福建省2013届新课标高考文科数学一轮总复习课件：第50讲 空间角及计算

1．理解和掌握异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念．2．掌握求空间角的基本方法及步骤，熟练掌握空间角向平面角的转化技巧．3．培养学生的转化思想和数形结合思想，提高学生的空间想象能力．1_______________2____________11________.OO．异面直线所成的角：在空间中任取一点，过点分别作两异面直线的①线所成的②叫做两条异面直线所成的角．．异面直线所成的角的范围是③一，当④时，这两条异面直线垂直．．直线和平面所成的角：如果直线平行平面或在平面内，则它和平面所成的角的大小为、异面直线所成的角二、直线与平⑤面所成的角2________.3________________2_______.如果直线垂直于平面，则它和平面所成的角的大小为⑥如果直线是平面的斜线，则它和它在平面内的⑦所成的⑧角，称之为直线和平面所成的角．．直线和平面所成的角的范围是⑨1_____________.__2____________.．二面角：从一条直线出发的两个⑩组成的图形叫做二面角，以二面角的棱上⑪一点为端点，在两个面内分别作⑫两条射线．这两条射线所成的角叫做⑬平面角是⑭角的二面角叫做直二面角．．二面角的范围是⑮三、二面角(0]022[0]22[0]①平行；②锐角或直角；③，；④；⑤；⑥；⑦射影；⑧锐；⑨，；⑩半平面；⑪任意；⑫垂直于棱的；⑬二面角的平面角；【要点指南⑭直；⑮，】；1.如图，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么MA与BD所成角的大小为()A．30°B．90°C．60°D．120°【解析】因为MC⊥平面ABCD，所以MC⊥BD.又四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，且AC∩MC＝C，所以BD⊥平面ACM.因为AM⊂平面ACM，所以BD⊥AM.故MA与BD所成角的大小为90°.2.三棱锥V－ABC中，VA＝VB＝AC＝BC＝2，AB＝23，VC＝2，则二面角V－AB－C的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°【解析】如图，取AB中点D，连接VD，CD，则VD⊥AB，CD⊥AB.所以∠VDC为V－AB－C的平面角．因为VA＝2，AD＝3，所以VD＝1.又CA＝2，AD＝3，所以CD＝1，又VC＝2，所以VC2＝VD2＋CD2，所以∠VDC＝90°.3.设正四棱锥S—ABCD的侧棱长为2，底面边长为3，E是SA的中点，则异面直线BE与SC所成的角是()A．30°B．45°C．60°D．90°【解析】连接AC、BD交于O，连接OE，则OE∥SC.因为BE2＝2，OB2＝32，OE＝22，所以cos∠BEO＝2＋12－322·2·22＝12，所以∠BEO＝60°.4.如图，PA⊥平面ABC，∠ACB＝90°且PA＝AC＝BC＝a，异面直线PB与AC所成角的正切值为2.5.已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于36.【解析】设正三棱锥的底面边长为a，则侧棱长为2a.因为O为底面的中心，所以∠SAO为SA与平面ABC所成的角．所以AO＝23×32a＝33a，所以cos∠SAO＝33a2a＝36.一异面直线所成的角【例1】如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝AA1＝4，点O是AC的中点．(1)求证：AD1∥平面DOC1；(2)求异面直线AD1和DC1所成角的余弦值．【解析】(1)证明：连接D1C交DC1于点O1，连接OO1.因为O，O1分别是AC和D1C的中点，所以OO1∥AD1.又OO1⊂平面DOC1，AD1⊄平面DOC1，所以AD1∥平面DOC1.(2)由OO1∥AD1知，AD1和DC1所成角等于OO1和DC1所成的锐角或直角．在△OO1D中，OD＝52，O1D＝52，OO1＝22.由余弦定理得cos∠OO1D＝522＋222－5222×52×22＝225，故AD1和DC1所成角的余弦值为225.【点评】求异面直线的夹角，在几何体需作线段的平移．求异面直线所成角的一般方法是平移法，通过平移构造三角形，利用正弦定理和余弦定理求解．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E1、F1分别是棱A1B1、C1D1上的点，且B1E1＝D1F1＝A1B14，则BE1与DF1所成角的余弦值为()A.817B.1517C.32D.12素材1【解析】在A1B1上取一点G，并使A1G＝A1B14，连接AG，再在AB上取AB的中点H，连接GH.则∠AGH为异面直线BE1与DF1所成的角．不妨设A1B1＝4，则AG＝GH＝42＋1＝17.所以在△AGH中，cos∠AGH＝AG2＋GH2－AH22·AG·GH＝17＋17－4217×17＝1517.二直线和平面所成的角【例2】在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝BD＝2AE，M是AB的中点．(1)求证：CM⊥EM；(2)求CE与平面ABDE所成角的正切值．【解析】(1)证明：因为EA⊥平面ABC，所以EA⊥CM.又AC＝BC，M是AB的中点，所以CM⊥AB.所以CM⊥平面AEM，且EM⊂平面AEM，所以CM⊥EM.(2)由(1)知∠MEC是CE与平面ABDE所成的角．设AE＝1，则AM＝CM＝2，EM＝3，所以tan∠MEC＝23＝63.【点评】求直线与平面所成的角的一般过程是通过射影转化法，作出直线与平面所成的角．构造由斜线段、射影线段、垂线段组成的三角形，再通过解三角形计算出角的大小．PA，PB，PC是两两成60°角的三条射线，则PC与平面PAB所成角的余弦值是()A.12B.63C.33D.32素材2【解析】可放入正四面体中考虑．三二面角【例3】如图，三棱柱ABC－A1B1C1所有棱长都为2，侧棱AA1⊥底面ABC，D为CC1的中点．(1)求证：AB1⊥平面A1BD.(2)求二面角A－BB1－C的大小．【解析】(1)证明：取BC的中点O，连接AO.因为△ABC为正三角形．所以AO⊥BC.在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1C1.所以AO⊥平面BCC1C1.连接B1O.因为O、D分别为BC、CC1的中点．所以B1O⊥BD，由线面垂直可知AB1⊥BD.在正方形ABB1A1中，AB1⊥A1B.因为A1B∩BD＝B，所以AB1⊥平面A1BD.(2)因为BB1⊥平面ABC，所以BB1⊥AB，BB1⊥BC，所以∠ABC为二面角A－BB1－C的平面角．又△ABC为正三角形，所以∠ABC＝60°，所以二面角A－BB1－C的大小为60°.【点评】求二面角的常见方法有：一是由线面垂直关系作出平面角，利用三角形求解；二是构造斜面和射影面，利用面积比值求解．如图四棱锥P－ABCD的底面是边长为2的菱形，且∠BAD＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝3，设E为BC的中点．(1)求二面角P－BD－A的大小；(2)求平面PDE与平面ABCD所成的锐二面角的正切值．素材3【解析】(1)连接AC、BD交于O点，连接OP.因为ABCD是菱形，所以AO⊥BD，又PA⊥平面AC，所以PA⊥BD，所以BD⊥平面POA，所以BD⊥PO.所以∠POA为二面角P－BD－A的平面角，又AO＝32×2＝3，PA＝3，所以∠POA＝45°，即二面角P－BD－A的大小为45°.(2)DE为正△BCD的边BC上的中线，因此DE⊥BC，所以DE⊥AD.又PA⊥平面ABCD，即DE⊥PA，且PA∩AD＝A，所以DE⊥平面PAD.所以DE⊥PD，所以∠PDA为二面角P－DE－A的平面角，在Rt△PAD中，tan∠PDA＝PAAD＝32，所以平面PDE与平面ABCD所成的锐二面角的正切值为32.备选例题(2011·浙江卷)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.(1)证明：AP⊥BC；(2)在线段AP上是否存在点M，使得二面角A－MC－B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．【解析】(1)证明：由AB＝AC，D是BC的中点，得AD⊥BC，又PO⊥平面ABC，得PO⊥BC.因为PO∩AD＝O，所以BC⊥平面PAD，故BC⊥PA.((2)如图，在平面PAB内作BM⊥PA于M，连接CM.由(1)中知AP⊥BC，得AP⊥平面BMC.又AP⊂平面APC，所以平面BMC⊥平面APC.在Rt△ADB中，AB2＝AD2＋BD2＝41，得AB＝41.在Rt△POD中，PD2＝PO2＋OD2，在Rt△PDB中，PB2＝PD2＋BD2，所以PB2＝PO2＋OD2＋BD2＝36，得PB＝6.在Rt△POA中，PA2＝AO2＋OP2＝25，得PA＝5.又cos∠BPA＝PA2＋PB2－AB22PA·PB＝13，从而PM＝PBcos∠BPA＝2，所以AM＝PA－PM＝3.综上所述，存在点M符合题意，AM＝3.【点评】本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．2)1()(两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角．求空间角首先要把它转化为平面角，然后再用代数的方法、三角的方法或向量的方法求解．一作找，二证，三计算．作找出所求的角是计算的基础．异面直线所成的角一般通过作平行线来作出，而直线与平面所成的角最关键是找一条与平面垂直的垂线，二面角的平面角多采用定义法或三垂线定理等方法．空间角包括：．求空来寻找．最后，一般通间角的一般过解三角步骤是：形求出角的大小．