2011-2012年高考总复习一轮名师精讲课件：第59讲(理)数列的极限

•第五十九讲数列的极限回归课本1.数列极限的定义一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列{an}的项an无限地趋近于某个常数a(即|an－a|无限地接近于0)，那么就说数列{an}以a为极限，或者说a是数列{an}的极限．记作limn→∞an＝a.2．常用的极限(1)limn→∞C＝C(C为常数)；(2)limn→∞Cn＝0；(3)limn→∞qn＝1q＝10|q|1不存在|q|1或q＝－1(4)若f(n)，g(n)是关于n的多项式，其次数分别为k和h，次数最高项的系数分别为a，b(ab≠0)，则limn→∞fngn＝不存在khabk＝h0kh(其中f(n)＝ank＋a1nk－1＋…＋ak－1，g(n)＝bnh＋b1nh－1＋…＋bn－1)(5)limn→∞an－bnan＋bn＝1|a||b|0a＝b－1|a||b|.3．数列极限的四则运算法则如果limn→∞an＝A，limn→∞bn＝B，那么limn→∞(an±bn)＝A±B，limn→∞(an·bn)＝A·B，limn→∞anbn＝AB(B≠0)．考点陪练1.若数列{an}是首项为1，公比为a－32的无穷等比数列，且{an}各项的和为a，则a的值是()A．1B．2C.12D.54•答案：B解析：∵1－a－32n1－a－32＝a，又∵limn→∞a－32n＝0，∴11－a－32＝a，∴2a2－5a＋2＝0.∴a＝2或12(舍)．•答案：C•点评：本题考查数列极限的求法．2．已知p和q是两个不相等的正整数，且q≥2，则limn→∞1＋1np－11＋1nq－1＝()A．0B．1C.pqD.p－1q－1解析：原式＝limn→∞Cp1＋Cp21n＋Cp31n2＋…＋Cpp1np－1Cq1＋Cq21n＋…＋Cqq1nq－1＝pq.•答案：D•点评：本小题主要考查二项式定理以及数列、极限的有关知识．3．把1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n展开成关于x的多项式，其各项系数和为an，则limn→∞2an－1an＋1等于()A.14B.12C．1D．2解析：令多项式中x＝1得an＝2n＋1－1，所以limn→∞2an－1an＋1＝limn→∞2－32n＋1＝2.4.limn→∞12nn2＋1－n2－1等于()A．1B.12C.14D．0•答案：B解析：limn→∞12nn2＋1－n2－1＝limn→∞n2＋1＋n2－12n·n2＋1－n2－1·n2＋1＋n2－1＝limn→∞n2＋1＋n2－14n＝limn→∞1＋1n2＋1－1n24＝24＝12，应选B.5．若limn→∞1＋a2an存在，则常数a的取值范围是________．解析：∵limn→∞1＋a2an存在，∴1＋a2a1或1＋a2a＝1，即1＋a2a21或a＝1，∴a≥1或a－13.答案：a≥1或a－13•类型一求数列的极限•解题准备：1.一般地，分子和分母都是关于n的多项式的极限，通常把分子、分母同除以分子、分母中n的最高次数项求极限．所求极限式为n项(→∞)的和，通常要先求和化简，后求极限．求含指数式的极限，通常要利用qn＝0(|q|1)这一结论，求解时，分子、分母同除以指数式中底数绝对值最大的一式．•2．对于无限项的和或积的极限应先把无限项转化为有限项，再求极限．【典例1】求下列数列的极限：(1)limn→∞(n＋3－n－2)；(2)limn→∞n＋4－n－1n＋2－n；(3)limn→∞11×3＋12×4＋…＋1nn＋2；(4)limn→∞1＋121＋141＋116…1＋122n.[解析](1)limn→∞(n＋3－n－2)＝limn→∞5n＋3＋n－2＝0.(2)limn→∞n＋4－n－1n＋2－n＝limn→∞5n＋2＋n2n＋4＋n－1＝limn→∞51＋2n＋121＋4n＋1－1n＝52.(3)原式＝limn→∞121－13＋12－14＋13－15＋…＋1n－1n＋2＝limn→∞121＋12－1n＋1－1n＋2＝34.(4)原式＝limn→∞1－121＋121＋141＋116…1＋122n1－12＝limn→∞1－122n21－12＝2.•[误区指津]有限个数列的极限可以进行四则运算，无限个数列的极限一般不能直接进行四则运算，计算时常把极限符号后面的表达式进行化简整理后再求极限．•[点评]在高中阶段求数列的极限最终转化为和qn两种类型，对于具体问题有不同的处理技巧：•(1)对于无理型极限，有时需要进行分子或分母有理化．•(2)连加型极限，必须先求和，再求极限．•(3)连积型极限，必须先求积，再求极限．类型二含参数的极限问题解题准备：逆向求解待定系数，除了运用极限运算法则外，还要注意极限存在的条件．【典例2】(1)若limn→∞1nn＋a－n＝1，则常数a＝______；(2)若a，b为常数，limn→∞(a2n2＋n＋1－bn)＝1，则a＝______，b＝______.•[分析]求出相应极限值，利用已知极限值与所求极限相等解决．[解析](1)limn→∞1nn＋a－n＝limn→∞n＋a＋nnn＋a－n＝limn→∞1＋an＋1a＝2a＝1.∴a＝2.(2)limn→∞(a2n2＋n＋1－bn)＝limn→∞2a2－b2n2＋a2n＋a2a2n2＋n＋1＋bn＝limn→∞2a2－b2n＋a2＋a2na2＋2n＋1n2＋b＝1，•[点评]该类问题为求极限的逆向思维问题，一般从求极限往返和建立待定系数的方程、方程组或依常见的极限条件去解．∴2a2－b2＝0a22a＋b＝1显然a·b≠0，∴a＝22，b＝4.[答案](1)2(2)224类型三数列极限的综合应用解题准备：1.运用数列极限运算法则时注意；参与运算的每一个数列的极限都是存在的；参与运算的数列的个数必须是有限个；2．基本极限limn→∞qn＝0(|q|1)要熟悉．【典例3】已知等比数列的首项为1，公比为q(q0)，Sn是其前n项和，设Tn＝SnSn＋1，求limn→∞Tn.[解析]当q＝1时，Sn＝n，Tn＝SnSn＋1＝nn＋1，∴limn→∞Tn＝limn→∞nn＋1＝1.当q0且q≠1时，Sn＝1－qn1－q，Tn＝SnSn＋1＝1－qn1－qn＋1①若0q1，则limn→∞Tn＝1－limn→∞qn1－limn→∞qn＋1＝1；②若q1，则limn→∞Tn＝limn→∞1－qn1－qn＋1＝limn→∞1qn－11qn－q＝－1－q＝1q.综上所述，limn→∞Tn＝10q≤11qq1•快速解题•技法数列{an}由a1＝a，a2＝b,3an＋2－5an＋1＋2an＝0确定，若•Sn＝9，求常数a，b的值．快解：将3an＋2－5an＋1＋2an＝0变形为：3(an＋2－an＋1)＝2(an＋1－an)，又a2－a1＝b－a，所以{an＋1－an}是以b－a为首项，以23为公比的等比数列．即an＋1－an＝(b－a)23n－1.又an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1＝(3b－2a)－3(b－a)23n－1，则Sn＝(3b－2a)n－9(b－a)[1－23n]，由limn→∞Sn＝9，得3b－2a＝0，b－a＝－1，⇒a＝3，b＝2.