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一、点与圆锥曲线的位置关系:1、点与圆锥曲线位置关系的判定方法方法:点的坐标值代入曲线方程,再判断左边与右边的大小关系。22221xyab①点P(x0,y0)与椭圆的位置关系的判定若,则P在椭圆的外部;若,则P在椭圆上;若,则P在椭圆的内部注:焦点在y轴上也成立。2200221xyab2200221xyab2200221xyab若,则P在双曲线的外部;若,则P在双曲线上;若,则P在双曲线的内部;注:焦点在y轴上也成立。2200221xyab2200221xyab2200221xyab②点P(x0,y0)与双曲线的位置关系的判定22221xyab③点P(x0,y0)与抛物线的位置关系的判定22(0)yPxP若,则P在抛物线的外部;若,则P在抛物线上;若,则P在抛物线的内部;注:其它三种情况也成立。2002(0)yPxP2002(0)yPxP2002(0)yPxP直线与圆锥曲线的位置关系:几何角度二、直线与圆的位置关系:1)相离2)相切3)相交有两个交点没有交点有一个交点1)相离2)相切3)相交有一个交点问题:直线L绕着点(0,3)旋转过程中,与椭圆的交点情况如何?L的斜率变化情况如何?22143xy-22xy33L2相切L3相交L4相切L4相离L1相离二学生分组讨论探讨,老师归纳总结问题一(过定点的直线):直线L绕着点(0,3)旋转过程中,直线L与双曲线的交点情况如何?L的斜率变化情况如何?22143xy解法一:(代数法)223143ykxxy设直线方程为y=kx+3,联立,消y得,再按分类讨论即可。223424480kxkx2340(0)k-22xy3L0L1L2L3L4问题一解答演示过程L由L0位置绕(0,3)转到L1位置时(相交)L与双曲线有2交点,一点在左支一点在右支直线L的斜率:0≤kkL1L由L1位置绕(0,3)转到L2位置时(相交)L与双曲线有2个交点,都在双曲线左支上直线L的斜率:kL1kkL2直线L在L1(平行渐近线)位置时(相交)L与双曲线有1个交点,在双曲线左支上直线L的斜率:k=kL1直线L在L2(切线)位置时(相切)L与双曲线有1个交点,在双曲线左支上直线L的斜率:k=kL2L由L2位置绕(0,3)转到L3位置时(相离)L与双曲线有0个交点,直线L的斜率:kL2k或kkL3直线L在L3(切线)位置时(相切)L与双曲线有1个交点,在双曲线右支上直线L的斜率:k=kL3L由L3位置绕(0,3)转到L4位置时(相交)L与双曲线有2个交点,都在双曲线右支上直线L的斜率:kL3kkL4直线L在L4(平行渐近线)位置时(相交)L与双曲线有1个交点,在双曲线右支上直线L的斜率:k=kL4L由L4位置绕(0,3)转到L0位置时(相交)L与双曲线有2交点,一点在双曲线右支上另一点在双曲线左支上直线L的斜率:kL4k0交点情况、斜率范围小结•相交(1或2个交点)斜率范围:kL3KkL2(k≠kL1且k≠kL4)•相切(1交点)斜率范围:k=kL1或k=kL2或k=kL3或k=kL4•相交(无交点)斜率范围:kL2k或kkL3说明:kL0,kL1,kL2,kL3,kL4依题意都可求-22xy3L0L1L2l3l4注意:判定位置关系要注意过定点斜率为kL0,kL1,kL2,kL3,kL4等5条特殊直线,有时由于定点很特殊,只出现其中的4或3条。xyL1L2L3直线L绕着点(-1,3)转过程中,直线L与抛物线的交点情况如何?L的斜率变化情况如何?24yx直线与圆锥曲线的位置关系1.直线与椭圆的位置关系:设直线与椭圆方程分别为:y=kx+m与:12222byax联立方程组y=kx+mb2x2+a2y2=a2b2消去y得:Ax2+Bx+C=0(1)△0相交(2)△=0相切(3)△0相离直线与圆锥曲线的位置关系2.直线与双曲线的位置关系:设直线与双曲线方程分别为:y=kx+m与:12222byax(1)若直线与渐近线平行,则相交且只有一个交点.(2)若直线与渐近线重合,则相离即没有交点.(3)若直线与渐近线相交,消去y得:Ax2+Bx+C=0联立方程组y=kx+mb2x2-a2y2=a2b2故①△0相交②△=0相切③△0相离直线与双曲线没有交点:0,或与渐近线重合直线与双曲线有一个交点:0,或与渐近线平行直线与双曲线有两个交点:0判断直线与双曲线位置关系的操作程序把直线方程代入双曲线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与双曲线的渐进线平行相交(一个交点)计算判别式0=00相交相切相离3.直线与抛物线的位置关系:设直线与抛物线方程分别为:y=kx+m与y2=2px:(1)若直线与对称轴平行或重合,则相交且只有一个交点.(2)若直线与对称轴相交,得:Ax2+Bx+C=0y=kx+my2=2px由故①△0相交②△=0相切③△0相离FxyoFxyoFxyoFxyo⑴直线与抛物线有两个交点△>0⑵直线与抛物线有一个交点△=0或直线与对称轴平行.⑶直线与抛物线没有交点△<03.直线与抛物线的位置关系:设直线与抛物线方程分别为:y=kx+m与y2=2px:(1)若直线与对称轴平行或重合,则相交且只有一个交点.(2)若直线与对称轴相交,得:Ax2+Bx+C=0y=kx+my2=2px由故①△0相交②△=0相切③△0相离所以“直线与抛物线或双曲线有一个公共点是直线与抛物线或双曲线相切的必要不充分条件”把直线方程代入圆锥曲线方程得到一元一次方程得到一元二次方程计算判别式0=00相交2相切1相离0双曲线,直线与渐近线平行抛物线,直线与对称轴平行或重合相交1相交11.过点P(1,1)与双曲线只有共有_______条.变题:将点P(1,1)改为1.A(1,2)2.B(1,0)3.C(4,0)4.D(0,0).答案又是怎样的?42214yx1.两条;2.三条;3.两条;4.零条.交点的一个直线XYO(1,1)。xy0AADxy01.直线y=kx-k+1与椭圆的位置关系为()(A)相交(B)相切(C)相离(D)不确定2.已知双曲线方程x2-y2=1,过P(0,1)点的直线l与双曲线只有一个公共点,则l的条数为()(A)4(B)3(C)2(D)13.过点(0,1)与抛物线y2=2px(p>0)只有一个公共点的直线条数是()(A)0(B)1(C)2(D)314922yx(2009·福建)已知双曲线x212-y24=1的右焦点为F,若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此直线斜率的取值范围()A.(-33,33)B.(-3,3)C.-33,33D.[-3,3]又由双曲线方程x212-y24=1,有双曲线的渐近线方程为y=±33x,∴有-33≤k≤33.•答案:C归纳小结•1直线与圆锥曲线位置关系的判定解题通法是:联立方程,消去一个未知数,转化为一元方程解的讨论。•2对于选择、填空题或有关共点直线系问题、平行直线系问题也常用数形结合思想,直观地解决问题。•3对于直线与圆锥曲线恒有交点问题,经常转化为直线恒过圆锥曲线内一点的问题。知识点二:弦长问题(1)弦长公式,若弦过焦点,可用焦点弦公式。(2)直线与圆锥曲线的有关问题通常可通过联立方程组处理(3)与中点、斜率有关的问题,可用“点差法”处理212212111yykxxkABAB总结:弦:直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦。焦点弦:若弦过圆锥曲线的焦点叫焦点弦;通径:若焦点弦垂直于焦点所在的圆锥曲线的对称轴,此时焦点弦也叫通径。知识点三:弦中点问题•求中点弦所在直线方程和弦的中点轨迹方程•“点差法”、“韦达定理”遇到弦中点,两式减一减;若要求弦长,韦达来帮忙.三、弦的中点问题设A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆x2a2+y2b2=1上不同的两点,且x1≠x2,x1+x2≠0,M(x0,y0)为AB的中点,则x21a2+y21b2=1,x22a2+y22b2=1.两式相减可得y1-y2x1-x2·y1+y2x1+x2=-b2a2,即kAB=.类似的可得圆锥曲线为双曲线x2a2-y2b2=1时,有kAB=b2x0a2y0.圆锥曲线为抛物线y2=2px(p>0)时,有kAB=.-b2x0a2y02px0y014922yx)1,2(QAB求椭圆被点平分的弦所在的直线方程.(3,0)F(2,0)D11,2A已知在平面直角坐标系中的一个椭圆,它的中心在原点,,右顶点为,设点.左焦点为(1)求该椭圆的标准方程;PPAM2)若是椭圆上的动点,求线段中点的轨迹方程;O,BCABC(3)过原点的直线交椭圆于点求面积的最大值。过点M(-2,0)的直线m与椭圆x22+y2=1交于P1,P2两点,线段P1P2的中点为P,设直线m的斜率为k1(k1≠0),直线OP的斜率为k2,则k1k2的值为()A.2B.-2C.12D.-12解析:如图,设P1(x1,y1),P2(x2,y2),则P1P2的中点P(x1+x22,y1+y22),则k2=kOP=y1+y2x1+x2,又因为P1,P2在椭圆x22+y2=1上,所以有x212+y21=1,x222+y22=1,两式相减得12(x1+x2)(x1-x2)=-(y1+y2)(y1-y2),即y1-y2x1-x2=-12·x1+x2y1+y2,则k1=-12k2,即有k1·k2=-12,设F1、F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右两个焦点.若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意一点,当直线PM、PN的斜率都存在,并记为kPM、kPN时,求证:kPM·kPN是与点P位置无关的定值.解析:设点M(m,n)是椭圆x2a2+y2b2=1①上的任一点,N(-m,-n)是M关于原点的中心对称点,则m2a2+n2b2=1.②又设P(x,y)是椭圆上任一点,且kPM·kPN存在.则kPM=y-nx-m,kPN=y+nx+m,∴kPM·kPN=y-nx-m·y+nx+m=y2-n2x2-m2.①-②,得x2-m2a2+y2-n2b2=0,y2-n2x2-m2=-b2a2,∴kPM·kPN=-b2a2.故kPM·kPN与P的位置无关.(1)对归纳型问题,要通过观察、比较、分析、抽象、概括、猜测来完成;(2)对存在性问题,从适合条件的结论存在入手,找出一个正确结论即可.已知椭圆C的两焦点F1(-22,0)、F2(22,0).(1)当直线l过F1且与椭圆C交于M、N两点,且△MF2N的周长为12时,求C的方程;(2)在满足(1)的条件下,是否存在直线m过P(0,2)点与椭圆C交于A、B两点,且以AB为直径的圆过原点.若存在,求直线m的方程;若不存在,说明理由.解析:(1)由条件知c=22,又△MF2N的周长为12,∴12=|MF1|+|MF2|+|NF1|+|NF2|=4a.∴a=3,b=1.∴椭圆的方程为x29+y2=1.已知椭圆C的两焦点F1(-22,0)、F2(22,0).(2)在满足(1)的条件下,是否存在直线m过P(0,2)点与椭圆C交于A、B两点,且以AB为直径的圆过原点.若存在,求直线m的方程;若不存在,说明理由.(2)设直线m的方程为y=kx+2(k≠0且k存在),联立方程组y=kx+2,x29+y2=1,解得x2+9(kx+2)2=9,即(1+9k2)x2+36kx+27=0.∵直线m与椭圆交于A、B两点,∴Δ=(36k)2-4×27(1+9k2)>0,即9k2-3>0,∴k>33或k<-33.(*)设A、B两点的坐标是A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-361+9k2,x1·x2=271+9k2.由于以AB为直径的圆过原点,∴x1x2+y1y2=0,即x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=0.∴(1+k2)x1x2+2k(x
本文标题:直线与圆锥曲线的位置关系(1)
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