高中数学不等式自学知识要点

2.1不等式的性质创设情景兴趣导入2006年7月12日，国际田联超级大奖赛洛桑站男子110米栏比赛刘翔以12秒88的成绩打破了尘封13年的世界记录12秒91.如何体现两个记录的差距？创设情景兴趣导入刘翔以12秒88的成绩打破了尘封13年的世界记录12秒91.如何体现两个记录的差距？利用观察两个数的差的符号，来比较它们的大小．因为12.88−12.91=−0.03＜0，所以得到结论：刘翔的成绩比世界记录快了0.03秒．比较两个实数的大小，只需要考察它们的差即可.动脑思考探索新知对于两个任意的实数a和b，有：0abab；0abab；0abab．比较两个实数的大小，只需要考察它们的差即可.巩固知识典型例题例1比较23与58的大小．例2当0ab时，比较2ab与2ab的大小．23-58=？2ab-2ab=？比较下列各对实数的大小：（1）47与59；（2）315与1.63．运用知识强化练习教材练习2.1.1动脑思考探索新知不等式的基本性质性质1如果ab，且bc，那么ac．性质2如果ab，那么acbc．性质3如果ab，0c，那么acbc；如果ab，0c，那么acbc．汇报展示书写报告分工合作分析思考优胜汇报展示巩固交流举例验证不等式的性质例3选用适当的符号（“”或“”）填空．（1）设ab，3a3b；（2）设ab，6a6b；（3）设ab，4a4b；（4）设ab，52a52b．巩固知识典型例题巩固知识典型例题例4已知0ab，0cd，求证acbd．证明因为,0abc，由不等式的性质3知，acbc，同理由于,0cdb，故bcbd因此，由不等式的性质1知acbd..运用知识强化练习１．选用适当的数填空：（1）设36x，则x；（2）设151x，则x．２.已知ab，cd，求证acbd．教材练习2.1.2学习了哪些内容？重点和难点各是什么？采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？归纳小结自我反思2.2区间创设情景兴趣导入设计运行时速达350公里的京津城际列车呈现出超越世界的“中国速度”，使得新时速旅客列车的运行速度值界定在200公里/小时与350公里/小时之间．如何表示列车的运行速度的范围？创设情景兴趣导入新时速旅客列车的运行速度值界定在200公里/小时与350公里/小时之间．不等式：200v350集合：|200350vv数轴：位于200与350之间的一段不包括端点的线段还有其他简便方法吗？动脑思考探索新知由数轴上两点间的一切实数所组成的集合叫做区间.其中，这两个点叫做区间端点.集合{x|2x4}开区间(2,4)集合{x|2≤x≤4}闭区间[2,4]集合{x|2≤x4}右半开区间[2,4)集合{x|2x≤4}左半开区间(2,4]巩固知识典型例题例1已知集合1,4A，集合[0,5]B，求：AB，AB．交运算是要寻找两个集合相同元素；并运算是将两个集合中所含的所有的元素进行合并；利用图像寻找，注意区间的正确书写.运用知识强化练习１.已知集合(2,6)A，集合1,7B，求AB，AB．２.已知集合[3,4]A，集合[1,6]B，求AB，AB．3.已知集合(1,2]A，集合[0,3)B，求AB，AB．教材练习2.2.1动脑思考探索新知集合{x|x4}开区间(−∞,4)集合{x|x≥4}右半开区间[4,+∞)集合{x|x≤4}左半开区间(−∞,4]集合{x|x4}开区间(4,+∞)“”与“”都是符号，而不是一个确切的数．实数集R开区间(−∞,+∞)巩固知识典型例题交运算是要寻找两个集合的相同元素；并运算是将两个集合中所含的所有的元素进行合并；利用图像寻找，注意区间的正确书写.例2已知集合(,2)A，集合(,4]B，求AB，AB．巩固知识典型例题交运算是要寻找两个集合的相同元素；补运算是要寻找全集中不属于集合A的元素；利用图像寻找，注意区间的正确书写.例3设全集为R，集合(0,3]A，集合(2,)B，（1）求Að，Bð；（2）求ABð．理论升华整体建构不等式区间数轴a≤x≤b[a，b]axb(a，b)a≤xb[a，b)ax≤b(a，b]R(−∞，+∞)x≥a[a，+∞)xa(a，+∞)x≤b(−∞，b]xb(−∞，b)0x演示强化运用知识强化练习１.已知集合1,4A，集合0,5B，求AB，AB.２．设全集为R，集合(,1)A，集合(0,3)B，求Að，Bð，BAð．教材练习2.2.2学习了哪些内容？重点和难点各是什么？采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？归纳小结自我反思2.3一元二次不等式创设情景兴趣导入一次函数的图像、一元一次方程与一元一次不等式之间存在着哪些联系？方程260x的解3x，恰好是函数图像与x轴交点的横坐标；在x轴上方的函数图像所对应的自变量x的取值范围，恰好是不等式260x的解集{|3}xx；在x轴下方的函数图像所对应的自变量x的取值范围，恰好是不等式260x的解集{|3}xx．26yx创设情景兴趣导入一般地，如果方程0axb(0)a的解是0x，那么函数yaxb图像与x轴的交点坐标为0(,0)x，并且1.不等式0axb(0)a的解集，是函数yaxb在x轴上方的图像所对应的自变量x的取值范围，即0{|}xxx；2.不等式0axb(0)a的解集，是函数yaxb在x轴下方的图像所对应的自变量x的取值范围，即0{|}xxx．一次函数的图像、一元一次方程与一元一次不等式之间存在着哪些联系？动脑思考探索新知含有一个未知数，并且未知数的最高次数为二次的不等式，叫做一元二次不等式．20axbxc或20axbxc0a．小组讨论共同探究已知二次函数y=x2-x-6，问：1.怎样画这个二次函数的草图？2.根据二次函数的图像，你能求出抛物线y=x2-x-6与x轴的交点吗？其交点将x轴分成几段？3.观察抛物线找出纵坐标y=0、y0、y0的点.4.观察图像上纵坐标y=0、y0、y0的那些点所对应的横坐标x的取值范围？小组讨论共同探究y32x一元二次方程的解对应于二次函数图象与x轴的交点抛物线y=x2-x-6与x轴有两个交点，其坐标为（-2，0）、（3，0），将x轴分成3段:x-2、-2x3、x3.小组讨论共同探究纵坐标y=0、y0、y0的点所对应的横坐标x的取值范围：y=0对应x=-2或x=3y0对应x-2或x3y0对应-2x3.−23yxo小组讨论共同探究y32x当x=-2或x=3时，函数对应图像位于x轴上，此时y=0当x-2或x3时，函数对应图像位于x轴上方，此时y0当-2x3时，函数对应图像位于x轴下方，此时y0.小组讨论共同探究1.一元二次方程的解对应于二次函数图像与x轴的交点.2.一元二次不等式的解对应于使二次函数图像位于x轴上方（或下方）的自变量x的范围.结论240bac、x1和x2240bac0x、240bac、无实根方程ax2+bx+c=0的根函数y=ax2+bx+c的图像不等式ax2+bx+c0的解12(,)(,)xx00(,)(,)xxR动脑思考探索新知方程ax2+bx+c=0的根函数y=ax2+bx+c的图像不等式ax2+bx+c0的解12(,)xx240bac、x1和x2240bac0x、240bac、无实根动脑思考探索新知方程ax2+bx+c=0的根函数y=ax2+bx+c的图像不等式ax2+bx+c≥0的解？？？240bac、x1和x2240bac0x、240bac、无实根动脑思考探索新知240bac、x1和x2240bac0x、240bac、无实根方程ax2+bx+c=0的根函数y=ax2+bx+c的图像不等式ax2+bx+c≤0的解？？？动脑思考探索新知.二次函数的图像一元二次方程的解一元二次不等式的解集一元二次不等式的解集acb42三个二次000cbxaxy2)0(a)0(a02cbxax)0(a02cbxax)0(a1212,2()bxxaxxabxx221x0y0yyx01x2x0y0yx0y0yab2无实根小于取中间大于取两边若a0呢?12(,)(,)xx00(,)(,)xx12(,)xxR当a0时，不等式两边同时乘以-1，就可以转化为a0的情况.理论升华整体建构02cbxax巩固知识典型例题例1解下列各一元二次不等式：（1）260xx；（2）29x；（3）25320xx；（4）22430xx„．分析先判定对应一元二次方程解的情况，然后对照相应的二次函数的图像写出不等式的解集．注意当a0时，不等式两边同时乘以-1，转化为a0．演示巩固知识典型例题演示例2x是什么实数时，232xx有意义．分析被开方式大于或等于零时，二次根式有意义求解这个不等式2320xx…运用知识强化练习解下列一元二次不等式：（１）22420xx；（２）23100xx…．教材练习2.3学习了哪些内容？重点和难点各是什么？采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？归纳小结自我反思2.4绝对值不等式创设情景兴趣导入任意实数的绝对值是如何定义的？其几何意义是什么？对任意实数x，有,0,0,0,,0.xxxxxx其几何意义是：数轴上表示实数x的点到原点的距离．演示创设情景兴趣导入不等式2x和2x的解集在数轴上如何表示？动脑思考探索新知思考写出不等式xa„与xa…（0a）的解集．不等式xa（0a）的解集是,aa；不等式xa（0a）的解集是,,aa．演示巩固知识典型例题例１解下列各不等式：（１）310x（２）26x?．分析：将不等式化成xa或xa型后求解解（１）由不等式310x，得13x，所以原不等式的解集为11,,33．（２）由不等式26x?，得3x„，所以原不等式的解集为3,3．运用知识强化练习解下列各不等式：（１）28x…；（２）2.6x；（3）10x．教材练习2.2.1创设情景兴趣导入如何求解不等式213x？3m21mx33m21mx3213x动脑思考探索新知可以利用“变量替换”的方法求解不等式axbc或axbc（0c）axbcaxbcaxbc或axbccaxbc巩固知识典型例题例2解不等式213x„解由原不等式可得3213x剟，不等式各项同加上１，得，不等式各项同，得，所以原不等式的解集为．巩固知识典型例题例3解不等式257x解由原不等式得257x或257x，整理，得，所以，原不等式的解集为．运用知识强化练习教材练习2.4.2解下列各不等式：（1）49x；（2）1142x„；（3）546x；（4）1122x…．学习了哪些内容？重点和难点各是什么？采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？归纳小结自我反思汇报展示书写感受组内讨论阅读欣赏小组活动榜样力量《数学家华罗庚》