福建省2013届新课标高考文科数学一轮总复习课件：第57讲 双曲线

了解双曲线的定义、掌握双曲线的几何图形和标准方程，理解它的简单几何性质．12122(_____________)||2.__________________1FFaMMFMFa平面内到两定点、的距离之差的绝对值为常数且①的点的轨迹叫双曲线，对该曲线上任一点，有在定义中，当．双曲线②时表示两条射线，当③时，不表示任的定义何图形．12222222221231(1__________________,0,02____________(0)(0)1__________2000,00)0xFcFcycaxyababFcFcybxyR焦点在轴上的双曲线：④，其中⑤，焦点坐标为，；焦点在轴上的双曲线：⑥，其中，焦点坐标为，，，．范围：⑦，；对称性：对称．双曲线的标准方程．双曲线＞，＞的几何性质轴，，对称中心；123,0,0____________________4(1)AaAacea一般规律：双曲线有两条对称轴，它们分别是两焦点连线及两焦点连线段的中垂线．顶点：，；实轴长⑧，虚轴长⑨；一般规律：双曲线都有两个顶点，顶点是曲线与它本身的对称轴的交点．离心率，双曲线的离心率在，内，离心率确定了双曲线的形状．2222222251____1____....10xyabxyabbabc渐近线：双曲线的两条渐近线方程为；双曲线的两条渐近线方程为双曲线有两条渐近线，它们的交点就是双曲线的中心；焦点到渐近线的距离等于虚半轴长；有公共渐近线的两条双曲线可能是：共轭双曲线；放大的双曲线；共轭放大或放大后共轭的双曲线．已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中的“”为“”就得到两条渐2222222201xyxyabab近线方程，即方程就是双曲线的两条渐近线方程．12122212222222222121202221(00)1(00)22aFFaFFxyaFFababyxcabababxaAAaBBbbayxyxab①＜＜；②；③；④＞，＞；⑤；⑥＞，＞；⑦；⑧【要点指南】；⑨；；1.双曲线x210－y22＝1的焦距为()A．32B．42C．33D．43【解析】由已知得c2＝a2＋b2＝12，所以c＝23，故焦距为43.2.已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为()A.x24－y212＝1B.x212－y24＝1C.x210－y26＝1D.x26－y210＝1【解析】由已知有c＝4，e＝ca＝4a＝2，所以a＝2，b2＝12.所以双曲线的方程为x24－y212＝1.3.过双曲线x2－y2＝8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若|PQ|＝7，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是()A．28B．14－82C．14＋82D．82【解析】由双曲线的定义知，|PF2|－|PF1|＝42，|QF2|－|QF1|＝42，所以|PF2|＋|QF2|－(|PF1|＋|QF1|)＝82，又|PF1|＋|QF1|＝|PQ|＝7，所以|PF2|＋|QF2|＝7＋82，所以△PF2Q的周长为14＋82.4.已知双曲线x24－y2＝1，则其渐近线方程是y＝±12x，离心率e＝52.【解析】由x24－y2＝0，得y＝±12x，即为渐近线的方程．又a＝2，b＝1，所以c＝a2＋b2＝5，所以e＝ca＝52.5.若m0，点P(m，52)在双曲线x24－y25＝1上，则点P到该双曲线左焦点的距离为132.【解析】因为点P在双曲线上，所以m24－5225＝1，又m0，所以m＝3，又双曲线的左焦点为F1(－3,0)，所以|PF1|＝62＋522＝132.一双曲线定义的应用【例1】如果双曲线x24－y22＝1上一点P到双曲线右焦点的距离是10，那么点P到左焦点的距离为()A．6B．14C．6或14D．2或18【解析】因为||PF1|－|PF2||＝2a＝4，|PF2|＝10，所以|PF1|＝6或14，故选C.【点评】本小题主要是应用双曲线的第一定义求解问题．已知动圆M与圆C1：(x＋5)2＋y2＝49和圆C2：(x－5)2＋y2＝1都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．素材1【解析】设动圆半径为R，则|MC1|＝R＋7|MC2|＝R＋1，则|MC1|－|MC2|＝6，可知动点M的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线的右支，其方程为x29－y216＝1(x0)．二求双曲线的标准方程【例2】根据下列条件，分别求出双曲线的标准方程：(1)与双曲线x29－y216＝1有共同的渐近线，且过点(－3，23)；(2)与双曲线x216－y24＝1有公共焦点，且过点(32，2)．【解析】(1)方法1：由双曲线的方程得a＝3，b＝4，所以渐近线方程为y＝±43x.当x＝－3时，y＝－43x＝－43×(－3)＝4＞23，所以所求的双曲线的焦点在x轴上．设所求双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1.由题意，得ba＝43－32a2－232b2＝1，解得a2＝94b2＝4，所以所求双曲线的方程为x294－y24＝1.方法2：双曲线x29－y216＝1的渐近线方程为y＝±43x，所以设所求双曲线的方程为x29－y216＝λ(λ≠0)．将点(－3,23)代入得λ＝14，故所求双曲线的方程为x29－y216＝14，即x294－y24＝1.(2)方法1：设所求双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1.由题意易求得c＝25.又双曲线过点(32，2)，所以322a2－4b2＝1.因为a2＋b2＝(25)2，所以a2＝12，b2＝8.故所求双曲线的方程为x212－y28＝1.方法2：设所求双曲线的方程为x216－k－y24＋k＝1(－4k16)，将点(32，2)代入得k＝4，所以所求双曲线的方程为x212－y28＝1.【点评】待定系数法求双曲线方程最常用的设法：(1)与双曲线x2a2－y2b2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝t(t≠0)；(2)若双曲线的渐近线方程为y＝±bax，则双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝t(t≠0)；(3)与双曲线x2a2－y2b2＝1共焦点的双曲线方程可设为x2a2－k－y2b2＋k＝1(－b2ka2)；(4)过两个已知点的双曲线方程可设为x2m＋y2n＝1(mn0)；(5)与椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)共焦点的双曲线方程可设为x2a2－k－y2k－b2＝1(b2ka2)．合理利用上述结论求双曲线的方程可简化解题过程，提高解题速度．已知点P(0,6)与双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两个焦点的连线互相垂直，且与两个顶点连线的夹角为π3.求双曲线的方程．素材2【解析】设F1、F2为双曲线的两个焦点，依题意，它的焦点在x轴上．因为PF1⊥PF2，且|OP|＝6，所以2c＝|F1F2|＝2|OP|＝12，所以c＝6.又P与两顶点连线的夹角为π3，所以a＝|OP|·tanπ6＝23，所以b2＝c2－a2＝24，故所求双曲线的方程为x212－y224＝1.【例3】如图，F1和F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为()A.3B.5C.52D．1＋3三双曲线的几何性质【解析】连接AF1.由题意得∠F1AF2＝90°，∠AF2F1＝30°，|F1F2|＝2c，|AF1|＝c，|AF2|＝3c，2a＝|AF2|－|AF1|＝3c－c，则双曲线的离心率为e＝2c2a＝2c3c－c＝3＋1，故选D.【点评】本题的关键是将平面几何的性质转化为双曲线的特征量之间的关系．已知F1，F2为双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°，则双曲线的渐近线方程为y＝±2x.素材3【解析】方法1：设F2(c,0)(c＞0)，P(c，y0)，则c2a2－y20b2＝1，解得y0＝±b2a，所以|PF2|＝b2a，在Rt△PF1F2中，∠PF1F2＝30°所以|F1F2|＝3|PF2|，即2c＝3b2a，又c2＝a2＋b2，故有b2＝2a2，所以ba＝2，故所求双曲线的渐近线方程为y＝±2x.方法2：|PF1|＝2|PF2|，由双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝2a，得|PF2|＝2a.因为|PF2|＝b2a，所以b2a＝2a，所以b2＝2a2，所以ba＝2，故双曲线的渐近线方程为y＝±2x.四双曲线的综合应用【例4】已知椭圆C1的方程为x24＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点．(1)求双曲线C2的方程；(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且OA→·OB→2(其中O为原点)，求k的取值范围．【解析】(1)设双曲线C2的方程为：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，则a2＝4－1＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1，故C2的方程为x23－y2＝1.(2)将y＝kx＋2代入x23－y2＝1，得(1－3k2)x2－62kx－9＝0.由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得1－3k2≠0Δ＝－62k2＋361－3k2＝361－k20，所以k2≠13且k21.①设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝62k1－3k2，x1x2＝－91－3k2.所以x1x2＋y1y2＝OA→·OB→＝(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)＝(k2＋1)x1x2＋2k(x1＋x2)＋2＝3k2＋73k2－1.又因为OA→·OB→2，得x1x2＋y1y22，所以3k2＋73k2－12.即－3k2＋93k2－10，解得13k23，②综合①②，得k的取值范围为(－1，－33)∪(33，1)．双曲线C与椭圆x28＋y24＝1有相同的焦点，直线y＝3x为双曲线C的一条渐近线．素材4(1)求双曲线C的方程；(2)过点P(0,4)的直线l，交双曲线C于A、B两点，交x轴于Q点(Q点与C的顶点不重合)．当PQ→＝λ1QA→＝λ2QB→，且λ1＋λ2＝－83时，求Q点的坐标．【解析】(1)设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1.由椭圆x28＋y24＝1，求得两焦点为(－2,0)，(2,0)，所以对于双曲线C有c＝2，又y＝3x为双曲线C的一条渐近线，所以ba＝3，所以a2＝1，b2＝3，所以双曲线C的方程为x2－y23＝1.(2)由题意知，直线l的斜率k存在且不等于零．设l的方程为y＝kx＋4，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Q(－4k，0)．因为PQ→＝λ1QA→，所以(－4k，－4)＝λ1(x1＋4k，y1)，所以－4k＝λ1x1＋4k－4＝λ1y1⇒x1＝－4kλ1－4ky1＝－4λ1.因为A(x1，y1)在双曲线C上，所以16k2(1＋λ1λ1)2－163λ21－1＝0，所以16＋32λ1＋16λ21－163k2－k2λ21＝0，所以(16－k2)λ21＋32λ1＋16－163k2＝0.同理有(16－k2)λ22＋32λ2＋16－163k2＝0.若16－k2＝0，则直线l过顶点，不合题意．所以16－k2≠0.所以λ1、λ2是一元二次方程(16－k2)x2＋32x＋16－163k2＝0的两根．所以λ1＋λ2＝32k2－16＝－83，所以k2＝4，此时，Δ0，所以k＝±2.所以所求Q的坐标为(±2,0)．备选例题已知双曲线C：x21－λ－y2λ＝1(0λ1)的右焦点为B，过点B作直线交双曲线C的右支于M、N两点，试确定λ的取值范围，使OM→·ON→＝0，其中点O为坐标原点．【分析】联立直线方程与双曲线方程，寻找交点坐标的关系．【解析】设M(x1，y1)，N(x