2018届高考数学二轮复习专题二与第1讲三角函数的图象与性质课件文

第1讲三角函数的图象与性质高考定位三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查：1.三角函数的图象，主要涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查；2.利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以解答题的形式考查.真题感悟1.(2017·全国Ⅱ卷)函数f(x)＝sin2x＋π3的最小正周期为()A.4πB.2πC.πD.π2解析由题意T＝2π2＝π.答案C2.(2016·全国Ⅱ卷)若将函数y＝2sin2x的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为()A.x＝kπ2－π6(k∈Z)B.x＝kπ2＋π6(k∈Z)C.x＝kπ2－π12(k∈Z)D.x＝kπ2＋π12(k∈Z)解析由题意将函数y＝2sin2x的图象向左平移π12个单位长度后得到函数的解析式为y＝2sin2x＋π6，由2x＋π6＝kπ＋π2(k∈Z)得函数的对称轴为x＝kπ2＋π6(k∈Z).答案B3.(2017·全国Ⅲ卷)设函数f(x)＝cosx＋π3，则下列结论错误的是()A.f(x)的一个周期为－2πB.y＝f(x)的图象关于直线x＝8π3对称C.f(x＋π)的一个零点为x＝π6D.f(x)在π2，π单调递减解析函数f(x)＝cosx＋π3的图象可由y＝cosx的图象向左平移π3个单位得到，如图可知，f(x)在π2，π上先递减后递增，D选项错误.答案D4.(2017·全国Ⅱ卷)函数f(x)＝sin2x＋3cosx－34x∈0，π2的最大值是________.解析f(x)＝sin2x＋3cosx－34x∈0，π2，f(x)＝1－cos2x＋3cosx－34，令cosx＝t且t∈[0，1]，y＝－t2＋3t＋14＝－t－322＋1，则当t＝32时，f(x)取最大值1.答案1函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象递增区间2kπ－π2，2kπ＋π2[2kπ－π，2kπ]kπ－π2，kπ＋π2考点整合1.常用三种函数的图象与性质(下表中k∈Z)递减区间2kπ＋π2，2kπ＋3π2[2kπ，2kπ＋π]奇偶性奇函数偶函数奇函数对称中心(kπ，0)kπ＋π2，0kπ2，0对称轴x＝kπ＋π2x＝kπ周期性2π2ππ(1)y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ＋π2(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)求得.(2)y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋π2(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得.(3)y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数.2.三角函数的常用结论3.三角函数的两种常见变换热点一三角函数的图象命题角度1三角函数的图象变换【例1－1】某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)ω0，|φ|π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：ωx＋φ0π2π3π22πxπ35π6Asin(ωx＋φ)05－50(1)请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f(x)的解析式；(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象.若y＝g(x)图象的一个对称中心为5π12，0，求θ的最小值.解(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：ωx＋φ0π2π3π22πxπ12π37π125π61312πAsin(ωx＋φ)050－50且函数表达式为f(x)＝5sin2x－π6.(2)由(1)知f(x)＝5sin2x－π6，根据图象平移变换，得g(x)＝5sin2x＋2θ－π6.因为y＝sinx的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.令2x＋2θ－π6＝kπ，k∈Z，解得x＝kπ2＋π12－θ，k∈Z.由于函数y＝g(x)的图象关于点5π12，0成中心对称，令kπ2＋π12－θ＝5π12，k∈Z，解得θ＝kπ2－π3，k∈Z.由θ0可知，当k＝1时，θ取得最小值π6.探究提高1.“五点法”作图设z＝ωx＋φ，令z＝0，π2，π，3π2，2π，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得.2.在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换.变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.命题角度2由函数的图象特征求解析式【例1－2】(1)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A0，ω0，|φ|π2的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为()A.f(x)＝2sinx－π6B.f(x)＝2sin2x－π3C.f(x)＝2sin2x＋π12D.f(x)＝2sin2x－π6(2)(2017·济南调研)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A0，ω0，|φ|π2的部分图象如图所示，若x1，x2∈－π6，π3，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝()A.1B.12C.22D.32解析(1)由题意知A＝2，T＝45π12－π6＝π，ω＝2，因为当x＝5π12时取得最大值2，所以2＝2sin2×5π12＋φ，所以2×5π12＋φ＝2kπ＋π2，k∈Z，解得φ＝2kπ－π3，k∈Z，因为|φ|π2，得φ＝－π3.因此函数f(x)＝2sin2x－π3.(2)观察图象可知，A＝1，T＝π，则ω＝2.又点－π6，0是“五点法”中的始点，∴2×－π6＋φ＝0，φ＝π3.则f(x)＝sin2x＋π3.函数图象的对称轴为x＝－π6＋π32＝π12.又x1，x2∈－π6，π3，且f(x1)＝f(x2)，所以x1＋x22＝π12，则x1＋x2＝π6，因此f(x1＋x2)＝sin2×π6＋π3＝32.答案(1)B(2)D探究提高已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置.【训练1】(1)(2017·菏泽二模)偶函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，0φπ)的部分图象如图所示，其中△EFG是斜边为4的等腰直角三角形(E，F是函数与x轴的交点，点G在图象上)，则f(1)的值为()A.22B.62C.2D.22(2)(2017·贵阳调研)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示.①求函数f(x)的解析式；②将函数y＝f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12倍，再把所得的函数图象向左平移π6个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在区间0，π8上的最小值.(1)解析依题设，T2＝|EF|＝4，T＝8，ω＝π4.∵函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，且0φπ.∴φ＝π2，在等腰直角△EGF中，易求A＝2.所以f(x)＝2sinπ4x＋π2＝2cosπ4x，则f(1)＝2.答案C(2)解①设函数f(x)的最小正周期为T，由题图可知A＝1，T2＝2π3－π6＝π2，即T＝π，所以π＝2πω，解得ω＝2，故f(x)＝sin(2x＋φ).由0＝sin2×π6＋φ可得π3＋φ＝2kπ，k∈Z，则φ＝2kπ－π3，k∈Z，因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3，故函数f(x)的解析式为f(x)＝sin2x－π3.②根据条件得g(x)＝sin4x＋π3，当x∈0，π8时，4x＋π3∈π3，5π6，所以当x＝π8时，g(x)取得最小值，且g(x)min＝12.热点二三角函数的性质命题角度1三角函数性质【例2－1】(2016·天津卷)已知函数f(x)＝4tanxsinπ2－x·cosx－π3－3.(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论f(x)在区间－π4，π4上的单调性.解(1)f(x)的定义域为{x|x≠π2＋kπ，k∈Z}，f(x)＝4tanxcosxcosx－π3－3＝4sinxcosx－π3－3＝4sinx12cosx＋32sinx－3＝2sinxcosx＋23sin2x－3＝sin2x－3cos2x＝2sin2x－π3.所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)由－π2＋2kπ≤2x－π3≤π2＋2kπ，k∈Z，得－π12＋kπ≤x≤5π12＋kπ，k∈Z.设A＝－π4，π4，B＝x－π12＋kπ≤x≤5π12＋kπ，k∈Z，易知A∩B＝－π12，π4.所以当x∈－π4，π4时，f(x)在区间－π12，π4上单调递增，在区间－π4，－π12上单调递减.探究提高1.讨论三角函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数.2.求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的单调区间，是将ωx＋φ作为一个整体代入正弦函数增区间(或减区间)，求出的区间即为y＝Asin(ωx＋φ)的增区间(或减区间)，但是当A＞0，ω＜0时，需先利用诱导公式变形为y＝－Asin(－ωx－φ)，则y＝Asin(－ωx－φ)的增区间即为原函数的减区间，减区间即为原函数的增区间.命题角度2三角函数性质的应用【例2－2】(2017·哈尔滨质检)把函数f(x)＝2sin(x＋2φ)|φ|π2的图象向左平移π2个单位长度之后，所得图象关于直线x＝π4对称，且f(0)fπ2－φ，则φ＝()A.π8B.3π8C.－π8D.－3π8答案C解析把函数f(x)＝2sin(x＋2φ)的图象向左平移π2个单位长度之后，得y＝2sinx＋π2＋2φ＝2cos(x＋2φ)＝g(x)的图象，根据所得图象关于直线x＝π4对称，可得g(0)＝gπ2，即2cos2φ＝2cosπ2＋2φ＝－2sin2φ，即tan2φ＝－1.又f(0)fπ2－φ，故有2sin2φ2sinπ2＋φ＝2cosφ，即sinφ12，结合选项，φ＝－π8.探究提高此类题属于三角函数性质的逆用，解题的关键是借助于三角函数的图象与性质列出含参数的不等式，再根据参数范围求解.或者，也可以取选项中的特殊值验证.【训练2】(2017·浙江卷)已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－23sinxcosx(x∈R).(1)求f2π3的值；(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.解(1)f(x)＝sin2x－cos2x－23sinxcosx＝－cos2x－3sin2x＝－2sin2x＋π6，则f2π3＝－2sin4π3＋π6＝2.(2)f(x)的最小正周期为π.由正弦函数的性质得令2kπ＋π2≤2x＋π6≤2kπ＋3π2，k∈Z，得kπ＋π6≤x≤kπ＋2π3，k∈Z.所以函数f(x)的单调递增区间为kπ＋π6，kπ＋2π3，k∈Z.热点三三角函数图象与性质的综合应用【例3】(2017·西安调研)已知函数f(x)＝2sinωxcosωx＋23sin2ωx－3(ω0)的最小正周期为π.(1)求函数f(x)的单调