2011-2012年高考总复习一轮名师精讲课件：第17讲三角函数的概念

•第四章三角函数•2012高考调研•考纲要求•1．了解任意角的概念、弧度的意义．能正确地进行弧度与角度的换算．•2.理解任意角的正弦、余弦、正切的定义．了解余切、正割、余割的定义．掌握同角三角函数的基本关系式．掌握正弦、余弦的诱导公式．了解周期函数与最小正周期的意义．•3．掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．•4．能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．•5．理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质．会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y＝Asin(ωx＋φ)的简图，理解A，ω，φ的物理意义．•6．会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx、arccosx、arctanx表示．((文)不做要求)•考情分析•纵观近几年的高考，三角函数部分每年都是两个小题一个大题，分值占总分的12%—15%之间，小题着重考查解析式、图象及图象变换、两域(定义域、值域)、四性(单调性、奇偶性、对称性、周期性)、反函数及简单的三角变换(求值、化简、大小比较)．题目难度属中低档题，大题主要考查三角函数的化简求值、图象和性质、解三角形等．由于近几年高考命题突出以能力为立意，加强对知识综合性和应用性的考查．故常常在知识的交汇处命题．因而对三角知识的考查总是与立体几何、解析几何、导数等综合在一起来考查．•对2012年高考的预测：•1.继续保持对y＝Asin(ωx＋φ)的图象及其变换的重点考查．•2．新教材对公式降低了要求或删减，故对于公式的考查重点会移到诱导公式及同角三角函数的基本关系及和、差、倍角公式上．•3．由于近几年注重在知识交汇点设计题目，故对三角函数的性质的考查会与不等式、数列、向量等结合起来．•4．对周期及对称问题的考查难度明显降低，但仍是重点．•第十七讲三角函数的概念•回归课本•1.角的概念的推广•(1)按旋转方向的不同，角可分为正角、负角及零角．•(2)在直角坐标系内，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边在x轴正半轴上，按终边所在位置的不同角可分为象限角和轴线角(坐标轴上的角)．•(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，可以用式子k·360°＋α(k∈Z)来表示．2．角的度量(1)角度制：周角的1360叫做1度角，用度、分、秒作量角单位的制度叫做角度制．(2)弧度制：等于半径长的圆弧所对的圆心角叫1弧度的角，用弧度作量角单位的制度叫弧度制．(3)角度制与弧度制间的换算关系．180°＝π(弧度)，1弧度＝180π°≈57°18′.(4)弧长l、半径r与其弧所对的圆心角的弧度数α之间的关系为：|α|＝lr.扇形面积S＝12lr.3．任意角的三角函数设α是一个任意大小的角，角α的终边上任意一点P的坐标为(x，y)，它到原点的距离为r(r＞0)，那么α的六个三角函数定义为正弦函数sinα＝yr，余弦函数cosα＝xr，正切函数tanα＝yx，余切函数cotα＝xy，正割函数secα＝rx，余割函数cscα＝ry.4．各三角函数值在每个象限的符号如下图(各象限注明的函数为正，其余为负)•考点陪练•1.(2010·石家庄质检一)点M(2，tan300°)位于()•A．第一象限B．第二象限•C．第三象限D．第四象限•答案：D•2．给出下列四个命题：•①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．•其中正确的命题有()•A．1个B．2个C．3个D．4个•解析：显然①②正确，∵475°＝360°＋115°，－315°＝－360°＋45°，∴③④也正确．•答案：D3．设角α终边上一点P(－4a,3a)(a＜0)，则2sinα＋cosα值为()A.25B．±25C．－25D．与p点位置有关•答案：C解析：r＝|OP|＝－4a2＋3a2＝5|a|＝－5a(a＜0)，∴sinα＝yr＝3a－5a＝－35，cosα＝－4a－5a＝45，从而有2sinα＋cosα＝－35×2＋45＝－25.•答案：B4．若α为第一象限角，那么sin2α，cos2α，sinα2，cosα2中必定为正值的有()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：α∈2k，2kπ＋π2，k∈Z，则2α∈(4kπ，4kπ＋π)，必有sin2α＞0，若2α在第三象限，则cos2α＜0又α2∈kπ，kπ＋π4.若α2在第三象限，则sinα2＜0，cosα2＜0.•解析：利用单位圆中的三角函数线分析可得．•答案：C5．若θ∈(0,2π]，则使sinθcosθcotθtanθ成立的θ取值范围是()A.π4，π2B.34π，πC.54π，32πD.74π，2π类型一三角函数的定义解题准备：角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，P(x，y)为角α终边上的一点，且|OP|＝r(r0)，则有sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝yx(x≠0)．【典例1】已知β的终边在直线y＝3x上，用三角函数定义求sinβ和cotβ的值．[解析]设P(a，3a)(a≠0)为角β终边y＝3x上一点，则cotβ＝a3a＝33.若a＜0，则β是第三象限角，r＝－2a，此时sinβ＝3a－2a＝－32；当a＞0，则β是第一象限角，r＝2a，此时sinβ＝3a2a＝32.•[点评]本题中，参数a是不为零的实数，所以应对它分类讨论，这是不应忽视的．类型二由α所在象限求αn终边位置解题准备：用不等式表示所在象限角α，然后求出角αn所在范围，再确定角αn所在象限．【典例2】已知α为第一象限角，试确定α2是第几象限角．[解析]解法一：因α为第一象限角∴2kπ＜α＜2kπ＋π2，则kπ＜α2＜kπ＋π4.当k＝2n时，2nπ＜α2＜2nπ＋π4，∴α2为第一象限角；当k＝2n＋1时，2nπ＋π＜α2＜2nπ＋54π，∴α2为第三象限角．以上各式均有k∈Z，n∈Z.∴α2为第一、三象限角．解法二：将单位圆平均分成2×4＝8份(如图)，按一、二、三、四且是逆时针顺序标号，得到的“一”所在的阴影部分所示的象限就是α2所在象限，即α2为第一、三象限角．[点评]利用终边相同角的表示，可以由角α所在的象限，判断α2，α3，α4等所在的象限．(1)解法一(范围限定法)：将α的范围用式子表示出来，然后求出α2，α3，α4等角的范围．根据此范围进行判断．此时需要进行分类讨论．(2)解法二(图示法)：把直角坐标系中的各个象限依次进行二等分、三等分、四等分，从x轴右上方开始按逆时针将各区域依次标上1,2,3,4；1,2,3,4；…；α是第几象限角就找数字几，其对应的位置就是α2，α3，α4…所在的象限．•类型三三角函数符号的判定•解题准备：1.根据角所在的象限，确定各三角函数值的符号，进而确定三角函数式的符号；•2．根据三角函数式的符号，确定角所在的象限或求出角的范围，三角函数在各个象限的符号可以用“一全正，二正弦，三两切，四余弦”来确定它的符号．•【典例3】解答下列问题：•(1)若θ在第四象限，试判断sin(cosθ)·cos(sinθ)的符号；•(2)若tan(cosθ)·cot(sinθ)＞0，试指出θ所在象限．•[分析]显然要用到三角函数在各象限内取值符号的结论，其中还应注意cosθ、sinθ本身的取值限制．[解析](1)∵θ在第四象限，∴0＜cosθ＜1＜π2，－π2＜－1＜sinθ＜0.∴sin(cosθ)＞0，cos(sinθ)＞0，∴sin(cosθ)·cos(sinθ)＞0.(2)即tancosθ＞0，cotsinθ＞0；或tancosθ＜0，cotsinθ＜0.∴0＜cosθ＜1，0＜sinθ＜1；或－1＜cosθ＜0，－1＜sinθ＜0.∴θ为第一或第三象限角．•[点评]运用正弦、余弦、正切函数在各象限的函数值符号法则，确定所给函数的函数值符号或通过函数值符号确定角变量的取值范围．•【典例4】已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R.•(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积．•(2)若扇形的周长是一定值C(C0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？类型四弧长与扇形面积问题解题准备：弧长公式l＝|α|R，扇形面积公式S＝12|α|R2，都反映出函数关系，应用时，注意函数思想的渗透．[解析](1)设弧长为l，弓形面积为S弓，∵α＝60°＝π3，R＝10，∴l＝103π(cm)，S弓＝S扇－S△＝12·103π·10－12·102·sin60°＝50π3－32(cm2)(2)∵扇形周长C＝2R＋l＝2R＋αR，∴R＝C2＋α，∴S扇＝12α·R2＝12αC2＋α2＝C22α·14＋4α＋α2＝C22·14＋α＋4α≤C216.∴当α＝4α，即α＝2(α＝－2舍去)时，扇形面积有最大值C216.•[点评]涉及弧长和扇形面积的计算，可用的公式有角度和弧度表示的两种，其中弧度表示的公式结构简单，易记好用，在使用前应将圆心角用弧度表示．•快速解题•技法已知∠α的始边与x轴正向重合(顶点在原点)，终边过点(3k，－4k)(k≠0)，则tanα＝________，sinα＝________.快解：取k＝1，则x＝3，y＝－4，r＝5，∴tanα＝－43，sinα＝－45.取k＝－1，则x＝－3，y＝4，r＝5，∴tanα＝－43，sinα＝45.