高三数学第一轮复习：等差数列(修改2)

2020/2/24学军课件模板1高三数学第一轮复习2020/2/24学军课件模板2学习目标1、理解等差数列的概念、通项公式、等差中项公式，会用公式解决问题2、掌握等差数列的前n项和公式，体会等差数列的通项及等差数列的前n项和可分别表示为一次函数和二次函数3、探索并总结等差数列的性质，会运用性质解决有关问题2020/2/24学军课件模板3学习活动1：梳理基础知识1.等差数列的定义:若数列从第二项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，则数列是等差数列。其中常数是公差2.通项公式:1(1)naand通项公式推广:()nkaankd2020/2/24学军课件模板43.等差中项:若a，b，c成等差数列，则b称a与c的等差中项.+=2acb2数,,成等差列abcbac4.等差数列前n项和公式:1(1)2nnnSnad1()2nnnaaS学习活动1：梳理基础知识2020/2/24学军课件模板55.等差数列的判定方法:定义法:()(){}1nnnaadnNa常数∈等差数列122{}nnnnaaanΝa等差数列中项公式法:通项公式法:学习活动1：梳理基础知识(,)(){}nnaknbkbnNa常数等差数列2020/2/24学军课件模板6性质等差数列{an}常用的性质性质1性质2性质3pqmnpqmnaaaa22mpqmpqaaa{}nnnmnmadaaamd2++为数,为,,,数,为等差列公差是等差列公差{}nnnnnnnadnSnd2322数,,项S,S-S,S-S,数,为等差列公差前和是等差列公差2020/2/24学军课件模板7在等差数列｛an｝中，(1)已知a15=33,a45=153,求a61;(2)已知a6=10,S5=5，求a8和S8；(3)已知前3项和为12，前3项积为48，且d0,求a1.【思维启迪】在等差数列中，五个重要的量，只要已知三个量，就可求出其他两个量，其中a1和d是两个最基本量，利用通项公式与前n项和公式，先求出a1和d.解（1）方法一设首项为a1,公差为d依条件得解方程组得题型一等差数列的基本运算,44153143311dada.4,231da2020/2/24学军课件模板8∴a61=-23+(61-1)×4=217.方法二由得由an=am+(n-m)d,得a61=a45+16d=153+16×4=217.（2）∵a6=10,S5=5,解方程组得a1=-5,d=3,∴a8=a6+2d=10+2×3=16,（3）设数列的前三项分别为a-d,a,a+d,依据意有：,mnaadmn,4303315315541545aad.510510511dada.442)(8818aaS2020/2/24学军课件模板9∵d0,∴d=2,a-d=2.∴首项为2.∴a1=2.探究拓展方程思想是解决数列问题的基本思想，通过公差列方程（组）求解是数列中最基本的方法，同时在解题中也要注意数列性质的应用.,48)()(12)()(daadadaaba,48)(422daaa.24da2020/2/24学军课件模板10说明：对于等差数列的连续项，我们通常设连续三项为a-d,a,a+d连续四项为a-3d,a-d,a+d,a+3d2020/2/24学军课件模板11例2已知数列{an}中，a1＝35，an＝2－1an－1(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝1an－1(n∈N*)．(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．题型2:等差数列的证明2020/2/24学军课件模板12[解](1)∵an＝2－1an－1(n≥2，n∈N*)，bn＝1an－1.∴当n≥2时，bn－bn－1＝1an－1－1an－1－1＝12－1an－1－1－1an－1－1＝an－1an－1－1－1an－1－1＝1.又b1＝1a1－1＝－52.∴数列{bn}是以－52为首项，1为公差的等差数列．2020/2/24学军课件模板13(2)由(1)知，bn＝n－72，则an＝1＋1bn＝1＋22n－7.由函数f(x)＝1＋22x－7，易知f(x)在区间－∞，72和72，＋∞内为减函数．∴当n＝3时，an取得最小值－1；当n＝4时，an取得最大值3.2020/2/24学军课件模板14例3.已知数列的首项,通项与前n项和之间满足(1)求证:是等差数列,并求公差;(2)求数列的通项公式;(3)数列中是否存在正整数k,使得不等式对任意不小于k的正整数都成立?若存在,求出最小的k,若不存在,请说明理由.na31ananS)2(21nSSannnnS1nana1kkaa2020/2/24学军课件模板15[拓展提升]判断一个数列不是等差数列时，只需举出特殊的连续三项不成等差数列就可以了．2020/2/24学军课件模板16(1)等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，a2＋a8＝()A．45B．75C．180D．3002020/2/24学军课件模板17(2)等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列前20项和等于()A．160B．180C．200D．2202020/2/24学军课件模板182020/2/24学军课件模板19(2)本题考查等差数列的性质，由已知可得(a1＋a2＋a3)＋(a18＋a19＋a20)＝－24＋78⇒(a1＋a20)＋(a2＋a19)＋(a3＋a18)⇒a1＋a20＝18⇒S20＝a1＋a202×20＝182×20＝180，∴选B.答案：(1)C(2)B2020/2/24学军课件模板20(3)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S3S6＝13，则S6S12等于()A.310B.13C.18D.192020/2/24学军课件模板212020/2/24学军课件模板22(4)若数列{an}是等差数列，首项a10，a2005＋a20060，a2005a20060，求使前n项和Sn0的最大自然数n.(5)若等差数列{an}中，Sn是前n项的和，且S3＝9，S9＝3，求S12.2020/2/24学军课件模板23(4)∵a10，a2005＋a20060，a2005a20060，∴a20050，a20060.S4010＝4010(a1＋a4010)2＝4010(a2005＋a2006)20.S4011＝4011a20060，∴使前n项和Sn0的最大自然数n为4010.(5)S99－S339－3＝S1212－S3312－3，∴S12＝－12.[拓展提升]等差数列均匀截断，等差数列每段之和仍为等差数列．2020/2/24学军课件模板24练习巩固1.已知等差数列{an}中,a7+a9=16,a4=1,则a12=()A.15B.30C.31D.642.首项为-24的等差数列,从第10项起为正,则公差d的取值范围是()A.B.C.D.83d3d833d833d2020/2/24学军课件模板254.等差数列{an}中,a1=,a2+a5=4,an=33,则n=()练习巩固3.等差数列{an}中,a2=-6,a8=6,Sn是{an}的前n项和,则()A.B.C.D.A.48B.49C.50D.511365SS65SS45SS45SS2020/2/24学军课件模板26.在等差数列{an}中(5)已知a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20(6）已知a3+a11=10，求a6+a7+a8(7)已知a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求a14及公差d.2020/2/24学军课件模板27[例4]在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn有最大值，并求出它的最大值．[分析]此题可有多种解法，一般可先求出通项公式，利用不等式组确定正负转折项，或者利用性质确定正负转折项，然后求其和的最值．2020/2/24学军课件模板28[解]解法1：设公差为d，∵S10＝S15，∴10×20＋10×92d＝15×20＋15×142d，得d＝－53.又a1＝20，∴an＝20－53(n－1)，∴{an}为递减数列．由an≥0an＋1≤0，即20＋(n－1)(－53)≥020＋n(－53)≤0.∴12≤n≤13，n∈N*，∴当n＝12或13时，Sn有最大值，S12＝S13＝130.2020/2/24学军课件模板29解法2：由a1＝20，S10＝S15，解得公差d＝－53，∵S10＝S15，∴S15－S10＝a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0，∵a11＋a15＝a12＋a14＝2a13，∴a13＝0.∵d0，a10，∴a1，a1，…，a11，a12均为正数，而a14及以后的各项均为负数．∴当n＝12或13时，Sn有最大值，S12＝S13＝130.2020/2/24学军课件模板30[拓展提升]求等差数列前n项和的最值，常用的方法：①利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；②利用等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)为二次函数，利用二次函数的性质求最值．2020/2/24学军课件模板31等差数列{an}中，a10，S9＝S12，该数列前多少项的和最小？2020/2/24学军课件模板322020/2/24学军课件模板332020/2/24学军课件模板34解法2：由an＝a1＋(n－1)d≤0，an＋1＝a1＋nd≥0.即1－110(n－1)≥0，1－110n≤0.得10≤n≤11，∴n取10或11时，Sn有最小值．2020/2/24学军课件模板35解法3：∵S9＝S12，∴a10＋a11＋a12＝0，∴3a11＝0.∴a11＝0，∵a10，∴前10项或前11项和最小．2020/2/24学军课件模板362020/2/24学军课件模板37例题讲解题型5:等差数列前n项和的应用例5:数列{an}中，Sn=100n-n2(nN+)（1）{an}是什么数列?（2）若bn=|an|，求{bn}的前n项和2020/2/24学军课件模板38练习.已知数列的前n项和，求数列{|an|}的前n项和Tn.na)(122NnnnSn2020/2/24学军课件模板39课外作业1.等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a10=30，a20=50.（1）求通项{an}；（2）若Sn=242，求n.2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3=12，S12＞0，S13＜0.（1）求公差d的取值范围；（2）指出S1，S2，S3，…，S12中哪一个最大，并说明理由.2020/2/24学军课件模板40课外作业3.已知{an}为等差数列，前10项的和S10=100，前100项的和S100=10，求前110项的和S1102020/2/24学军课件模板412020/2/24学军课件模板421．等差数列是常用的基本数列之一，对其通项公式、前n项和公式及其性质必须熟练掌握．等差数列中含有五个量：a1，d，an，n，Sn，通项公式和前n项和公式是联结这五个量的关系式，通过这两个公式，知道其中任意三个可以求出另外两个．但在计算时，要注意设数技巧，注意等差数列性质的运用．2020/2/24学军课件模板432．等差数列的证明一般采用定义，即证明an＋1－an＝d.若要判定一个数列是等差数列还可采用如下结论：(1)用中项公式判定：2an＋1＝an＋an＋2⇔{an}是等差数列；(2)用通项公式判定：an＝kn＋b⇔{an}是等差数列；(3)用求和公式判定：Sn＝an2＋bn⇔{an}是等差数列．