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沧海工作室数学答题模板【22个】【模板特征概述】数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型,通常是高考的把关题和压轴题,具有较好的区分层次和选拔功能.目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题.在高考考场上,能否做好解答题,是高考成败的关键,因此,在高考备考中学会怎样解题,是一项重要的内容.本节以著名数学家波利亚的《怎样解题》为理论依据,结合具体的题目类型,来谈一谈解答数学解答题的一般思维过程、解题程序和答题格式,即所谓的“答题模板”.“答题模板”就是首先把高考试题纳入某一类型,把数学解题的思维过程划分为一个个小题,按照一定的解题程序和答题格式分步解答,即化整为零.强调解题程序化,答题格式化,在最短的时间内拟定解决问题的最佳方案,实现答题效率的最优化.第2讲模板1三角函数的周期性、单调性及最值问题【例1】已知函数f(x)=2cosx·sinx+π3-3sin2x+sinxcosx+1.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)求函数f(x)的最大值及最小值;(3)写出函数f(x)的单调递增区间.审题路线图不同角化同角→降幂扩角→化f(x)=Asin(ωx+φ)+h→结合性质求解.规范解答第2讲解f(x)=2cosx12sinx+32cosx-3sin2x+sinx·cosx+1=2sinxcosx+3(cos2x-sin2x)+1=sin2x+3cos2x+1=2sin2x+π3+1.(1)函数f(x)的最小正周期为2π2=π.(2)∵-1≤sin2x+π3≤1,∴-1≤2sin2x+π3+1≤3.∴当2x+π3=π2+2kπ,k∈Z,即x=π12+kπ,k∈Z时,f(x)取得最大值3;当2x+π3=-π2+2kπ,k∈Z,即x=-5π12+kπ,k∈Z时,f(x)取得最小值-1.第2讲(3)由-π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ,k∈Z得-5π12+kπ≤x≤π12+kπ,k∈Z.∴函数f(x)的单调递增区间为-5π12+kπ,π12+kπ(k∈Z).第2讲构建答题模板第一步:三角函数式的化简,一般化成y=Asin(ωx+φ)+h的形式或y=Acos(ωx+φ)+h的形式.如:f(x)=2sin2x+π3+1.第二步:根据f(x)的表达式求其周期、最值.第三步:由sinx、cosx的单调性,将“ωx+φ”看作一个整体,转化为解不等式问题.第四步:明确规范表述结论.第五步:反思回顾.查看关键点、易错点及解题规范.第2讲模板2与平面向量综合的三角函数问题【例2】已知向量a=(cos3x2,sin3x2),b=(-sinx2,-cosx2),其中x∈π2,π.(1)若|a+b|=3,求x的值;(2)函数f(x)=a·b+|a+b|2,若cf(x)恒成立,求实数c的取值范围.审题路线图(1)|a+b|=3→a2+2a·b+b2=3→三角方程→求x.(2)化f(x)向量表示式为三角表达式→化简f(x)=Asin(ωx+φ)+h→f(x)max→cf(x)max.规范解答解(1)∵a+b=(cos3x2-sinx2,sin3x2-cosx2),∴|a+b|=cos3x2-sinx22+sin3x2-cosx22=2-2sin2x,第2讲由|a+b|=3,得2-2sin2x=3,即sin2x=-12.∵x∈π2,π,∴π≤2x≤2π.因此2x=π+π6或2x=2π-π6,即x=7π12或x=11π12.(2)∵a·b=-cos3x2sinx2-sin3x2cosx2=-sin2x,∴f(x)=a·b+|a+b|2=2-3sin2x,∵π≤2x≤2π,∴-1≤sin2x≤0,0≤-3sin2x≤3.∴2≤f(x)=2-3sin2x≤5.∴f(x)max=5,由cf(x)恒成立,得c5.第2讲构建答题模板第一步:根据向量运算将向量式转化为三角式;第二步:化简三角函数式,一般化为y=Asin(ωx+φ)+h的形式;第三步:解三角方程或求三角函数的单调区间、最值;第四步:明确规范地写出答案;第五步:反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范.如本题的易错点为易忽略x∈π2,π这一条件.第2讲模板3由数列的前n项和Sn与通项an的关系求通项an【例3】已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n∈N*),等差数列{bn}中,bn0(n∈N*),且b1+b2+b3=15,又a1+b1、a2+b2、a3+b3成等比数列.(1)求数列{an}、{bn}的通项公式;(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.第2讲第2讲规范解答解(1)∵a1=1,an+1=2Sn+1(n∈N*),∴an=2Sn-1+1(n∈N*,n≥2),∴an+1-an=2(Sn-Sn-1),即an+1-an=2an,∴an+1=3an(n∈N*,n≥2).而a2=2a1+1=3,∴a2=3a1.∴数列{an}是以1为首项,3为公比的等比数列,∴an=3n-1(n∈N*).∴a1=1,a2=3,a3=9,在等差数列{bn}中,∵b1+b2+b3=15,∴b2=5.又∵a1+b1、a2+b2、a3+b3成等比数列,设等差数列{bn}的公差为d,则有(a1+b1)(a3+b3)=(a2+b2)2.∴(1+5-d)(9+5+d)=64,解得d=-10或d=2,∵bn0(n∈N*),∴舍去d=-10,取d=2,∴b1=3,∴bn=2n+1(n∈N*).第2讲(2)由(1)知Tn=3×1+5×3+7×32+…+(2n-1)3n-2+(2n+1)3n-1,①∴3Tn=3×3+5×32+7×33+…+(2n-1)3n-1+(2n+1)3n,②∴①-②得-2Tn=3×1+2×3+2×32+2×33+…+2×3n-1-(2n+1)3n=3+2(3+32+33+…+3n-1)-(2n+1)3n=3+2×3-3n1-3-(2n+1)3n=3n-(2n+1)3n=-2n·3n,∴Tn=n·3n.第2讲构建答题模板第一步:令n=1,由Sn=f(an)求出a1.第二步:令n≥2,构造an=Sn-Sn-1,用an代换Sn-Sn-1(或用Sn-Sn-1代换an,这要结合题目特点),由递推关系求通项.第三步:验证当n=1时的结论是否适合当n≥2时的结论.如果适合,则统一“合写”;如果不适合,则应分段表示.第四步:写出明确规范的答案.第五步:反思回顾.查看关键点、易错点及解题规范.本题的易错点,易忽略对n=1和n≥2分两类进行讨论,同时忽视结论中对二者的合并.第2讲模板4数列求和问题【例4】(2012·江西)已知数列{an}的前n项和Sn=-12n2+kn(其中k∈N+),且Sn的最大值为8.(1)确定常数k,并求an;(2)求数列9-2an2n的前n项和Tn.审题路线图Sn=-12n2+kn为关于n的二次函数↓当n=k时,Sn取最大值↓Sk=-12k2+k2=12k2=8↓解关于k的方程得:k=4↓定Sn=-12n2+4n第2讲↓an=Sn-Sn-1=92-n(n≥2)↓bn=9-2an2n=n2n-1↓Tn=1+22+322+423+…+n2n-1↓用错位相减求和规范解答解(1)当n=k∈N+时,Sn=-12n2+kn取最大值,即8=Sk=-12k2+k2=12k2,故k2=16,因此k=4,从而an=Sn-Sn-1=92-n(n≥2).又a1=S1=72,所以an=92-n.第2讲(2)因为bn=9-2an2n=n2n-1,Tn=b1+b2+…+bn=1+22+322+…+n-12n-2+n2n-1,所以Tn=2Tn-Tn=2+1+12+…+12n-2-n2n-1=4-12n-2-n2n-1=4-n+22n-1.第2讲构建答题模板第一步:利用条件求数列{bn}的通项公式.第二步:写出Tn=b1+b2+…+bn的表达式.第三步:分析表达式的结构特征、确定求和方法.(例如:公式法、裂项法,本题用错位相减法).第四步:明确规范表述结论.第五步:反思回顾.查看关键点,易错点及解题规范.如本题中在求an时,易忽视对n=1,n≥2时的讨论.第2讲模板5立体几何中的基本关系与基本量问题【例5】在如图所示的空间几何体中,平面ACD⊥平面ABC,AB=BC=CA=DA=DC=BE=2,BE和平面ABC所成的角为60°,且点E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分线上.(1)求证:DE∥平面ABC;(2)求多面体ABCDE的体积.审题路线图在平面ABC内作辅助线OF→证明DE∥OF→将多面体ABCDE分割→分别求两个三棱锥体积之和.第2讲规范解答(1)证明由题意知,△ABC,△ACD都是边长为2的等边三角形,取AC中点O,连接BO,DO,则BO⊥AC,DO⊥AC.∵平面ACD⊥平面ABC,∴DO⊥平面ABC,作EF⊥平面ABC,第2讲那么EF∥DO,根据题意,点F落在BO上,∴∠EBF=60°,易求得EF=DO=3,∴四边形DEFO是平行四边形,DE∥OF.∵DE平面ABC,OF⊂平面ABC,∴DE∥平面ABC.(2)解∵平面ACD⊥平面ABC,OB⊥AC,∴OB⊥平面ACD.又∵DE∥OB,∴DE⊥平面DAC.∴三棱锥E—DAC的体积V1=13S△DAC·DE=13·3·(3-1)=3-33.第2讲又三棱锥E—ABC的体积V2=13S△ABC·EF=13·3·3=1,∴多面体ABCDE的体积为V=V1+V2=6-33.第2讲构建答题模板第一步:画出必要的辅助线,根据条件合理转化.第二步:写出推证平行或垂直所需条件,注意条件要充分.第三步:明确写出所证结论.第四步:对几何体进行合理转化(分割或拼补).第五步:分别计算几何体的体积并求和.第六步:反思回顾,查看关键点,易错点及答题规范.第2讲第2讲模板6空间角或空间距离问题【例6】如图,在七面体ABCDMN中,四边形ABCD是边长为2的正方形,MD⊥平面ABCD,NB⊥平面ABCD,且MD=2,NB=1,MB与ND交于P点.(1)在棱AB上找一点Q,使QP∥平面AMD,并给出证明;(2)求平面BNC与平面MNC所成锐二面角的余弦值.审题路线图(1)P是△ABM的一边BM上的点→在另一边AB上一定存在一点Q使PQ∥AM→BQQA=BPPM=NBMD=12.(2)建立坐标系→构造法向量→求夹角.规范解答解(1)当BQ=13AB时,有QP∥平面AMD.第2讲证明:∵MD⊥平面ABCD,NB⊥平面ABCD,∴MD∥NB.∴BPPM=NBMD=12.又QBQA=12.∴QBQA=BPPM.∴在△MAB中,QP∥AM.又QP面AMD,AM⊂面AMD,∴QP∥面AMD.(2)以DA、DC、DM所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系如图,第2讲则D(0,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,0,2),N(2,2,1).∴CM→=(0,-2,2),CN→=(2,0,1),DC→=(0,2,0).设平面CMN的法向量为n1=(x,y,z),则n1·CM→=0,n1·CN→=0.∴-2y+2z=0,2x+z=0.取x=1,∴n1=(1,-2,-2).又NB⊥平面ABCD,∴NB⊥DC,又DC⊥BC.∴DC⊥平面BNC.∴平面BNC的法向量n2=DC→=(0,2,0),cos〈n1,n2〉=n1·n2|n1||n2|=-43×2=-23.第2讲设所求的锐二面角大小为θ,则cosθ=|cos〈n1,n2〉|=23.故平面BNC与平面MNC所成锐二面角的余弦值为23.第2讲构建答题模板第一步:作出(或找出)具有公共交点的三条相互垂直的直线.第二步:建立空间直角坐标系,写出特殊点坐标.第三步:求(或找)两个半平面的法向量.第四步:求法向量n1,n2的夹角或cos〈n1,n2〉(若为锐二面角则求|cos〈n1,n2〉|).
本文标题:高考数学11个答题模板小结
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