第一讲 不等式和绝对值不等式 知识归纳 课件(人教A选修4-5)

考情分析从近两年的高考试题来看，绝对值不等式主要考查解法及简单的应用，题目难度中档偏下，着重考查学生的分类讨论思想及应用能力．解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号，化成不含绝对值的不等式，其一是依据绝对值的意义；其二是先令每一个绝对值等于零，找到分界点，通过讨论每一区间内的代数式的符号去掉绝对值．真题体验1．(2012·湖南高考)不等式|2x＋1|－2|x－1|＞0的解集为________．解析：原不等式即|2x＋1|＞2|x－1|，两端平方后解得12x＞3，即x＞14.答案：{x|x14}2．(2011·江西高考)对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为________．解析：|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|≤|x－1|＋|2(y－2)＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.答案：53．(2011·陕西高考)若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是________．解析：令f(x)＝|x＋1|＋|x－2|＝－2x＋1x≤－1，3－1x2，2x－1x≥2，∴f(x)≥3.∵|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R恒成立，∴a≤3.答案：(－∞，3]4．(2012·全国新课标)已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．解：(1)当a＝－3时，f(x)＝－2x＋5，x≤2，1，2x3，2x－5，x≥3.当x≤2时，由f(x)≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；当2x3时，f(x)≥3无解；当x≥3时，由f(x)≥3得2x－5≥3，解得x≥4；所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}．(2)f(x)≤|x－4|⇔|x－4|－|x－2|≥|x＋a|.当x∈[1,2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|⇔4－x－(2－x)≥|x＋a|⇔－2－a≤x≤2－a.由条件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0.故满足条件的a的取值范围为[－3,0]．5．(2012·江苏高考)已知实数x，y满足：|x＋y|＜13，|2x－y|＜16，求证：|y|＜518.解：因为3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)|≤2|x＋y|＋|2x－y|，由题设知|x＋y|＜13，|2x－y|＜16，从而3|y|＜23＋16＝56，所以|y|＜518.利用不等式的性质判断不等式或有关结论是否成立，再就是利用不等式性质，进行数值或代数式大小的比较，常用到分类讨论的思想．[例1]“a＋cb＋d”是“ab且cd”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解析]易得ab且cd时必有a＋cb＋d.若a＋cb＋d时，则可能有ab且cd.[答案]A利用基本不等式求最值问题一般有两种类型：①和为定值时，积有最大值；②积为定值时，和有最小值，在具体应用基本不等式解题时，一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”．[例2]x，y，z∈R＋，x－2y＋3z＝0，y2xz的最小值为________．[解析]由x－2y＋3z＝0得y＝x＋3z2，则y2xz＝x2＋9z2＋6xz4xz≥6xz＋6xz4xz＝3，当且仅当x＝3z时取“＝”．[答案]3[例3]设a，b，c为正实数，求证：1a3＋1b3＋1c3＋abc≥23.[证明]因为a，b，c为正实数，由平均不等式可得1a3＋1b3＋1c3≥331a3·1b3·1c3.即1a3＋1b3＋1c3≥3abc.所以1a3＋1b3＋1c3＋abc≥3abc＋abc，而3abc＋abc≥23abc·abc＝23.所以1a3＋1b3＋1c3＋abc≥23.1.公式法|f(x)|g(x)⇔f(x)g(x)或f(x)－g(x)；|f(x)|g(x)⇔－g(x)f(x)g(x)．2．平方法|f(x)||g(x)|⇔[f(x)]2[g(x)]2.3．零点分段法含有两个以上绝对值符号的不等式，可先求出使每个含绝对值符号的代数式值等于零的未知数的值，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的代数式在每一个区间上的符号，转化为不含绝对值的不等式去解．[例4]解下列关于x的不等式：(1)|x＋1||x－3|；(2)|x－2|－|2x＋5|2x；[解](1)法一：|x＋1||x－3|，两边平方得(x＋1)2(x－3)2，∴8x8.∴x1.∴原不等式的解集为{x|x1}．法二：分段讨论：当x≤－1时，有－x－1－x＋3，此时x∈∅；当－1x≤3时，有x＋1－x＋3，即x1，.∴此时1x≤3；当x3时，有x＋1x－3成立，∴x3.∴原不等式解集为{x|x1}．(2)分段讨论：①当x－52时，原不等式变形为2－x＋2x＋52x，解得x7，∴解集为{x|x－52}．②当－52≤x≤2时，原不等式变形为2－x－2x－52x，解得x－35.∴解集为{x|－52≤x－35}．③当x2时，原不等式变形为x－2－2x－52x，解得x－73，∴原不等式无解．综上可得，原不等式的解集为{x|x－35}.对于不等式恒成立求参数范围问题，常见类型及其解法如下：(1)分离参数法：运用“f(x)≤a⇔f(x)max≤a，f(x)≥a⇔f(x)min≥a”可解决恒成立中的参数范围问题．(2)更换主元法：不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简捷的解法．(3)数形结合法：在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维与抽象思维各自的优势，可直观地解决问题．[例5]设有关于x的不等式lg(|x＋3|＋|x－7|)a.(1)当a＝1时，解此不等式；(2)当a为何值时，此不等式的解集是R.[解](1)当a＝1时，lg(|x＋3|＋|x－7|)1，⇔|x＋3|＋|x－7|10，⇔x≥7，2x－410，或－3x7，1010，或x≤－3，4－2x10，⇔x7或x－3.所以不等式的解集为{x|x－3或x7}．(2)设f(x)＝|x＋3|＋|x－7|，则有f(x)≥|(x＋3)－(x－7)|＝10，当且仅当(x＋3)(x－7)≤0，即－3≤x≤7时．f(x)取得最小值10.∴lg(|x＋3|＋|x－7|)≥1.要使lg(|x＋3|＋|x－7|)a的解集为R，只要a1.点击下图进入阶段质量检测