OAB＝12|AB|·d＝12×553×25＝53.答案：A3.过椭圆x24＋y2＝1的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于A，B两点，则|AB|等于()A．4B．23C．1D．43解析：a2＝4，b2＝1，则c2＝a2－b2＝3则直线AB为x＝3，代入椭圆得y2＝1－x24＝14所以A(3，12)，B(3，12)．则|AB|＝1.答案：C题型一直线与椭圆的位置关系例1在椭圆＝1上求一点P，使它到直线l：3x－2y－16＝0的距离最短，并求出最短距离.x24＋y27解设与椭圆相切并与l平行的直线方程为y＝32x＋m，代入x24＋y27＝1，并整理得4x2＋3mx＋m2－7＝0，Δ＝9m2－16(m2－7)＝0⇒m2＝16⇒m＝±4，故两切线方程为y＝32x＋4和y＝32x－4，显然y＝32x－4距l最近，d＝|16－8|32＋－22＝813＝81313，切点为P32，－74.类型1直线与椭圆的位置关系(自主研析)[典例1]对不同的实数值m，讨论直线y＝x＋m与椭圆x24＋y2＝1的位置关系．[自主解答]由y＝x＋m，x24＋y2＝1，消去y，得x24＋(x＋m)2＝1，整理得5x2＋8mx＋4m2－4＝0.Δ＝(8m)2－4×5(4m2－4)＝16(5－m2)．当－5＜m＜5时，Δ＞0，直线与椭圆相交；当m＝－5或m＝5时，Δ＝0，直线与椭圆相切；当m＜－5或m＞5时，Δ＜0，直线与椭圆相离．解析答案跟踪训练1已知椭圆x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点P，使P到直线l：x－y＋4＝0的距离最短，并求出最短距离.解设与直线x－y＋4＝0平行且与椭圆相切的直线为x－y＋a＝0，联立方程x2＋8y2＝8，x－y＋a＝0，得9y2－2ay＋a2－8＝0，Δ＝4a2－36(a2－8)＝0，∴与直线l距离较近的切线方程为x－y＋3＝0，最小距离为d＝|4－3|2＝22.解得a＝3或a＝－3，由x2＋8y2＝8，x－y＋3＝0，得x＝－83，y＝13，即P(－83，13).[变式训练]已知椭圆x225＋y29＝1，直线l：4x－5y＋40＝0.椭圆上是否存在一点，它到直线l的距离最小？最小距离是多少？解：如图，由直线l的方程与椭圆的方程可以知道，直线l与椭圆不相交，设直线m平行于直线l，则直线m的方程可以写成4x－5y＋k＝0.①由方程组4x－5y＋k＝0，x225＋y29＝1消去y，得25x2＋8kx＋k2－225＝0.②令方程②的根的判别式Δ＝0，得64k2－4×25(k2－225)＝0.③解方程③得k1＝25，或k2＝－25.由图可知，当k＝25时，直线m与椭圆的交点到直线l的距离最近，此时直线m的方程为4x－5y＋25＝0.直线m与直线l间的距离d＝|40－25|42＋（－5）2＝154141.所以，最小距离是154141.解析答案题型二直线与椭圆的相交弦问题例2已知点P(4,2)是直线l被椭圆＝1所截得的线段的中点，求直线l的方程.解由题意可设直线l的方程为y－2＝k(x－4)，而椭圆的方程可以化为x2＋4y2－36＝0.将直线方程代入椭圆方程有(4k2＋1)x2－8k(4k－2)x＋4(4k－2)2－36＝0.x236＋y29所以x1＋x2＝8k4k－24k2＋1＝8，所以k＝－12.所以直线l的方程为y－2＝－12(x－4)，即x＋2y－8＝0.反思与感悟解析答案跟踪训练2设F1，F2分别是椭圆E：＝1(ab0)的左，右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|BF1|.(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；解由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3，|F1B|＝1.因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8.故|AF2|＝2a－|AF1|＝8－3＝5.x2a2＋y2b2解析答案(2)若cos∠AF2B＝35，求椭圆E的离心率.解设|F1B|＝k，则k0，且|AF1|＝3k，|AB|＝4k.由椭圆定义可得|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.在△ABF2中，由余弦定理可得|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|cos∠AF2B，即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－65(2a－3k)·(2a－k)，化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k0，故a＝3k.于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k.因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A，故△AF1F2为等腰直角三角形.从而c＝22a，所以椭圆E的离心率e＝ca＝22.类型2弦长问题[典例2]已知椭圆x236＋y29＝1和点P(4，2)，直线l经过点P且与椭圆交于A、B两点．当直线l的斜率为12时，求线段AB的长度．解：由已知可得直线l的方程为y－2＝12(x－4)，即y＝12x.由y＝12x，x236＋y29＝1，可得x2－18＝0，若设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则x1＋x2＝0，x1x2＝－18.于是|AB|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2＝（x1－x2）2＋14（x1－x2）2＝52（x1＋x2）2－4x1x2＝52×62＝310.所以线段AB的长度为310.归纳升华1．弦长的定义：当直线与椭圆相交时，两交点间的距离，称为弦长．2．求弦长的方法：将直线方程与椭圆方程联立，得到关于x的一元二次方程，然后运用韦达定理，找到根与系数的关系，再求弦长，不必具体求出方程的根，即不必求出直线与椭圆的交点坐标，这种方法是求弦长常采用的方法．3．弦长公式：|AB|＝1＋k2（x1＋x2）2－4x1x2或|AB|＝1＋1k2（y1＋y2）2－4y1y2类型3中点弦问题(巧思妙解)[典例3]已知椭圆x216＋y24＝1，过点P(2，1)作一条弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程．[常规解答]由题意，知直线斜率存在，故可设所求直线的方程为y－1＝k(x－2)，代入椭圆方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0，设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是所得方程的两个根，所以x1＋x2＝8（2k2－k）4k2＋1.因为P为弦AB的中点，所以2＝x1＋x22＝4（2k2－k）4k2＋1，解得k＝－12，所以所求直线的方程为x＋2y－4＝0.[巧妙解答]设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为P为弦AB的中点，所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.又因为点A，B在椭圆上，所以x21＋4y21＝16，x22＋4y22＝16，两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，所以y1－y2x1－x2＝－（x1＋x2）4（y1＋y2）＝－12，即kAB＝－12，所以所求直线的方程为y－1＝－12(x－2)，即x＋2y－4＝0.2．点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系．解析答案题型三椭圆中的最值(或范围)问题例3已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；解由4x2＋y2＝1，y＝x＋m得5x2＋2mx＋m2－1＝0，因为直线与椭圆有公共点，所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0，解得－52≤m≤52.解析答案(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.解设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由(1)知：5x2＋2mx＋m2－1＝0，所以x1＋x2＝－2m5，x1x2＝15(m2－1)，所以|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝2x1－x22＝2[x1＋x22－4x1x2]＝24m225－45m2－1＝2510－8m2.∴当m＝0时，|AB|最大，即被椭圆截得的弦最长，此时直线方程为y＝x.反思与感悟解析答案跟踪训练3如图，点A是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的短轴位于y轴下方的端点，过点A且斜率为1的直线交椭圆于点B，若P在y轴上，且BP∥x轴，AB→·AP→＝9.(1)若点P的坐标为(0,1)，求椭圆C的标准方程；(2)若点P的坐标为(0，t)，求t的取值范围.解析答案返回解后反思一题多解求解椭圆中弦所在的直线方程例4已知椭圆x216＋y24＝1，过点P(2,1)作一条弦，使弦在这点被平分，求此弦所在的直线方程.解析答案1.直线y＝x＋2与椭圆＝1有两个公共点，则m的取值范围是()A.m1B.m1且m≠3C.m3D.m0且m≠3x2m＋y23解析由y＝x＋2，x2m＋y23＝1⇒(3＋m)x2＋4mx＋m＝0，∵Δ0，∴m1或m0.又∵m0且m≠3，∴m1且m≠3.B课堂演练解析答案123452.已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m0)，则此椭圆的离心率为()A.13B.33C.22D.1