2013届高考数学一轮复习讲义第八章 8.1 空间几何体及其表面积与体积

主页一轮复习讲义空间几何体及其表面积与体积主页1．多面体(1)一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做；棱柱两个底面是，且对应边互相，侧面都是．(2)当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做；棱锥底面是，侧面是有一个公共顶点的．(3)棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间的部分叫做．忆一忆知识要点全等多边形棱柱平行平行四边形棱锥多边形三角形棱台要点梳理主页2．旋转体(1)将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做、、；(2)半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所成的曲面叫做，球面围成的几何体叫做，简称．忆一忆知识要点圆柱圆锥圆台球面球体球要点梳理主页3．柱、锥、台和球的侧面积和体积面积体积圆柱S侧＝V＝＝圆锥S侧＝V＝＝＝13πr2l2－r2圆台S侧＝V＝13(S上＋S下＋S上S下)h＝13π(r21＋r22＋r1r2)h直棱柱S侧＝V＝忆一忆知识要点2πrhπrlShπr2h13Sh13πr2hπ(r1＋r2)lChSh要点梳理主页正棱锥S侧＝V＝正棱台S侧＝V＝13(S上＋S下＋S上S下)h球S球面＝V＝忆一忆知识要点12Ch′13Sh12(C＋C′)h′4πR243πR3要点梳理主页☞柱体、锥体、台体的表面积各面面积之和展开图rr0r22π()Srrrlrl2π()Srrl圆柱π()Srrl圆台圆锥4.几何体的表面积忆一忆知识要点(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是______________．各面面积之和(2)圆柱(锥、台)的侧面展开图分别是______、____、______、它们的表面积等于_____________________.侧面积与底面面积之和矩形扇形扇环形要点梳理主页柱体、锥体、台体的体积13VSh锥体1()3VSSSSh台体柱体VSh'SS0'S球的体积5.几何体的体积之间的关系34π3VR忆一忆知识要点要点梳理主页[难点正本疑点清源]1．几何体的侧面积和全面积几何体侧面积是指(各个)侧面面积之和，而全面积是侧面积与所有底面积之和．对侧面积公式的记忆，最好结合几何体的侧面展开图来进行．要特别留意根据几何体侧面展开图的平面图形的特点来求解相关问题．如直棱柱(圆柱)侧面展开图是一矩形，则可用矩形面积公式求解．再如圆锥侧面展开图为扇形，此扇形的特点是半径为圆锥的母线长，圆弧长等于底面的周长，利用这一点可以求出展开图扇形的圆心角的大小．主页2．要注意领会和掌握两种数学思想方法：割补法与等积法割补法是割法与补法的总称．补法是把不规则(不熟悉的或复杂的)几何体延伸或补成规则的(熟悉的或简单的)几何体，把不完整的图形补成完整的图形．割法是把复杂的(不规则的)几何体切割成简单的(规则的)几何体．割与补是对立统一的，是一个问题的两个相反方面．割补法无论是求解体积问题还是求解空间角(或空间距离)以及证明垂直或平行关系都有简化解题过程、开阔思维的优点．等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高．这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．主页例1设有以下四个命题：①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是矩形的平行六面体是长方体；③直四棱柱是直平行六面体；④棱台的相对侧棱延长后必交于一点．其中真命题的序号是________．空间几何体的结构特征利用有关几何体的概念判断所给命题的真假．主页解析命题①符合平行六面体的定义，故命题①是正确的．底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题②是错误的．因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题③是错误的．命题④由棱台的定义知是正确的．解决该类题目需准确理解几何体的定义，要真正把握几何体的结构特征，并且学会通过反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，设法举出一个反例即可．探究提高答案①④主页下面是关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；②若过两个相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱．其中，真命题的编号是________．变式训练1对于①，平行六面体的两个相对侧面也可能与底面垂直且互相平行，故①假；主页对于③，作正四棱柱的两个平行菱形截面，可得满足条件的斜四棱柱(如图(1))，故③假；图（1）对于②，两截面的交线平行于侧棱，且垂直于底面，故②真；对于④，四棱柱一个对角面的两条对角线，恰为四棱柱的对角线，故对角面为矩形，于是侧棱垂直于底面的一对角线，同样侧棱也垂直于底面的另一对角线，故侧棱垂直于底面，故④真(如图(2))．图（2）答案②④主页例2如图，斜三棱柱ABC—A′B′C′中，底面是边长为a的正三角形，侧棱长为b，侧棱AA′与底面相邻两边AB与AC都成45°角，求此斜三棱柱的表面积．由题意，可知A′在平面ABC内的射影D在∠BAC的角平分线上，从而可证得四边形BCC′B′是矩形．几何体的表面积解如图，过A′作A′D⊥平面ABC于D，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，连结A′E，A′F，AD.主页则由∠A′AE＝∠A′AF，AA′＝AA′，得Rt△A′AE≌Rt△A′AF，∴A′E＝A′F，∴DE＝DF，∴AD平分∠BAC，又∵AB＝AC，∴BC⊥AD，∴BC⊥AA′，而AA′∥BB′，∴BC⊥BB′，∴四边形BCC′B′是矩形，∴斜三棱柱的侧面积为2×a×bsin45°＋ab＝(2＋1)ab.又∵斜三棱柱的底面积为2×34a2＝32a2，∴斜三棱柱的表面积为(2＋1)ab＋32a2.此题构作辅助线的方法具有典型意义，记住这种作法，对解这一类问题有较大的帮助．探究提高主页一个正三棱台的上、下底面边长分别是3cm和6cm，高是32cm.(1)求三棱台的斜高；(2)求三棱台的侧面积和表面积．变式训练2解(1)设O1、O分别为正三棱台ABC—A1B1C1的上、下底面正三角形的中心，如图所示，则O1O＝32，过O1作O1D1⊥B1C1，OD⊥BC，则D1D为三棱台的斜高；主页过D1作D1E⊥AD于E，则D1E＝O1O＝32，因O1D1＝36×3＝32，OD＝36×6＝3，则DE＝OD－O1D1＝3－32＝32.在Rt△D1DE中，D1D＝D1E2＋ED2＝322＋322＝3(cm)．(2)设c、c′分别为上、下底的周长，h′为斜高，S侧＝12(c＋c′)h′＝12(3×3＋3×6)×3＝2732(cm2)，S表＝S侧＋S上＋S下＝2732＋34×32＋34×62＝9934(cm2)．故三棱台斜高为3cm，侧面积为2732cm2，表面积为9934cm2.主页例3如图所示，已知E、F分别是棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1的棱A1A、CC1的中点，求四棱锥C1—B1EDF的体积．几何体的体积思路一：先求出四棱锥C1—B1EDF的高及其底面积，再利用棱锥的体积公式求出其体积；思路二：先将四棱锥C1—B1EDF化为两个三棱锥B1—C1EF与D—C1EF，再求四棱锥C1—B1EDF的体积．主页解方法一连结A1C1，B1D1交于点O1，连结B1D，过O1作O1H⊥B1D于H.∵EF∥A1C1，且A1C1⊄平面B1EDF，∴A1C1∥平面B1EDF.∴C1到平面B1EDF的距离就是A1C1到平面B1EDF的距离．∵平面B1D1D⊥平面B1EDF，∴O1H⊥平面B1EDF，即O1H为棱锥的高．∵△B1O1H∽△B1DD1，∴O1H＝B1O1·DD1B1D＝66a.∴＝13·12·EF·B1D·O1H＝13·12·2a·3a·66a＝16a3.HOSVEDFBEDFBC1·31111四边形主页方法二连结EF，B1D.设B1到平面C1EF的距离为h1，D到平面C1EF的距离为h2，则h1＋h2＝B1D1＝2a.由题意得，＝13··(h1＋h2)＝16a3.方法三EFCDEFCBEDFBCVVV11111EFCS1DDCEDCBAEFDCDEBAEDFBCVVVV111111111111多面体＝16a3.主页在求解一些不规则的几何体的体积以及两个几何体的体积之比时，常常需要用到分割法．在求一个几何体被分成两部分的体积之比时，若有一部分为不规则几何体，则可用整个几何体的体积减去规则几何体的体积求出其体积．探究提高主页如图(1)所示，在直角梯形ABEF中(图中数字表示线段的长度)，将直角梯形DCEF沿CD折起，使平面DCEF⊥平面ABCD，连结部分线段后围成一个空间几何体，如图(2)所示．变式训练3图(1)图(2)(1)求证：BE∥平面ADF；(2)求三棱锥F—BCE的体积．主页(1)证明方法一取DF的中点G，连结AG，EG，∵CE綊12DF，∴EG綊CD.又∵AB綊CD，∴EG綊AB.∴四边形ABEG为平行四边形．∴BE∥AG.又∵BE⊄平面ADF，AG⊂平面ADF，∴BE∥平面ADF.方法二由图(1)可知BC∥AD，CE∥DF，折叠之后平行关系不变．∵BC∥AD，BC⊄平面ADF，AD⊂平面ADF，∴BC∥平面ADF.同理CE∥平面ADF.主页∵BC∩CE＝C，BC、CE⊂平面BCE，∴平面BCE∥平面ADF.∵BE⊂平面BCE，BE⊄平面ADF，∴BE∥平面ADF.(2)解方法一∵VF—BCE＝VB—CEF，由图(1)，可知BC⊥CD，∵平面DCEF⊥平面ABCD，平面DCEF∩平面ABCD＝CD，BC⊂平面ABCD，又∵BC⊥DC，∴BC⊥平面DCEF.由图(1)可知，DC＝CE＝1，S△CEF＝12CE×DC＝12，∴VF—BCE＝VB—CEF＝13×BC×S△CEF＝16.主页方法二由图(1)，可知CD⊥BC，CD⊥CE，∵BC∩CE＝C，∴CD⊥平面BCE.∵DF∥CE，点F到平面BCE的距离等于点D到平面BCE的距离为1，由图(1)，可知BC＝CE＝1，S△BCE＝12BC×CE＝12，∴VF—BCE＝13×CD×S△BCE＝16.方法三如图所示，过E作EH⊥FC，垂足为H，由图可知BC⊥CD，∵平面DCEF⊥平面ABCD，平面DCEF∩平面ABCD＝CD，BC⊥DC，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥平面DCEF.主页又∵EH⊂平面DCEF，∴BC⊥EH，∴EH⊥平面BCF.由BC⊥FC，FC＝DC2＋DF2＝5，S△BCF＝12BC×CF＝52，在△CEF中，由等面积法可得EH＝15，∴VF—BCE＝VE—BCF＝13×EH×S△BCF＝16.主页例4正三棱锥的高为1，底面边长为26，内有一个球与它的四个面都相切(如图)．求：(1)这个正三棱锥的表面积；(2)这个正三棱锥内切球的表面积与体积．组合体的表面积与体积问题(1)利用特征三角形求出斜高即可；(2)抓住球心到正三棱锥四个面的距离相等求出球的半径即可．解(1)底面正三角形中心到一边的距离为13×32×26＝2，主页则正棱锥侧面的斜高为12＋(2)2＝3.∴S侧＝3×12×26×3＝92.∴S表＝S侧＋S底＝92＋12×32×(26)2＝92＋63.(2)设正三棱锥P—ABC的内切球球心为O，连结OP、OA、OB、OC，而O点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r.∴VP—ABC＝VO—PAB＋VO—PBC＋VO—PAC＋VO—ABC＝13S侧·r＋13S△ABC·r＝13S表·r＝(32＋23)r.主页又VP—ABC＝13×12×32×(26)2×1＝23，∴(32＋23)r＝23，得r＝2332＋23＝23(32－23)18－12＝6－2.∴S内切球＝4π(6－2)2＝(40－166)π.V内切球＝43π(6－2)3＝83(96－22)π.主页解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细