2011-2012高三总复习 三角函数专题

2012届高考数学第一轮复习三角函数主讲人:杜浩勤普宁市城东中学一、解读大纲,明确考点1.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.2.理解同角三角函数的基本关系式：22sinsincos1,tancosxxxxx3.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.4.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．5.能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象．6.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间上的单调性．了解三角函数的周期性.题号题型考查知识点200820092010201112填空题三角函数周期16解答题三角函数的性质及恒等变换三角函数求值三角函数周期性、三角函数化简和求值三角函数性质、三角函数求值二、身临其境,实战模拟（一）近四年（2008-2011年）广东高考三角函数考查知识点：（二）具体各年题型分布如下：（2008年广东高考）12．已知函数()(sincos)sinfxxxx，xR，则()fx的最小正周期是．解析：21cos2121()sinsincossin2cos(2)22242xfxxxxxx，故函数的最小正周期22T。16．（本小题满分13分）已知函数()sin()(00π)fxAxA，，xR的最大值是1，其图像经过点π132M，．（1）求()fx的解析式；（2）已知π02，，，且3()5f，12()13f，求()f的值．解：（1）依题意有1A，则()sin()fxx，将点1(,)32M代入得1sin()32，而0，536，2，故()sin()cos2fxxx；（2）依题意有312cos,cos513，而,(0,)2，2234125sin1(),sin1()551313，3124556()cos()coscossinsin51351365f。（2009年广东高考）16．(本小题满分12分）已知向量)2,(sina与)cos,1(b互相垂直，其中(0,)2．（1）求sin和cos的值；（2）若10sin(),0102，求cos的值．解：（1）∵a与b互相垂直，则0cos2sinba，即cos2sin，代入1cossin22得55cos,552sin，又(0,)2，∴55cos,552sin.（2）∵20，20，∴22，则10103)(sin1)cos(2，∴cos22)sin(sin)cos(cos)](cos[.（2010年广东高考）16．（本小题满分l4分）sin3(0,0412212sin.3125fxAxAxxfff已知函数＞，，＜＜），在时取得最大值。（1）求(x)的最小周期（2）求(x)的解析式（3）若（+）=，求max2;3(2)()4A=4()()4sin(3)4,sin()1,1212450,,.444424()4sin(3)42212(3)()4sin3(),3123124523sin3()sin(31245fxfxffxxf解:(1)T=由的最大值是知，，即即，22332),cos2,25531512sin,sinsin555即（2011年广东高考）16.（本小题满分12分）已知函数1()2sin(),36fxxxR（1）求5()4f的值；（2）设106,0,,(3),(32),22135ff求cos()的值．解：(1)55()2sin()2sin241264f;(2)10(3)2sin213f，5sin13，又[0,]2，12cos13，6(32)2sin()2cos25f，3cos5，又[0,]2，4sin5，16cos()coscossinsin65．三、稳扎稳打,强化训练题型一：三角函数定义1．如右图在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆交于A，B两点，已知A、B的横坐标分别为210、255.求：tan(α＋β)的值；因为α为锐角，故sinα0，从而sinα＝1－cos2α＝7210.同理可得sinβ＝55.因此tanα＝7，tanβ＝12.所以tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝7＋121－7×12＝－3.解：由已知条件及三角函数的定义可知，cosα＝210，cosβ＝255.本题主要考查三角函数的定义，根据三角函数的定义，本题所给的两个横坐标实际上就是α，β的余弦值，又由于这两个角都是锐角，由同角三角函数的关系式就可以求出这两个角的正切，再代入两角和的正切公式就可以得出结果。题型二：简单三角恒等变形1.已知sinα＝12＋cosα，且α∈0，π2，则cos2αsinα－π4的值为______．2.若0απ2，－π2β0，cos（π4＋α）＝13，cos（π4－β2）＝33，则cos（α＋β2）＝()A.33B．－33C.539D．－69解：(1)cos2αsinα－π4＝cos2α－sin2α22sinα－cosα＝cosα＋sinαcosα－sinα22sinα－cosα＝－2(cosα＋sinα)，∵sinα＝12＋cosα，∴cosα－sinα＝－12，两边平方得1－2sinαcosα＝14，所以2sinαcosα＝34.∵α∈0，π2，∴cosα＋sinα＝cosα＋sinα2＝1＋34＝72，∴cos2αsinα－π4＝－142.(2)∵cosπ4＋α＝13，0απ2，∴sinπ4＋α＝233.又∵cosπ4－β2＝33，－π2β0，∴sinπ4－β2＝63，∴cosα＋β2＝cosπ4＋α－π4－β2＝cosπ4＋αcosπ4－β2＋sinπ4＋αsinπ4－β2＝13×33＋223×63＝539.1．在进行三角函数化简或者求值时，如果求解目标较为复杂，则首先要变换这个求解目标，使之简化，以便看出如何使用已知条件．2．在进行三角恒等变换时，一个重要的技巧是进行角的变换，把求解的角用已知角表示出来，把求解的角的三角函数使用已知的三角函数表示出来，常见的角的变换有，把π2＋2α变换成2π4＋α，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α＝(β＋α)－(β－α)，α＋β＝2·α＋β2，α＋β2＝α－β2－α2－β等；题型三:三角函数图像与性质1.已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω0)，y＝f(x)的图象与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f(x)的单调递增区间是()A.3,88kk，k∈ZB.3,88kk，k∈ZC.5,88kk，k∈ZD.,88kk，k∈Z解：f(x)＝2sin()4x，∵y＝f(x)的图象与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于π，∴f(x)的周期为T＝π，又∵T＝2πω，∴ω＝2，∴f(x)＝2sin(2)4x，由2kπ－π2≤2x＋4≤2kπ＋π2，得kπ－38≤x≤kπ＋8，k∈Z，∴f(x)的单调递增区间是3,88kk，k∈Z，故选B.求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω0)单调区间常用换元法：将ωx＋φ作为一个整体，若求单调增区间，令ωx＋φ∈2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)；若求单调减区间，则令ωx＋φ∈2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k∈Z)．值得注意的是，若ω0，则需要利用诱导公式将其转换为f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω0)的形式，再用换元法求单调区间．22.log[2sin(2)]31203fxxfxfxxfx已知函数．求：函数的定义域；满足的值的集合；函数的值域．12sin(2)0sin(2)033222()32()632()()63xxkxkkkxkkfxkkkZZZ解：令，得，，则．故的定义域为，．220sin(2)22323437132()()42424713{|}2424fxxxkkkxkxkkxxxkxkkZZZ，，则或，得或．故的取值集合是或，．2302sin(2)2log31(0)(]2xfxxfx因为，且在，上为增函数，故的值域为，．sinyx解决本题的关键是转化为基本函数的定义域、零点进行求解．3．已知函数f(x)＝12sin2xsinφ＋cos2xcosφ－12sinπ2＋φ(0φπ)，其图象过点π6，12.(1)求φ的值；(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在0，π4上的最大值和最小值．解：(1)因为f(x)＝12sin2xsinφ＋cos2xcosφ－12·sinπ2＋φ(0φπ)．所以f(x)＝12sin2xsinφ＋1＋cos2x2cosφ－12cosφ＝12sin2xsinφ＋12cos2xcosφ＝12(sin2xsinφ＋cos2xcosφ)＝12cos(2x－φ)．又函数图象过点π6，12，所以12＝12·cos2×π6－φ，即cosπ3－φ＝1.又0φπ，所以φ＝π3.(2)由(1)知f(x)＝12cos2x－π3，将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，可知g(x)＝f(2x)＝12cos4x－π3.因为x∈0，π4，所以4x∈[0，π]，因此4x－π3∈－π3，2π3，故－12≤cos4x－π3≤1.所以y＝g(x)在0，π4上的最大值和最小值分别为12和－14.(1)已知图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的解析式时，常用的方法是待定系数法．由图中的最大、最小值求出A，由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ的值．(2)将点的坐标代入解析式时，要注意选择的点属于“五点法”中的哪一个点．“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx0＋φ＝0＋2kπ(k∈Z)，其他依次类推即可．四、及时巩固，查缺补漏11()()270tantan21.已知，，，且－，，求－的值．解:tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tanα－β＋tanβ1－tanα－βtanβ＝12－171＋12×17＝13，tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tanα＋tanα－β1－tanαtanα－β＝13＋121－1