选修1-1第三章导数及其应用复习课

选修1-1导数与及其运用期末复习1.理解导数的几何意义并能解决有关斜率、切线方程等的问题.2.掌握初等函数的求导公式，并能够综合运用法则求函数的导数.3.掌握利用导数判断函数单调性的方法，会用导数求函数的极值和最值.4.会用导数解决一些简单的实际应用问题．问题导学题型探究达标检测学习目标知识点一在x＝x0处的导数答案问题导学新知探究点点落实(1)定义：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0ΔyΔx＝，称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数．limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx(2)几何意义：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数是函数图象在点(x0，f(x0))处的切线．斜率答案知识点二导函数当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，称为，f′(x)＝y′＝__________________.导函数limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx知识点三基本初等函数的导数公式答案函数导数y＝cy′＝y＝xn(n∈Q*)y′＝y＝sinxy′＝y＝cosxy′＝y＝ax(a0)y′＝y＝exy′＝y＝logax(a0且a≠1)y′＝________y＝lnxy′＝_________0nxn－1cosx－sinxaxlnaex1xlna1x知识点四导数的运算法则答案和差的导数[f(x)±g(x)]′＝积的导数[f(x)·g(x)]′＝商的导数＝(g(x)≠0)f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)fxgx′f′xgx－fxg′x[gx]2知识点五函数的单调性、极值与导数答案(1)函数的单调性与导数在某个区间(a，b)内，如果，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．(2)函数的极值与导数①极大值：在点x＝a附近，满足f(a)≥f(x)，当xa时，，当xa时，，则点a叫做函数的极大值点，f(a)叫做函数的极大值；②极小值：在点x＝a附近，满足f(a)≤f(x)，当xa时，，当xa时，，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．f′(x)0f′(x)0f′(x)0f′(x)0f′(x)0f′(x)0知识点六求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤答案(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的．(2)将函数y＝f(x)的各极值与比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．极值端点处函数值f(a)，f(b)返回类型一导数的概念及其应用解析答案例1已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求满足斜率为4的曲线的切线方程；题型探究重点难点个个击破解设切点坐标为(x0，y0)，∵f′(x0)＝3x20＋1＝4，∴x0＝±1，∴x0＝1，y0＝－14或x0＝－1，y0＝－18.∴切线方程为y＝4x－18或y＝4x－14.解析答案(2)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；解∵f′(x)＝3x2＋1，且(2，－6)在曲线f(x)＝x3＋x－16上，∴在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.∴切线方程为y＝13x－32.解析答案(3)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程．解设直线l的方程为y＝kx，切点为(x0，y0)，则斜率k＝y0－0x0－0＝x30＋x0－16x0，又∵k＝f′(x0)＝3x20＋1，∴x30＋x0－16x0＝3x20＋1，解得x0＝－2，∴k＝13.∴直线l的方程为y＝13x.类型二导数与函数的单调性、极值与最值解析答案例2已知a，b为常数且a0，f(x)＝x3＋32(1－a)x2－3ax＋b.若函数f(x)的极大值为2，求a、b间的关系式；解f′(x)＝3x2＋3(1－a)x－3a＝3(x－a)(x＋1)，令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝a，因为a0，所以x1x2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况见下表：x(－∞，－1)－1(－1，a)a(a，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)递增极大值递减极小值递增所以当x＝－1时，f(x)有极大值2，即3a＋2b＝3.跟踪训练2设函数f(x)＝x3－3ax2＋3bx的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)．(1)求a，b的值；解析答案解f′(x)＝3x2－6ax＋3b，∵f(x)的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)．∴f(1)＝－11，f′(1)＝－12，即1－3a＋3b＝－11，3－6a＋3b＝－12，解得a＝1，b＝－3.(2)讨论函数的单调性．解析答案解由(1)得，f′(x)＝3(x2－2x－3)＝3(x＋1)(x－3)．令f′(x)0，解得x3或x－1.令f′(x)0，解得－1x3.∴当x∈(－∞，－1)和(3，＋∞)时，f(x)是增函数；当x∈(－1,3)时，f(x)是减函数．类型三导数中的数形结合思想解析答案例3求下列函数的单调区间，并根据单调区间大致描绘出函数图象．(1)f(x)＝x3＋3x；解因为f(x)＝x3＋3x，所以f′(x)＝3x2＋3＝3(x2＋1)0，所以函数f(x)＝x3＋3x在x∈R上单调递增，函数的大致图象如图(1)所示．解析答案(2)f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1.解因为f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1，所以f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x2＋x－2)＝6(x－1)(x＋2)．当f′(x)0，即x1和x－2时，函数f(x)单调递增；当f′(x)0，即－2x1时，函数f(x)单调递减．函数f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1的大致图象如图(2)所示．跟踪训练3已知f(x)＝ax3＋bx2＋x(a、b∈R且ab≠0)的图象如图所示，若|x1||x2|，则有()A．a0，b0B．a0，b0C．a0，b0D．a0，b0解析答案解析由f(x)的图象易知f(x)有两个极值点x1、x2，且x＝x1时有极小值，∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋1的图象如图所示，∴a0.又|x1||x2|，∴－x1x2，∴x1＋x20，即x1＋x2＝－2b3a0，∴b0.B类型四实际应用问题(优化问题)例4请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝xcm.解析答案(1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大，x应取何值？解根据题意有S＝602－4x2－(60－2x)2＝240x－8x2,0x30，S′＝240－16x，令S′＝0，得x＝15.当0x15时，S′0，S递增；当15x30时，S′0，S递减．所以x＝15cm时包装盒侧面积S最大．解析答案(2)若厂商要求包装盒容积V(cm3)最大，x应取何值？解根据题意有V＝(2x)2·22(60－2x)＝22x2(30－x)，0x30，V′＝62x(20－x)，当0x20时，V′0，V递增；当20x30时，V′0，V递减．所以x＝20cm时包装盒容积V最大．反思与感悟跟踪训练4用长为15cm，宽为8cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别裁去一个边长为xcm的小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图)．问该容器的高为多少时，容器的容积最大？解析答案返回解析答案达标检测12341.若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则()A.a＝1，b＝1B.a＝－1，b＝1C.a＝1，b＝－1D.a＝－1，b＝－1解析∵y′＝2x＋a，∴y′|x＝0＝(2x＋a)|x＝0＝a＝1，将(0，b)代入切线方程得b＝1.A2.函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值()A.1B.2C.3D.4解析答案1234解析f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2).令f′(x)0得x2或x0，令f′(x)0得0x2.所以函数的单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，减区间为(0,2)，所以函数在x＝2处取得极小值.B1234解析答案3.已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，那么函数f(x)的图象最有可能的是()解析由导函数图象可知，f(x)在(－∞，－2)，(0，＋∞)上单调递减，在(－2,0)上单调递增，故选A.A1234解析答案4.若函数f(x)＝ax2－1x的单调增区间为(0，＋∞)，则实数a的取值范围是____________.解析f′(x)＝(ax－1x)′＝a＋1x2，由题意得，a＋1x2≥0对x∈(0，＋∞)恒成立，∴a≥－1x2对x∈(0，＋∞)恒成立，∴a≥0.[0，＋∞)规律与方法返回利用导数来讨论含参数的函数的性质，要对参数进行分类讨论，已知函数性质求参数的范围，可转化为导数满足的条件进行求解.实际应用题及一些不等式问题可构造函数解决；函数性质的讨论还要和图形结合起来.