2011-2012年高考总复习一轮名师精讲课件：第36讲椭圆

•第八章圆锥曲线方程•2012高考调研•考纲要求•1．掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质；理解椭圆的参数方程．•2．掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质．•3．掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质．•4．了解圆锥曲线的简单应用．•5．能用运动、变化的观点理解圆锥曲线的有关内容．•考情分析•圆锥曲线是解析几何的核心内容，是中学数学各骨干知识和各种思想方法的交汇点，也是初等数学与高等数学的衔接点，集中而完美地实现了数与形的相互转换，也是数形结合的一个典范，因此圆锥曲线成为历届高考的命题热点．经过对近几年高考试题的统计、分析，特别是近年的高考卷，可以发现有下面四个显著特点：•1．在椭圆中一般以选择题或填空题的形式考查考生对椭圆的两个定义、离心率、焦点坐标、准线方程等基础知识的掌握情况；以解答题的形式考查考生在求解椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系等涉及分析、探求的数学思想的掌握情况．•2．在双曲线中常以一道选择题或填空题的形式考查双曲线的两个定义、焦点坐标、离心率、准线方程以及渐近线方程等基础知识；在解答题中往往综合性较强，在知识的交汇点出题，对双曲线的基础知识、解析几何的基本技能和基本方法进行考查．•3．抛物线是历年高考的重点，在高考中除了考查抛物线的定义、标准方程、几何性质外，还常常与函数问题、应用问题结合起来进行考查，难度往往是中等．•4．圆锥曲线的综合应用问题，往往以解答题的形式进行考查．常以与圆锥曲线有关的定值问题、最值问题、范围问题等面貌呈现，这类以圆锥曲线为载体的解答题，多与函数、方程、不等式、三角函数、平面向量等知识交汇在一起．这类试题往往蕴含着数形结合、等价转换、分类讨论等重要的数学思想，对同学们的数学能力有较高的要求．•第三十六讲椭圆•回归课本•1.椭圆的定义•第一定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a(2a＞)的点的轨迹叫做椭圆．•第二定义：平面内与一个定点F和一条直线l(F不在l上)的距离的比是常数e(0＜e＜1)的动点轨迹叫做椭圆．•2．椭圆的标准方程和几何性质(如下表所示)标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)x2b2＋y2a2＝1(a＞b＞0)图形焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距F1F2＝2c(c＝a2－b2)F1F2＝2c(c＝a2－b2)范围x≤a，y≤bx≤b，y≤a性质对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点(±a,0)，(0，±b)(0，±a)，(±b,0)轴长轴长2a，短轴长2b离心率e＝ca(0＜e＜1)准线方程x＝±a2cy＝±a2c焦半径PF1＝a＋ex，PF2＝a－exPF1＝a＋ey，PF2＝a－ey3.椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的参数方程是x＝acosθy＝bsinθ(θ为参数)．考点陪练1.已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足MF1→·MF2→＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是()A．(0,1)B.0，12C.0，22D.22，1•答案：C解析：∵MF1→·MF2→＝0，∴M点轨迹方程为x2＋y2＝c2，其中F1F2为直径，由题意知椭圆上的点在圆x2＋y2＝c2外部，设点P为椭圆上任意一点，则|OP|c恒成立，由椭圆性质知|OP|≥b，其中b为椭圆短半轴长，∴bc，∴c2b2＝a2－c2，∴a22c2，∴ca212，∴e＝ca22.又∵0e1，∴0e22.•答案：B2．设椭圆x2m2＋y2m2－1＝1(m1)上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P到右准线的距离为()A．6B．2C.12D.277解析：由椭圆上的点P到左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1知|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，∴a＝2.∴m＝2.∴椭圆方程为x24＋y23＝1，∴e＝12.由椭圆的第二定义知，点P到右焦点的距离与到右准线的距离之比为12，即1d＝12，∴d＝2.•答案：C3．(2011·天门)设P是椭圆x29＋y24＝1上一动点，F1、F2是椭圆的两个焦点，则cos∠F1PF2的最小值是()A.12B.19C．－19D．－59解析：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，由题意m＋n＝6，c＝5，则cos∠F1PF2＝m2＋n2－2c22mn＝m＋n2－4c2－2mn2mn＝4b22mn－1≥2×4m＋n22－1＝－19.•4．(2011·杭州)在平面直角坐标系中，若方程m(x2＋y2＋2y＋1)＝(x－2y＋3)2表示的曲线为椭圆，则实数m的取值范围是()•A．(0,1)B．(1，＋∞)•C．(0,5)D．(5，＋∞)解析：将原方程变形为m[x2＋(y＋1)2]＝(x－2y＋3)2，则m＞0(当m＜0时不表示任何曲线；当m＝0时表示直线)，方程进一步变为：m·x2＋y＋12＝|x－2y＋3|.①设动点P(x，y)，已知点A(0，－1)，直线l：x－2y＋3＝0，则动点P(x，y)到直线l的距离d＝|x－2y＋3|5，|PA|＝x2＋y＋12，•答案：D方程①转化为m·|PA|＝5d，所以|PA|d＝5m.故动点P(x，y)到定点A(0，－1)的距离与到定直线l：x－2y＋3＝0的距离之比为5m，由椭圆第二定义知该椭圆离心率为5m，则0＜5m＜1，m∈(5，＋∞)．故选D.5．定义：离心率e＝5－12的椭圆为“黄金椭圆”，已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的一个焦点为F(c,0)(c0)，P为椭圆E上的任意一点，若a，b，c不是等比数列，则()A.E是“黄金椭圆”B.E一定不是“黄金椭圆”C.E不一定是“黄金椭圆”D．可能不是“黄金椭圆”•答案：B解析：假设E为黄金椭圆，则e＝ca＝5－12，即c＝5－12a，∴b2＝a2－c2＝a2－5－12a2＝5－12a2＝ac.即a，b，c成等比数列，与已知矛盾，故椭圆E一定不是“黄金椭圆”．•【典例1】•如图△ABC中底边BC＝12，其他两边AB和AC上中线的和为30，求此三角形重心G的轨迹方程，并求顶点A的轨迹方程．类型一椭圆定义的应用解题准备：利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a及|PF|d＝e可以求解有关问题．•[解析]以BC所在直线为x轴，BC边中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则B(6,0)，C(－6,0)，CE、BD为AB、AC边上的中线，则|BD|＋|CE|＝30.[分析]由三角形中线性质，GC＝23EC，BG＝23BD，∵两中线和为定值，∴G到B、C的距离和也是定值．A、G坐标之间有关系，可用“相关点代入法”求A点的轨迹方程．由重心性质可知|GB|＋|GC|＝23(|BD|＋|CE|)＝20.∵B、C是两个定点，G点到B、C距离和等于定值20，且2012，∴G点轨迹是椭圆，B、C是椭圆焦点．2c＝|BC|＝12，c＝6,2a＝20，a＝10，b2＝a2－c2＝102－62＝64.故G点轨迹方程为x2100＋y264＝1，去掉(10,0)、(－10,0)两点．又设G(x′，y′)，A(x，y)，则有x′2100＋y′264＝1.又∵x′＝x＋2×01＋2，y′＝y＋2×01＋2，∴x′＝x3，y′＝y3.故A点轨迹方程为x32100＋y3264＝1.即x2900＋y2576＝1，去掉(－30,0)、(30,0)两点．•[误区指津]求A点轨迹方程时，易忽略去掉(±30,0)两点，因此，求轨迹方程时，一定要注意实际问题(本题是三角形)对轨迹的约束条件．•[点评](1)要根据实际问题恰当的建立直角坐标系．对称性是经常考虑的一个因素，如本题中B、C关于原点O对称．•(2)本题的第一问是利用椭圆第一定义求得轨迹方程的，第二问是利用转移法求得轨迹方程的．探究1：在椭圆x225＋y29＝1上求一点P，使它到左焦点的距离是它到右焦点的距离的两倍．解析：设P点的坐标为(x，y)，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点．∴椭圆的准线方程为x＝±254，∵|PF1|254＋x＝|PF2|254－x，|PF1|＝2|PF2|，∴x＝2512.把x＝2512代入方程x225＋y29＝1，得y＝±1194.因此，P点的坐标为2512，±1194.•类型二求椭圆的标准方程•解题准备：求椭圆方程的方法：•1．轨迹法：若所求的方程无法定性且侧重动点属性的表达时，可按求动点轨迹的方法求解；•2．直接法：若所求的椭圆易定性且多以几何性质为求解条件时，应用待定系数法可直接求得a，b的值，然后结合给定的性质写出方程，其中难点为求a，b的值．【典例2】根据下列条件求椭圆的标准方程：(1)两准线间的距离为1855，焦距为25；(2)和椭圆x224＋y220＝1共准线，且离心率为12；(3)已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为435和235，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点．[解析](1)设椭圆长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，则2·a2c＝1855，2c＝25，a2＝b2＋c2.解得a＝3，b＝2.∴所求椭圆方程为x29＋y24＝1或y29＋x24＝1.(2)设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a0，b0)，则其准线为x＝±12.∴a2c＝12，ca＝12，a2＝b2＋c2.解得a＝6，b＝33.∴所求椭圆方程为x236＋y227＝1.(3)2a＝|PF1|＋|PF2|＝25，∴a＝5.由b2a＝235，得b2＝103.∴所求椭圆方程为x25＋310y2＝1或y25＋3x210＝1.[点评]设椭圆标准方程，若焦点在x轴上，则为x2a2＋y2b2＝1；若焦点在y轴上，则为y2a2＋x2b2＝1.有时为了运算方便，设mx2＋ny2＝1(m0，n0，m≠n)．•分析：可设形式为mx2＋ny2＝1.探究2：已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(6，1)、P2(－3，－2)，求椭圆的方程．解析：设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m0，n0且m≠n)．∵椭圆经过P1、P2点，∴P1、P2点坐标适合椭圆方程，则6m＋n＝1，①3m＋2n＝1，②•点评：运用待定系数法求椭圆标准方程，即设法建立关于a、b的方程组，先定型，再定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx2＋ny2＝1(m0，n0，m≠n)，由题目所给条件求出m、n即可．①、②两式联立，解得m＝19，n＝13.∴所求椭圆方程为x29＋y23＝1.类型三椭圆的几何性质的应用解题准备：利用椭圆的几何性质可以求离心率e＝ca，及利用性质求椭圆的标准方程．【典例3】椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的两个焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)，M是椭圆上一点，且满足F1M→·F2M→＝0.(1)求椭圆的离心率e的取值范围；(2)当离心率e取得最小值时，点N(0,3)到椭圆上的点的最远距离为52，求此时椭圆的方程．[解析](1)设点M的坐标为(x，y)，则F1M→＝(x＋c，y)，F2M→＝(x－c，y)，由F1M→·F2M→＝0，得x2－c2＋y2＝0，即x2－c2＝－y2①又由点M在椭圆上，得y2＝b2－b2a2x2.代入①得x2－c2＝b2a2x2－b2，即x2＝a2－a2b2c2.∵0≤x2≤a2，∴0≤a2－a2b2c2≤a2，即0≤2c2－a2c2≤1，∴0≤2－1e2≤1，解得22≤e≤1，又∵0e1，∴22≤e＜1.(2)当离心率e取最小值22时，椭圆方程可表示为x22b2＋y2b2＝1，∴x2＝2b2－2y2.设点H(x，y)是椭圆上的一点，则|HN|2＝x2＋(y－3)2＝(2b2－2y2)＋(y－3)2＝－(y＋3)2＋2b2＋18(－b≤y≤b)．若0b3，